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Le calcul du maximum et la “dérivée” selon Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī

Published online by Cambridge University Press:  24 October 2008

Nicolas Farès
Nicolas Farès
Affiliation:
Université de Reims, U.F.R. Sciences, Département de Mathématiques, Moulin de la Housse, B.P. 347 – 51062 Reims Cédex, France; Université Libanaise, Faculté des Sciences, Département de Mathématiques, Qobbeh, Tripoli, Liban
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Abstract

The importance of the Treatise on equations by Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (12th century) has been brought to our attention by R. Rashed (1974, 1986), who underlined the analytical aspects of this essentially algebraic work. Following Rashed, this article concentrates on one of these analytical concepts, namely the maximum of a polynomial expression f(x) of degree 3. The purpose is to clarify the techniques that led al-Ṭūsī, when computing the maximum of f(x), to systematically display algebraic equations equivalent to f(x) = 0. By demonstrating that al-Ṭūsī's essentially algebraic proofs were also based on analytical procedures, we show that the presence of these equations was not fortuitous, but resulted from a correct understanding of the maximum of f(x). The accompanying geometrical representations were primarily for illustration.

L'importance du Traité des équations de Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (2e moitié du XIIe siècle), a été mise en évidence par les travaux de R. Rashed (1974, 1986), qui ont souligné les aspects analytiques de cette œuvre essentiellement algébrique. Parmi les notions analytiques qui figurent dans le Traité d'al-Ṭūsī, nous évoquerons uniquement celle du maximum d'une expression polynomiale du 3e degré, f(x). La présente étude pourrait apporter une contribution à une problématique posée par R. Rashed: élucider les moyens et les techniques qui, lors du calcul du maximum, auraient conduit al-Ṭūsī à mettre systématiquement en valeur des équations équivalentes à fʹ(x) = 0. Notre étude confirme que la présence de telles expressions n'est pas fortuite; elle découle d'une conception correcte du maximum de f(x). À cet effet, nous montrons que si les démonstrations utilisées par al-Ṭūsī sont essentiellement algébriques, elles s'appuient sur des procédés analytiques; les représentations géométriques qui les accompagnent constituent surtout des moyens de visualisation.

Type
Research Article
Information
Arabic Sciences and Philosophy , Volume 5 , Issue 2 , September 1995 , pp. 219 - 237
Copyright
Copyright © Cambridge University Press 1995

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References

1 Il s'agit, en fait, de l'équation ⅓ fʹ (x) = 0.Google Scholar

2 Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī: Œuvres mathématiques. Algèbre et géométrie au XIIe siècle, éd. Rashed, R., Collection Sciences et Philosophie Arabes. Textes et Études, 2 vol. (Paris, 1986). Traduit en arabe par N. Farès, Centre for Arab Unity Studies (Beyrouth, 1995), à paraître.Google ScholarRashed, Voir aussi R., “Résolution des équations numériques et algèbre. Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī, Viète”, Archive for History of Exact Sciences, 12, 3 (1974): 244–90;CrossRefGoogle Scholar repris dans Id., Entre arithmétique et algèbre: Recherches sur l'histoire des mathématiques arabes (Paris, 1984), Chap. 3, pp. 148–93.Google Scholar

3 Houzel, Dans C., “Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī. Œuvres mathématiques. Algèbre et géométrie au XIIe siècle”, Gazette des mathématiciens, 39 (1989): 58–63, on trouve un compte-rendu du livre du même titre.Google Scholar

4 Il s'agit, plus précisément, des équations du troisième degré, pouvant ne pas avoir de solutions (réelles positives) numérotées de 21 à 25 conformément au classement d'al-Ṭūsī et qui sont les suivantes:Google Scholar

5 Il s'agit, en fait, de l'équation ⅓13 fʹ(x) = 0.Google Scholar

6 Nous respectons, ici, la numérotation des équations adoptée par Rashed conformément à l'ordre suivi par a1-Ṭūsī [Rashed, Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī. Œuvres mathématiques], pp. XXI.Google Scholar

7 Rashed, Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī. Œuvres mathématiques, I, pp. XXIV-XXV.Google Scholar

8 D est bien déterminé pour les équations (21) et (22) où on a respectivement D = ]0, a[ et pour les équations (23) et (24), al-Ṭūsī ne donne que des conditions nécessaires pour que f(x) < 0. De telles conditions sont absentes pour l'équation (25). En revanche, pour cette dernière, ainsi que pour l'équation (24), il présente une étude qui revient à localiser les deux racines positives.

9 L'étape analytique manque dans le 3ecas de l'équation 25.

10 Voir note 9.Google Scholar

11 Le fait d'aboutir à la forme présentée par al-Ṭūsī ne constitue pas un argument en faveur d'une éventuelle voie d'interprétation offerte par la remarque 2.2. En effet, il était dans la tradition, de présenter les équations du second degré sous leur forme normalisée. L'interprétation présentée au §1 a l'avantage d'être fidèle non seulement au style mais surtout aux textes mêmes d'al-Ṭūsī.Google Scholar

12 Rashed, Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī. Œuvres mathématiques, I, p. 32. Ce résultat peut être considéré comme une conséquence de la prop.Google Scholar 5 du Livre II des Éléments [cf. Eucide, The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated with Introduction and Commentary by Heath, Th., 3 vol., Republication of the second edition (New York, 1956), t. I, p. 382–3].Google Scholar

13 Rashed, Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī. Œuvres mathématiques, I, p. XXVII.Google Scholar

14 Ibid., I, p. XXVI.

15 Ibid., I, p. XXIII.

16 Ibid., I, Notes complémentaires 2.9.

17 Ibid., II, p. XVII, lemme 2.

18 Ibid., I, p. XIX.

19 Cf. Houzel, “Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī. Œuvres mathématiques”, (cité note 3).Google Scholar

* Je remercie MM. les Professeurs B. El Mabsout (Université de Paris VI) et C. Houzel (Université de Paris VII) d'avoir bien voulu relire cet article et de m'avoir fait part de leurs observations.Google Scholar