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Published online by Cambridge University Press: 24 October 2008
The Treatise on Equations of Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (2nd half of the 12th century) is in the tradition of ‛Umar al-Khayyām (d. 1131). However, it has two special features. First, it contains a full discussion of the existence of a solution for third-degree equations, which al-Ṭūsī establishes by proving that the conic curves that represent this solution effectively intersect – a proof based on an intuitive notion of connexity. Secondly, al-Ṭūsī develops algorithms for the numerical resolution of these third-degree equations. The first stage of one of these algorithms follows a procedure which is akin to the so-called method of Newton's polygon.
Le Traité des équations de Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (2e moitié du XIIe siècle) se situe dans le prolongement de l'œuvre de ‛Umar al-Khayyām (m. 1131). Il s'en distingue toutefois par deux traits. 1) II contient une discussion complète de I'existence de la solution d'une équation du 3e degré, existence qu'al-Ṭūsī établit en démontrant que les deux courbes coniques destinées à construire cette solution se rencontrent effectivement. Cette démonstration se fonde sur une idée intuitive de la connexité. 2) Il présente des algorithmes pour la résolution numérique des mêmes équations. La première étape de l'un de ces algorithmes suit une procédure qui s'apparente à la méthode dite du polygone de Newton.
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9 Ibid., p.11.
10 Rashed, Entre arithmétique et algèbre, p. 54.Google Scholar
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12 Al-Khayyām, L'œuvre algébrique, pp. 95 sqq et al-Ṭūsū, Œuvres mathématiques, I, pp. CXXXV sqq.Google Scholar
13 Al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, I.Google Scholar
14 Ibid., p. CXXXVI.
15 Gauss utilisera encore le même genre d'argument, dans un cas beaucoup plus général, pour sa première démonstration (1799) du théorème fondamental de l'algèbre [Gauss, C.F., Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (Helmstadt, 1799) = Werke, III, Herausgegeben von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Göttingen, 1866), pp. 3–30].Google Scholar
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17 Anbouba, Voir, “Tasbī‘ al-dā’ira”; Rashed, “La construction de l'heptagone régulier par Ibn al-Haytham,” et id., Géométrie et dioptrique.Google Scholar
18 Al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, I, p. 23, fig. 13.Google Scholar
19 Ibid., p. 41, fig. 20.
20 Ibid., p. 49, fig. 21.
21 Ibid., p. 57, fig. 22.
22 Ibid., pp. 68–9, fig. 23–1, 23–2, 23–3.
23 Ibid., p. 77, fig. 24.
24 Ibid., p. 88, fig. 25.
25 Ibid., p. 109, fig. 26–1; p. 110, fig. 26–2; p. 111, fig. 26–3.
26 Rashed, Voir, “L'analyse et la synthèse selon Ibn al-Haytham.”Google Scholar
27 Une reconstitution comme celle que propose Hogendijk, J.P. [“Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī on the number of positive roots of cubic equations,” Historia Mathematica, 16 (1989): 69–85] sur la base du livre II des Éléments d'Euclide nous paraît assez forcée.CrossRefGoogle Scholar
28 Al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, II, pp. 1 sqq.Google Scholar
29 Paraissant dans ce même numéro, pp. 219–37. La reconstitution proposée par N. Farès, bien que fidèle au texte de Ṭūsī et plus convaincante que celle mentionnée dans la note précédente, a l'inconvénient d'ignorer le lien entre cette discussion et la résolution algorithmique de Ṭūsī ainsi que sa justification comme nous allons le voir plus loin.Google Scholar
30 Al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, I, pp. LIX sqq.Google Scholar
31 Newton, Voir I., La méthode des fluxions et des suites infinies, trad. Buffon (Paris, 1966).Google Scholar
32 Rashed, R. s'est donné la peine de reconstituer ces tableaux dans le commentaire mathématique de son édition (al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, I, chap. I).Google Scholar
33 On est étonné de l'absence totale de référence à Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī dans le chapitre 4, consacré à l'algèbre arabe, d'une Geschichte der Algebra collective (sous la direction d'E. Scholz [Mannheim, 1990]) qui contient par ailleurs de bons exposés.Google Scholar
