Nach Gödel ist der Prädikatenkalkül der ersten Stufe vollständig in dem Sinne, daβ alle identischen Ausdrücke dieses Kalküls ableitbar sind. Für den einstelligen Prädikatenkalkül gilt darüber hinaus, daβ zwei Ausdrücke deduktionsgleich (HB I, p. 149) sind, wenn sie für dieselben Individuenbereiche identisch bzw. nicht identisch sind. Solche Ausdrücke mögen identitätsverbunden heiβen. Daβ umgekehrt deduktionsgleiche Ausdrücke identitätsverbunden sind, gilt auch für den vollen Prädikatenkalkül. Dagegen gibt es dort Ausdrücke, die identitätsverbunden, aber nicht deduktionsgleich sind. Solche Ausdrücke sind die in HB I, p. 123, 124 angegebenen und , die beide genau im Endlichen identisch, also identitätsverbunden sind. Die Frage der gegenseitigen Ableitbarkeit bleibt dort allerdings noch unentschieden. Ich werde im Folgenden die gegenseitige Nichtableitbarkeit von und im Prädikatenkalkül der ersten Stufe beweisen. Daraus folgt dann, daβ für den vollen Prädikatenkalkül die Bernayssche Deduktionsgleichheit nicht mit der Identitätsverbundenheit zusammenfällt. Es sei erwähnt, daβ die Identitätsverbundenheit sich zwar in der “Protosyntax” (d.h. metasprachliches “Alle” und “Es gibt” beschränkt auf Zeichenreihen) definieren läβt. Trotzdem kann man nicht von einer verschärften Vollständigkeit des Prädikatenkalküls sprechen; denn es läβt sich zeigen, daβ die Identitätsverbundenheit keine Beziehung vom Typ der Beweisbarkeit ist.