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DE L'USAGE DES CONIQUES CHEZ IBRĀHĪM IBN SINĀN

  • Hélène Bellosta (a1)
Abstract
Abstract

Once Apollonius' Conics had been translated from Greek into Arabic, they became a main reference and the principal tool in studying solid problems, algebraic equations of 3rd and 4th degrees, infinitesimal mathematics, etc. Mathematicians of the 9th–10th centuries also studied the conic sections' constructions, as well as their continuous drawing and their drawing by points. Ibrāhīm ibn Sinān (909–946), as his grandfather Thābit ibn Qurra (826–901), was one of the most active and inventive mathematicians in these fields. Late Hélène Bellosta examined in this article Ibn Sinān's contribution.

Résumé

Une fois les Coniques d'Apollonius traduits en arabe, ces livres sont devenus la référence indispensable et le principal instrument dans l'étude des problèmes solides, des équations algébriques des 3e et 4e degrés, des problèmes des mathématiques infinitésimales, etc. Les mathématiciens des ixe-xe siècles ont également étudié les constructions des sections coniques ainsi que leur tracé par points et leur tracé continu. Ibrāhīm ibn Sinān (909–946), comme son grand-père Thābit ibn Qurra (826–901), était l'un des mathématiciens les plus actifs et les plus inventifs en ce domaine. Dans cet article, la regrettée Hélène Bellosta a examiné la contribution d'Ibn Sinān.

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1 Apollonius de Perge. Les coniques, Tome 1.1: Livre I, éd. Rashed R. (Berlin et New York, 2008).

2 Rashed R., Les mathématiques infinitésimales du ixe au xie siècle, vol. III: Ibn al-Haytham. Théorie des coniques, constructions géométriques et géométrie pratique (Londres, 2000).

3 Neugebauer Voir O., “The astronomical origin of the theory of conic sections”, Proceedings of the American Philosophical Society, 92 (1948): 136–8.

4 Rashed R., Les mathématiques infinitésimales du ixe au ixe siècle, vol. I: Fondateurs et commentateurs (Londres, 1996), “Ibn Qurra, sur les sections du cylindre et sur sa surface latérale”, pp. 458673.

5 Ibid., “Ibn Sinān, sur la mesure d'une portion de parabole”, pp. 675–735; Rashed R. et Bellosta H., Ibrāhīm ibn Sinān. Logique et géométrie au xe siècle (Leyde, 2000), “Quadrature de la parabole et transformations affines”, pp. 229–44.

6 Notons que ces deux propriétés pourraient sans peine être étendues à des segments d'ellipse ou d'hyperbole, ce que ne fait pas Ibn Sinān car son but est seulement la détermination de l'aire d'un segment de parabole; en effet, la suite de sa méthode ne pourrait s'étendre aux autres coniques: le rapport des aires des triangles obtenus par duplications successives de la base du segment de conique dont on cherche l'aire, n'est plus constant dans le cas de l'ellipse et de l'hyperbole.

7 Rashed et Bellosta, Ibrāhīm ibn Sinān. Logique et géométrie, “Les cadrans solaires”, pp. 291–433.

8 Rashed et Bellosta, Ibrāhīm ibn Sinān. Logique et géométrie, “Autobiographie”, p. 10. Ce type de collaboration ne semble pas avoir été exceptionnel au xe siècle, même si nous en avons peu de traces: Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī (940–998), dans son traité Sur les constructions géométriques nécessaires aux artisans (Fīmā yaḥtaju ilayhi al-ṣāniʿ min al-aʿmāl al-handasiyya), fait également allusion à ce type de collaboration entre artisans et géomètres et souligne les différences d'attitude des uns et des autres devant les problèmes ainsi débattus, par manque de sens pratique en ce qui concerne les géomètres, par manque de connaissances théoriques dans le cas des artisans.

9 Rashed et Bellosta, Ibrāhīm ibn Sinān. Logique et géométrie, “Tracé des sections coniques et transformations géométriques”, pp. 245–89.

10 En ce qui concerne les constructions par points, il existe certes dans l'Antiquité quelques méthodes, essentiellement chez Dioclès dans son traité sur Les miroirs ardents (entre la première moitié du iie siècle BC et la première moitié du ier siècle AD). Il y démontre, pour la première fois, la propriété foyer-directrice de la parabole (absente des Coniques d'Apollonius) et en déduit une construction point par point, à la règle et au compas, de la parabole; sa construction, classique, fait correspondre à tout point de la directrice un point de la parabole; il fabrique ensuite un gabarit en courbant une règle de corne pour la superposer avec les points ainsi construits. Voir Livre de Dioclès sur les miroirs ardents dans Rashed R., Les catoptriciens grecs (Paris, 2000), pp. 112–14.

11 Le premier à avoir consacré un traité au compas parfait est le géomètre de la deuxième moitié du xe siècle, al-Qūhī (Sur le compas parfait, dans Rashed R., Geometry and Dioptrics in Classical Islam [Londres, 2005], pp. 726806). D'autres mathématiciens, en particulier son contemporain al-Sijzī, consacreront également des traités à cet instrument (voir Sur la construction du compas parfait, dans Rashed R., Œuvre mathématique d'al-Sijzī, vol. I: Géométrie des coniques et théorie des nombres au xe siècle [Louvain, 2004], pp. 282309). Ibn Sahl, toujours dans la deuxième moitié du xe siècle, donnera, dans son traité Sur les instruments ardents, des méthodes mécaniques de constructions des trois coniques, usant de fils inextensibles, de règles coulissantes et de poulies, constructions dont la théorie repose sur les propriétés dites “optiques” des coniques (i.e. foyers des coniques à centre, propriété foyer/directrice pour la parabole) (voir Rashed R., Géométrie et dioptrique au xe siècle, Ibn Sahl, al-Qūhī et Ibn al-Haytham [Paris, 1993], pp. 152, et Geometry and Dioptrics in Classical Islam, pp. 76–149).

12 Rashed, Œuvre mathématique d'al-Sijzī, vol. I, p. 246. La première mention connue de ce procédé se trouve dans un fragment d'Anthémius de Tralles Sur la construction des miroirs ardents qui nous est parvenu en grec et en arabe (voir Rashed, Les catoptriciens grecs, pp. 250, 292).

13 Rashed et Bellosta, Ibrāhīm ibn Sinān. Logique et géométrie, “Autobiographie”, p. 18.

14 Sur le tracé des trois sections, dans Rashed et Bellosta, Ibrāhīm ibn Sinān. Logique et géométrie, p. 264.

15 Ce problème de construction élémentaire fait partie des exemples figurant dans le traité Sur la méthode de l'analyse et de la synthèse dans les problèmes de géométrie (voir Rashed et Bellosta, Ibrāhīm ibn Sinān. Logique et géométrie, pp. 58–9).

16 Ibid., pp. 45–50; voir en particulier la démonstration du problème de l'exemple 20.

17 Rashed et Bellosta, Ibrāhīm ibn Sinān. Logique et géométrie, p. 358.

18 Ibid., p. 344.

19 Description des figures que forme l'extrémité de l'ombre d'un gnomon par son passage sur un plan horizontal, dans Morelon R., Thābit ibn Qurra. Œuvres d'astronomie (Paris, 1987), p. 118.

20 Rashed et Bellosta, Ibrāhīm ibn Sinān. Logique et géométrie, p. 344.

21 Jafar Aghayani-Chavoshi, L'œuvre scientifique d'Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī, thèse Université Paris VII, Paris, 1996, non publiée. Pour une autre méthode de construction d'un arc de parabole, toujours à partir d'un cercle, Neugebauer voir O. et Rashed R., “Sur une construction du miroir parabolique par Abū al-Wafā' al-Būzjānī”, Arabic Sciences and Philosophy, 9.2 (1999): 261–77.

22 Rashed, Œuvre mathématique d'al-Sijzī, vol. I, pp. 248–52, 260–9.

23 Rashed et Bellosta, Ibrāhīm ibn Sinān. Logique et géométrie, pp. 37–9, 130–3.

24 Rashed, Œuvre mathématique d'al-Sijzī, vol. I, pp. 248–51 et 302–7.

25 Avec la formulation de Pappus: “trois éléments quelconques étant successivement donnés de position parmi des points, des droites et des cercles, décrire un cercle qui, passant par chacun des points donnés – dans le cas de points donnés –, soit tangent à chacune des lignes données”, Pappus d'Alexandrie. La collection mathématique, trad. Ver Eecke P., 2 vol. (Paris, 1982), vol. I, p. 483.

26 Voir L'anthologie de problèmes, problèmes 2, 18, 19, 22, 39, 40 et 41 dans Rashed et Bellosta, Ibrāhīm ibn Sinān. Logique et géométrie, pp. 586–90, 662–8, 672–95, 734–59. Bellosta H., “Les mathématiciens arabes et le problème des Contacts”, Oriens-Occidens, Cahiers du Centre d'histoire des sciences et des philosophies arabes et médiévales, 1 (1997): 105–22. Al-Qūhī (deuxième moitié du xe siècle), reprendra cette généralisation du problème des Contacts dans son traité Le livre des centres des cercles tangents situés sur des lignes par la méthode de l'analyse; voir Abgrall P., “Les cercles tangents d'al-Qūhī”, Arabic Sciences and Philosophy, 5.2 (1995): 263–96.

27 Rashed, Œuvre mathématique d'al-Sijzī, vol. I, pp. 252–5.

28 Rashed, Géométrie et dioptrique au x esiècle, pp. 1–52.

29 Bellosta H., “Ibrāhīm ibn Sinān, Apollonius Arabicus”, dans Hasnawi A., Elamrani-Jamal A. et Aouad M. (éd.), Perspectives arabes et médiévales sur la tradition scientifique et philosophique grecque (Louvain, 1997), pp. 3148.

30 Cette “arithmétisation” de l'expression, déjà notée par Roshdi Rashed à propos de la tradition néo-archimédienne arabe n'est du reste pas propre à Ibn Sinān, on la rencontre déjà au ixe siècle chez Thābit ibn Qurra et les Banū Mūsā. R. Rashed, Optique et mathématiques, Variorum (Aldershot, 1986), IX “Archimède dans les mathématiques arabes”.

31 Rashed R. et Vahabzadeh B., Al-Khayyām mathématicien (Paris, 1999); Rashed R., Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, 2 vols. (Paris, 1986).

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Arabic Sciences and Philosophy
  • ISSN: 0957-4239
  • EISSN: 1474-0524
  • URL: /core/journals/arabic-sciences-and-philosophy
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