Soient k un corps de nombres et
f: X → P1k un
k-morphisme surjectif de k-variétés projectives lisses,
à fibre générique géométriquement intègre. Supposons que
les fibres de f au-dessus d'un sous-ensemble Hilbertien de P1(k) satisfont le principe
de Hasse (resp. le principe de Hasse et l'approximation faible). Supposons que toutes
les fibres géométriques de f ont au moins une composante de multiplicité un. Le
rang de f est la somme des degrés des points fermés P
dont la fibre XP = f−1(P) ne
possède pas de composante de multiplicité un géométriquement intègre. Supposons
le rang au plus égal à 2. Alors l'obstruction de Brauer–Manin au principe de Hasse
(resp. à l'approximation faible) sur X est la seule. Dans des articles antérieurs nous
n'avions obtenu ce résultat que sous des hypothèses plus fortes sur la nature des
fibres. Le présent énoncé, obtenu grâce à une descente sur des variétés ouvertes,
permet d'étudier des variétés données par des équations affines simples, sans calcul
explicite d'un modè le projectif et lisse.