Ce rapport n'a pas le but de résumer toute la littérature actuarielle sur les assurances non viagères: on se proposait de tracer le fil conducteur de quelques uns des développements d'idées où l'apport des mathématiques est plus profond et, en particulier, de ceux où il semble qu'il y aura encore à travailler longtemps. A ce compte, seulement quelques étapes pouvaient être explicitement mentionnées dans le texte, tandis qu'une bibliographic complète aurait dû suivre à la fin du rapport.

Maintes circonstances ont restreint le temps à disposition des rapporteurs et ont augmenté les difficultés d'un travail en commun à distance; sans doute quelques contributions ont échappé ou n'ont pas reçu le relief qu'il aurait fallu leur donner. Les auteurs prient de bien vouloir justifier les omissions par ces circonstances, et de les leur signaler.

L'assurance sur la vie et les assurances non viagères semblent présenter des différences essentielles, soit au point de vue de leur objet (indemnité d'une perte dans le deuxième cas, mais non dans le premier), soit au point de vue de leur méthode (théorie mathématique complétement développée dès longtemps pour le premier cas, mais non dans le deuxième).

Ya-t-il néanmoins une notion unique d'assurance, en général, qui comprenne toutes les deux? Est-il possible de concevoir d'une façon unique l'application du calcul des probabilités et des méthodes mathématiques qui le traduisent, dans le champ de l'assurance en général? Ou ya-t-il des limitations, ou des circonstances qui obligent à distinguer à cet effet les deux champs de l'assurance sur la vie et de l'assurance non viagère?

The reinsurance to be treated in this note shall cover the excess over a certain limit Q of the total amount of claims for each accounting period paid by the ceding company. Regardless of the rule for the determination of the limit Q such a reinsurance shall in this context be called stop loss reinsurance.

Generally, such a reinsurance is called either stop loss or excess of loss reinsurance depending on the rule for the determination of Q. The use of the term stop loss regardless of this rule is preferred here in order to avoid confusion with an excess of loss reinsurance which refers to the excess of the amount of one or more claims caused by an individual event.

The total amount of claims paid by the ceding company c during the period t shall be denoted cXt. This random function constitutes for a fixed value of c a stochastic process with the discontinuous parameter t > o.

(It may be remarked that for a fixed pair of values of c and tcXt can be regarded as a particular value of a sample function pertaining to the process of the continuous paramater τ generally considered in the collective theory of risk to which the total amount of claims up to time τ is attached, in this case o < τ ≤ 1. cXt can also be considered as the increments during the time interval t of the total amount of the claims up to τ.)

En Suisse, les sociétés d'assurances bonifient à leurs assurés en responsabilité civile autos une ristourne qui dépend du nombre des années sans sinistres, suivant le barème ci-après:

Cette ristourne a pour but de tenir compte des facteurs d'ordre subjectif qui influencent le risque et qui ne peuvent être pris en considération dans les tarifs.

Les deux questions suivantes se posent:

A) Y a-t-il en réalité des différences dans le risque subjectif justifiant la bonification d'une ristourne pour années sans sinistres?

B) Si oui, le barème indiqué ci-haut tient-il compte de ces différences d'une façon adéquate?

Le présent travail a pour but de répondre à ces deux questions en appliquant les méthodes modernes des tirages au sort.

Question A

Voici les résultats de quelques tirages au sort du portefeuille de „La Générale de Berne”

S'il n'y avait pas de différences dans le risque subjectif, la variable aléatoire k devrait suivre la distribution de Poisson. Toutefois, on sait que dans ce cas, devrait être égal à s2(k), ce dont il n'est évidemment pas question pour les chiffres ci-dessus. En conséquence, k n'est pas distribué d'après Poisson, et l'existence de différences dans le risque subjectif est prouvée.

On pourrait se demander si les différences entre et s2(k) sont de nature aléatoire. Une investigation spéciale a toutefois montré que si k suivait la distribution de Poisson, la probabilité pour des différences aussi élevées que celles des tirages indiqués ci-haut serait pratiquement nulle.

La théorie du bonus n'en est qu'à ses débuts et, afin d'en étudier une première approximation, Monsieur le Professeur Fréchet a utilisé la théorie des chaînes de Markoff-Poincaré; la première synthèse de cette théorie a été donnée dans son livre „Recherches théoriques modernes sur le calcul des probabilités — 2ème livre — Gauthier Villars”.

Nous trouvons que l'idée de Monsieur Fréchet, précisée dans un cadre bien défini d'hypothèses, est particulièrement intéressante et nous voudrions, quant à nous, essayer de dégager pour les actuaires les conséquences qu'une telle hypothèse introduit. On pourra en déduire une marche à suivre pour vérifier dans quelle mesure cette hypothèse cadre avec la réalité.

L'hypothèse fondamentale de Monsieur Fréchet consiste à admettre:

1°) l'existence d'une probabilité pour qu'un véhicule ayant eu i sinistres au cours de l'année calendrier, subisse j sinistres au cours de l'exercice suivant;

2°) que cette probabilité est indépendante de la voiture et de l'année considérée.

Si nous considérons les possibilités réduites à r = 3 cas (de façon à simplifier l'exposé, ce qui ne limite en rien le raisonnement), les possibilités seront complètement définies par le tableau ou matrice de la chaîne de Markoff-Poincaré (voir page suivante).

L'existence d'une chaîne de Markoff-Poincaré entraîne un certain nombre de conséquences, développées et démontrées dans l'ouvrage cité de Monsieur Fréchet.

In this paper we shall study the situation of two insurance companies which are negotiating with the view of concluding a reciprocal reinsurance treaty. We assume that the two companies are under no compulsion to reach an agreement. This means that if the companies conclude a treaty, the treaty must be such that both companies consider themselves better off than without any treaty. We futher assume that no third company can break into the negotiations. This means that the two companies either have to come to terms, or be without any reinsurance.

How the two parties reach an agreement in a situation like this, is one of the classical problems of theoretical economics. It is usually referred to as the “Bargaining Problem”. The problem appears very simple, but this is a deception. It has proved extremely difficult to formulate generally acceptable assumptions which give the problem a determinate solution. The “Theory of Games”, developed by von Neumann and Morgenstern (10), does not give a determinate solution, but it has greatly increased our understanding of such problems, and the present paper will draw heavily on that theory.

The situation which we propose to study, is very simple, may be too simple to have any bearing on reinsurance negotiations in real life. If there exists a reinsurance market, which also is a perfect market in the sense given to this term in economic theory, bartering between two companies does not make any sense. They could both do equally well or better by dealing in the market at the market price.