2 Fonction zêta de Hurwitz

Pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ , on définit la fonction zêta de Hurwitz

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}(x,s)=\mathop{\sum }_{\substack{ y>0 \\ y\equiv x(1)}}y^{-s}\quad (\Re (s)>1) & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

et la fonction zêta périodique

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,s)=\mathop{\sum }_{n=1}^{\infty }e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}nx}n^{-s}\quad (\Re (s)>1). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On a donc $\unicode[STIX]{x1D701}(0,s)=\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(0,s)=\unicode[STIX]{x1D701}(s)$ . La fonction $s\mapsto \unicode[STIX]{x1D701}(x,s)$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $\mathbf{C}$ , avec un unique pôle simple en $s=1$ , de résidu égal à $1$  [Reference Knopp and RobinsKR01, Corollary 2(a)].

Définition 2.1. Pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ , on pose

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }(x,1)=\lim _{s\rightarrow 1}\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}(x,s)-\frac{1}{s-1}\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ , $x\neq 0$ , la fonction $s\mapsto \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,s)$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $\mathbf{C}$  [Reference Knopp and RobinsKR01, Corollary 2(c)]. Pour tout entier $N\geqslant 1$ , en notant $\unicode[STIX]{x1D701}_{N}=e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}/N}$ , on a les relations suivantes

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \mathop{\sum }_{x\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{xu}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{x}{N},s\biggr)=N^{s}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{u}{N},s\biggr), & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \mathop{\sum }_{x\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{xu}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{x}{N},s\biggr)=N^{1-s}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u}{N},s\biggr). & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

La formule de Hurwitz [Reference Knopp and RobinsKR01, (2), Corollary 2(b)] est une équation fonctionnelle reliant  $\unicode[STIX]{x1D701}$  et  $\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}$ ,

(6) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}(x,1-s)=\frac{\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{s}}(e^{-i\unicode[STIX]{x1D70B}s/2}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,s)+e^{i\unicode[STIX]{x1D70B}s/2}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(-x,s)), & \displaystyle\end{eqnarray}$$

(7) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,s)=\frac{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{s}}{\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)(e^{-i\unicode[STIX]{x1D70B}s}-e^{i\unicode[STIX]{x1D70B}s})}(e^{-i\unicode[STIX]{x1D70B}s/2}\unicode[STIX]{x1D701}(x,1-s)-e^{i\unicode[STIX]{x1D70B}s/2}\unicode[STIX]{x1D701}(-x,1-s)). & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Rappelons maintenant les résultats concernant les valeurs spéciales de $\unicode[STIX]{x1D701}$ et $\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}$ aux entiers. Les polynômes de Bernoulli $B_{n}(x)$ sont définis par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{te^{xt}}{e^{t}-1}=\mathop{\sum }_{n=0}^{\infty }B_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On a $B_{0}(x)=1$ , $B_{1}(x)=x-\frac{1}{2}$ , $B_{2}(x)=x^{2}-x+\frac{1}{6}$ .

Pour $x\in \mathbf{R}$ , on note $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ la partie fractionnaire de $x$ .

Pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ et $n\geqslant 2$ , on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}(x,1-n)=-\frac{B_{n}(\{x\})}{n}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On en déduit, pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ et $n\geqslant 2$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,n)+(-1)^{n}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(-x,n)=-\frac{(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{n}}{n!}B_{n}(\{x\}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ , on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}(x,0)=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle {\textstyle \frac{1}{2}}-\{x\}\quad & \text{si }x\neq 0,\\ \displaystyle -{\textstyle \frac{1}{2}}\quad & \text{si }x=0.\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On déduit de la formule de Hurwitz que pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ , $x\neq 0$ , on a

(8) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,1)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(-x,1)=2i\unicode[STIX]{x1D70B}({\textstyle \frac{1}{2}}-\{x\}), & \displaystyle\end{eqnarray}$$

(9) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }(x,1)-\unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }(-x,1)=i\unicode[STIX]{x1D70B}\frac{e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}x}+1}{e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}x}-1}. & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Notons les relations suivantes : pour tout $n\geqslant 1$ et tout $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ , avec $x\neq 0$ si $n=1$ , on a

(10) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}(-x,1-n)=(-1)^{n}\unicode[STIX]{x1D701}(x,1-n), & \displaystyle\end{eqnarray}$$

(11) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(-x,1-n)=(-1)^{n}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,1-n). & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Définition 2.2. Pour $u\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , définissons les fonctions $\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{u}:\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{C}$ par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u}(n)=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}1\quad & \text{si }n\equiv u\;(\text{mod}\;N),\\ 0\quad & \text{si }n\not \equiv u\;(\text{mod}\;N),\end{array}\right. & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{u}(n)=\mathop{\sum }_{x\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u}(x)\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-xn}=\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-un}. & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

3 Séries d’Eisenstein–Kronecker

Nous définissons dans cette section les séries d’Eisenstein–Kronecker classiques [Reference ColmezCol04, § 1.3], [Reference KatoKat04, § 3], [Reference SchoenebergSch74, ch. VII], [Reference WeilWei99, ch. VIII].

Pour $k\geqslant 0$ un entier, $\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}}$ , $z,u\in \mathbf{C}$ , on pose

$$\begin{eqnarray}\displaystyle {\mathcal{K}}_{k}(s,\unicode[STIX]{x1D70F},z,u)=\frac{\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)}{(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k}}\biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}\biggr)^{s-k}\mathop{\sum }_{\substack{ \unicode[STIX]{x1D714}\in \mathbf{Z}+\unicode[STIX]{x1D70F}\mathbf{Z} \\ \unicode[STIX]{x1D714}\neq -z}}\frac{\overline{\unicode[STIX]{x1D714}+z}^{k}}{|\unicode[STIX]{x1D714}+z|^{2s}}\exp \biggl(\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}(\unicode[STIX]{x1D714}\overline{u}-\overline{\unicode[STIX]{x1D714}}u)}{\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Cette série converge pour $s\in \mathbf{C}$ , $\Re (s)>1+k/2$ , et possède un prolongement méromorphe au plan complexe, holomorphe sur $\mathbf{C}$ sauf éventuellement des pôles simples en $s=0$ (si $k=0$ et $z\in \mathbf{Z}+\unicode[STIX]{x1D70F}\mathbf{Z}$ ) et en $s=1$ (si $k=0$ et $u\in \mathbf{Z}+\unicode[STIX]{x1D70F}\mathbf{Z}$ ). La fonction ${\mathcal{K}}_{k}(s,\unicode[STIX]{x1D70F},z,u)$ est périodique en $u$ de période $\mathbf{Z}+\unicode[STIX]{x1D70F}\mathbf{Z}$ , et vérifie

$$\begin{eqnarray}\displaystyle {\mathcal{K}}_{k}(s,\unicode[STIX]{x1D70F},z+\unicode[STIX]{x1D706},u)=\exp \biggl(\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}(\overline{\unicode[STIX]{x1D706}}u-\unicode[STIX]{x1D706}\overline{u})}{\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}\biggr){\mathcal{K}}_{k}(s,\unicode[STIX]{x1D70F},z,u)\quad (\unicode[STIX]{x1D706}\in \mathbf{Z}+\unicode[STIX]{x1D70F}\mathbf{Z}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En particulier la fonction $z\mapsto {\mathcal{K}}_{k}(s,\unicode[STIX]{x1D70F},z,0)$ est $(\mathbf{Z}+\unicode[STIX]{x1D70F}\mathbf{Z})$ -périodique. La fonction ${\mathcal{K}}_{k}$ vérifie l’équation fonctionnelle [Reference WeilWei99, ch. VIII, (32)]

$$\begin{eqnarray}\displaystyle {\mathcal{K}}_{k}(s,\unicode[STIX]{x1D70F},z,u)=\exp \biggl(\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}(u\overline{z}-\overline{u}z)}{\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}\biggr){\mathcal{K}}_{k}(k+1-s,\unicode[STIX]{x1D70F},u,z). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour $k\geqslant 1$ , $N\geqslant 1$ un entier, $a,b\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , $\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}}$ , on pose

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F})={\mathcal{K}}_{k}\biggl(k,\unicode[STIX]{x1D70F},\frac{a\unicode[STIX]{x1D70F}+b}{N},0\biggr),\quad F_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F})={\mathcal{K}}_{k}\biggl(k,\unicode[STIX]{x1D70F},0,\frac{a\unicode[STIX]{x1D70F}+b}{N}\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour $\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}}$ et $\unicode[STIX]{x1D6FC}\in \mathbf{Q}_{{>}0}$ , on pose $q^{\unicode[STIX]{x1D6FC}}=e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}\unicode[STIX]{x1D6FC}\unicode[STIX]{x1D70F}}$ .

Lemme 3.1. Supposons $k\geqslant 1$ , $k\neq 2$ . La fonction $E_{a,b}^{(k)}$ est une série d’Eisenstein de poids $k$ pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ , et son $q$ -développement est donné par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F})=a_{0}(E_{a,b}^{(k)})+\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv a(N)}}n^{k-1}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{bn}q^{mn/N}+(-1)^{k}\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv -a(N)}}n^{k-1}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bn}q^{mn/N} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(E_{a,b}^{(1)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }a=b=0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}\quad & \text{si }a=0\text{ et }b\neq 0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a}{N}\biggr\}\quad & \text{si }a\neq 0,\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

et pour $k\geqslant 3$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(E_{a,b}^{(k)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b}{N},1-k\biggr)\quad & \text{si }a=0,\\ 0\quad & \text{si }a\neq 0.\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 3.2. Supposons $k=2$ . La fonction $E_{a,b}^{(2)}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur ${\mathcal{H}}$ . Elle est modulaire de poids $2$ pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ , et son développement de Fourier est donné par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{a,b}^{(2)}(\unicode[STIX]{x1D70F})=a_{0}(E_{a,b}^{(2)})+\frac{1}{4\unicode[STIX]{x1D70B}\Im (\unicode[STIX]{x1D70F})}+\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv a(N)}}n\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{bn}q^{mn/N}+\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv -a(N)}}n\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bn}q^{mn/N} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(E_{a,b}^{(2)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b}{N},-1\biggr)\quad & \text{si }a=0,\\ \displaystyle -\frac{1}{12}\quad & \text{si }a\neq 0.\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En particulier $E_{a,b}^{(2)}-E_{0,0}^{(2)}$ est une série d’Eisenstein de poids $2$ pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ .

Lemme 3.3. Supposons $k\geqslant 1$ , et $(a,b)\neq (0,0)$ dans le cas $k=2$ . La fonction $F_{a,b}^{(k)}$ est une série d’Eisenstein de poids $k$ pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ , et son $q$ -développement est donné par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle F_{a,b}^{(k)}=a_{0}(F_{a,b}^{(k)})+N^{1-k}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ n\equiv a(N)}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{bm}n^{k-1}q^{mn/N}+(-1)^{k}\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ n\equiv -a(N)}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bm}n^{k-1}q^{mn/N}\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(F_{a,b}^{(1)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }a=b=0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}\quad & \text{si }a=0\text{ et }b\neq 0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a}{N}\biggr\}\quad & \text{si }a\neq 0,\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

et pour $k\geqslant 2$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(F_{a,b}^{(k)})=\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{a}{N},1-k\biggr)=-\frac{B_{k}(\{a/N\})}{k}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Nous allons maintenant définir des séries d’Eisenstein dont le $q$ -développement est rationnel.

Définition 3.5. Pour $k\geqslant 1$ , $a,b\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , on pose

$$\begin{eqnarray}\displaystyle G_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F})=a_{0}(G_{a,b}^{(k)})+\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv a,n\equiv b(N)}}m^{k-1}q^{mn}+(-1)^{k}\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv -a,n\equiv -b(N)}}m^{k-1}q^{mn} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(G_{a,b}^{(1)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }a=b=0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}-\biggl\{\frac{b}{N}\biggr\}\quad & \text{si }a=0\text{ et }b\neq 0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a}{N}\biggr\}\quad & \text{si }a\neq 0\text{ et }b=0,\\ \displaystyle 0\quad & \text{si }a\neq 0\text{et }b\neq 0,\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

et pour $k\geqslant 2$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(G_{a,b}^{(k)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle -N^{k-1}\frac{B_{k}(\{a/N\})}{k}\quad & \text{si }b=0,\\ \displaystyle 0\quad & \text{si }b\neq 0.\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Démonstration.

On vérifie l’identité

$$\begin{eqnarray}\displaystyle F_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F})=N^{1-k}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{bc}G_{a,c}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Par inversion de Fourier, il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle G_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)=N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}F_{a,c}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Le résultat suit alors du lemme 3.3. ◻

On en déduit le lemme suivant.

Rappelons que l’involution d’Atkin–Lehner $W_{N}$ sur $M_{k}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N))$ est définie par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle (W_{N}f)(\unicode[STIX]{x1D70F})=i^{k}N^{-k/2}\unicode[STIX]{x1D70F}^{-k}f\biggl(-\frac{1}{N\unicode[STIX]{x1D70F}}\biggr)\quad (f\in M_{k}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N))). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Définition 3.9. Pour $k\geqslant 1$ , $a,b\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , on pose

$$\begin{eqnarray}\displaystyle H_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F})=a_{0}(H_{a,b}^{(k)})+\mathop{\sum }_{m,n\geqslant 1}(\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-am-bn}+(-1)^{k}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{am+bn})n^{k-1}q^{mn} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(H_{a,b}^{(1)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }a=b=0,\\ \displaystyle -\frac{1}{2}\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}\quad & \text{si }a=0\text{ et }b\neq 0,\\ \displaystyle -\frac{1}{2}\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{a}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{a}}\quad & \text{si }a\neq 0\text{ et }b=0,\\ \displaystyle -\frac{1}{2}\biggl(\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{a}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{a}}+\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}\biggr)\quad & \text{si }a\neq 0\text{ et }b\neq 0,\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

et pour $k\geqslant 2$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(H_{a,b}^{(k)})=\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b}{N},1-k\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Notons l’identité $H_{-a,-b}^{(k)}=(-1)^{k}H_{a,b}^{(k)}$ .

Lemme 3.10. Soit $k\geqslant 1$ , $a,b\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ . Dans le cas $k=2$ , supposons $a\neq 0$ . Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle W_{N^{2}}(G_{a,b}^{(k)})=\frac{i^{k}}{N}H_{a,b}^{(k)}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En particulier $H_{a,b}^{(k)}$ est une forme modulaire de poids $k$ pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N^{2})$ .

Démonstration.

Le cas $k=1$ est traité dans [Reference BrunaultBru16, Lemma 13]. Supposons donc $k\geqslant 2$ , avec $a\neq 0$ si $k=2$ . Par définition, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle W_{N^{2}}(G_{a,b}^{(k)})(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle i^{k}N^{-k}\unicode[STIX]{x1D70F}^{-k}G_{a,b}^{(k)}\biggl(-\frac{1}{N^{2}\unicode[STIX]{x1D70F}}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle i^{k}N^{-k}\unicode[STIX]{x1D70F}^{-k}N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}F_{a,c}^{(k)}\biggl(-\frac{1}{N\unicode[STIX]{x1D70F}}\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

D’après le lemme 3.4, il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle W_{N^{2}}(G_{a,b}^{(k)})(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle i^{k}N^{-k}\unicode[STIX]{x1D70F}^{-k}N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}(N\unicode[STIX]{x1D70F})^{k}F_{c,-a}^{(k)}(N\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle i^{k}N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}F_{c,-a}^{(k)}(N\unicode[STIX]{x1D70F}).\nonumber\end{eqnarray}$$

En utilisant le développement de Fourier de $F^{(k)}$ (lemme 3.3), on obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle W_{N^{2}}(G_{a,b}^{(k)})(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle i^{k}N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}a_{0}(F_{c,-a}^{(k)})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,i^{k}N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}N^{1-k}\mathop{\sum }_{m,n\geqslant 1}(\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a}(m)\unicode[STIX]{x1D6FF}_{c}(n)+(-1)^{k}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a}(m)\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-c}(n))n^{k-1}q^{mn}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle i^{k}N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{c}{N},1-k\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{i^{k}}{N}\mathop{\sum }_{m,n\geqslant 1}(\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a}(m)\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b}(n)+(-1)^{k}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a}(m)\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b}(n))n^{k-1}q^{mn}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{i^{k}}{N}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b}{N},1-k\biggr)+\mathop{\sum }_{m,n\geqslant 1}(\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a}(m)\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b}(n)+(-1)^{k}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a}(m)\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b}(n))n^{k-1}q^{mn}\biggr).\Box \nonumber\end{eqnarray}$$

Dans le cas du poids $2$ , on a également les résultats suivants.

Lemme 3.11. Soient $b,b^{\prime }\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ . La fonction $G_{0,b^{\prime }}^{(2)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)-G_{0,b}^{(2)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)$ est une forme modulaire de poids $2$ pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ . En particulier $G_{0,b^{\prime }}^{(2)}-G_{0,b}^{(2)}$ est modulaire pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N^{2})$ . De plus on a

(12) $$\begin{eqnarray}\displaystyle W_{N^{2}}(G_{0,b^{\prime }}^{(2)}-G_{0,b}^{(2)})=-\frac{1}{N}(H_{0,b^{\prime }}^{(2)}-H_{0,b}^{(2)}). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

En particulier $H_{0,b^{\prime }}^{(2)}-H_{0,b}^{(2)}$ est une forme modulaire de poids $2$ pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N^{2})$ .

Démonstration.

Le caractère modulaire de $G_{0,b^{\prime }}^{(2)}-G_{0,b}^{(2)}$ résulte de la formule explicite

$$\begin{eqnarray}\displaystyle G_{0,b^{\prime }}^{(2)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)-G_{0,b}^{(2)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)=\mathop{\sum }_{\substack{ c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z} \\ c\neq 0}}(\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-b^{\prime }c}-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc})F_{0,c}^{(2)}(\unicode[STIX]{x1D70F}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Un calcul analogue au lemme 3.10 mène alors à (12). ◻

Pour terminer cette section, nous déterminons la fonction $L$ associée à $H_{a,b}^{(k)}$ (voir [Reference KatoKat04, 3.10] pour le cas des séries $E_{a,b}^{(k)}$ et $F_{a,b}^{(k)}$ ).

Rappelons que si $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(f)q^{n}$ est une forme modulaire de poids $k\geqslant 1$ pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N)$ , alors la fonction $L$ de $f$ est définie par $L(f,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(f)n^{-s}$ pour $\Re (s)>k$ .

La fonction $L$ complétée de $f$ est définie par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s):=N^{s/2}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)L(f,s)=N^{s/2}\int _{0}^{\infty }f^{\ast }(iy)y^{s}\,\frac{dy}{y}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Elle se prolonge en une fonction méromorphe sur $\mathbf{C}$ qui vérifie l’équation fonctionnelle

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s)=\unicode[STIX]{x1D6EC}(W_{N}f,k-s)\quad (f\in M_{k}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N))). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

De plus, la fonction $\unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s)+a_{0}(f)/s+a_{0}(W_{N}f)/(k-s)$ est holomorphe sur $\mathbf{C}$  [Reference MiyakeMiy06, Theorem 4.3.5].

Définition 3.13. Les valeurs régularisées de $\unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s)$ en $s=0$ et $s=k$ sont définies par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f,0):=\lim _{s\rightarrow 0}\biggl(\unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s)+\frac{a_{0}(f)}{s}\biggr), & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f,k):=\lim _{s\rightarrow k}\biggl(\unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s)+\frac{a_{0}(W_{N}f)}{k-s}\biggr). & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Notons que $\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f,k)=\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(W_{N}f,0)$ pour tout $f\in M_{k}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N))$ .

Lemme 3.14. Soit $k\geqslant 1$ et $a,b\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , avec $a\neq 0$ si $k=2$ . Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(H_{a,b}^{(k)},s)=N^{s}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a}{N},s\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b}{N},s-k+1\biggr)\!+(-1)^{k}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a}{N},s\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b}{N},s-k+1\biggr)\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Dans le cas $k=2$ , soient $b,b^{\prime }\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ . Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(H_{0,b^{\prime }}^{(2)}-H_{0,b}^{(2)},s) & = & \displaystyle N^{s}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)\unicode[STIX]{x1D701}(s)(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b^{\prime }}{N},s-1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b^{\prime }}{N},s-1\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b}{N},s-1\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b}{N},s-1\biggr)\!).\nonumber\end{eqnarray}$$

4 Cycles de Shokurov

Soit $N\geqslant 3$ un entier. Soit $Y(N)$ le courbe modulaire de niveau $N$ définie sur $\mathbf{Q}$ , et soit $E$ la courbe elliptique universelle au-dessus de $Y(N)$ . Fixons un entier $n\geqslant 0$ . Notons $E^{n}$ la puissance fibrée $n$ -ième de $E$ au-dessus de $Y(N)$ . C’est une variété abélienne de dimension relative $n$ sur $Y(N)$ . Les points complexes de $E^{n}$ sont décrits par l’isomorphisme [Reference DeningerDen97, (3.6)]

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E^{n}(\mathbf{C})=(\mathbf{Z}^{2n}\rtimes \text{SL}_{2}(\mathbf{Z}))\backslash ({\mathcal{H}}\times \mathbf{C}^{n}\times \text{GL}_{2}(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On note $\unicode[STIX]{x1D70E}=\big(\!\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\!\big)$ . Pour tout entier $0\leqslant j\leqslant n$ , on définit le cycle de Shokurov

$$\begin{eqnarray}\displaystyle X^{j}Y^{n-j}\{0,\infty \}=\{(iy;it_{1}y,\ldots ,it_{j}y,t_{j+1},\ldots ,t_{n};\unicode[STIX]{x1D70E}):y>0,t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]\}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

C’est un $(n+1)$ -cycle sur $E^{n}(\mathbf{C})$ , muni de l’orientation produit. Il est naturellement fibré au-dessus du symbole modulaire $\{0,\infty \}$ . Notons $f_{j}:X^{j}Y^{n-j}\{0,\infty \}\rightarrow \{0,\infty \}$ cette fibration.

On a donc

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,j}=\{(iy,it_{1}y,\ldots ,it_{j}y,t_{j+1},\ldots ,t_{n},\unicode[STIX]{x1D70E}):t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]\}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

5 Symbole d’Eisenstein

On note $X(N)$ la compactification de $Y(N)$ , et on note $X^{\infty }=X(N)-Y(N)$ l’ensemble des pointes de $X(N)$ , vu comme sous-schéma fermé de $X(N)$ . On a une bijection

$$\begin{eqnarray}\displaystyle P(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})\backslash \text{GL}_{2}(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}) & \xrightarrow[{}]{\cong } & \displaystyle X^{\infty }\nonumber\\ \displaystyle [g] & \mapsto & \displaystyle g\infty \nonumber\end{eqnarray}$$

où $P$ est le sous-groupe algébrique de $\text{SL}_{2}$ formé des matrices de la forme $\pm \big(\!\begin{smallmatrix}1 & \ast \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\!\big)$ . Pour tout entier $n\geqslant 0$ , on définit

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathbf{Q}[X^{\infty }]^{(n)}=\left\{f:\text{GL}_{2}(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})\rightarrow \mathbf{Q}:f\left(\left(\begin{array}{@{}cc@{}}\ast & \ast \\ 0 & 1\end{array}\right)g\right)=f(g)=(-1)^{n}f(-g)\right\}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Ce groupe est (non canoniquement) isomorphe au groupe des diviseurs sur $X^{\infty }$ .

Fixons un entier $n\geqslant 0$ . On dispose d’une application résidu

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Res}^{n}:H_{{\mathcal{M}}}^{n+1}(E^{n},\mathbf{Q}(n+1))\rightarrow \mathbf{Q}[X^{\infty }]^{(n)} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

généralisant l’application diviseur pour $n=0$ . Notons $V_{0}$ le sous-groupe de $\mathbf{Q}[X^{\infty }]^{(0)}$ formé des diviseurs de degré $0$ , et notons $V_{n}=\mathbf{Q}[X^{\infty }]^{(n)}$ pour $n\geqslant 1$ . L’image de l’application $\text{Res}^{n}$ est égale à $V_{n}$ (généralisation du théorème de Manin–Drinfeld). Le symbole d’Eisenstein, construit par Beilinson, est une application canonique

telle que 

Notons $\unicode[STIX]{x1D714}^{n}:\mathbf{Q}[(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}]\rightarrow \mathbf{Q}[X^{\infty }]^{(n)}$ l’application horosphérique, définie par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D714}^{n}(\unicode[STIX]{x1D719})(g)=\mathop{\sum }_{v\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}}\unicode[STIX]{x1D719}(g^{-1}v)B_{n+2}\biggl(\biggl\{\frac{v_{2}}{N}\biggr\}\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Dans le cas $n=0$ , l’application $\unicode[STIX]{x1D714}^{0}$ induit une surjection de $\mathbf{Q}[(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}\backslash \{0\}]$ dans $V_{0}$ ; dans le cas $n\geqslant 1$ , l’application $\unicode[STIX]{x1D714}^{n}$ est surjective [Reference Schappacher and SchollSS91, 7.5] (la preuve donnée dans cet article marche également pour $n=0$ ).

Définition 5.1. Soit $u\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ . Dans le cas $n=0$ , on suppose $u\neq 0$ . On définit

(13)

où $\unicode[STIX]{x1D719}_{u}$ est la fonction caractéristique de $\{u\}$ .

Notons que $\text{Eis}^{0}(u)$ n’est autre que l’unité de Siegel $g_{u}\otimes (2/N)$  [Reference KatoKat04, § 1].

Par définition, on a $\text{Res}^{n}(\text{Eis}^{n}(u))=\unicode[STIX]{x1D714}^{n}(\unicode[STIX]{x1D719}_{u})$ ; l’application horosphérique donne donc les résidus des symboles d’Eisenstein.

Le groupe $G=\text{GL}_{2}(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})$ agit à gauche sur $E^{n}$ . Sur les points complexes, cette action est induite par $\unicode[STIX]{x1D6FE}\cdot (\unicode[STIX]{x1D70F},z,g)=(\unicode[STIX]{x1D70F},z,g^{t}\unicode[STIX]{x1D6FE})$ . On en déduit une action à droite de $G$ sur $H_{{\mathcal{M}}}^{n+1}(E^{n},\mathbf{Q}(n+1))$ . Les applications $\text{Res}^{n}$ et  étant $G$ -équivariantes, on a le lemme suivant.

Lemme 5.2. Pour tout $g\in G$ , et pour tout $u\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ (avec $u\neq 0$ si $n=0$ ), on a

(14) $$\begin{eqnarray}\displaystyle g^{\ast }\,\text{Eis}^{n}(u)=\text{Eis}^{n}(ug). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Dans la suite de cette section, nous rappelons la description explicite de la réalisation du symbole d’Eisenstein en cohomologie de Deligne [Reference BeilinsonBei86, Reference DeningerDen97, Reference Deninger and SchollDS91].

Commençons par quelques rappels sur la cohomologie de Deligne $H_{{\mathcal{D}}}^{i}(X/\mathbf{R},\mathbf{R}(j))$ associée à un schéma $X$ lisse et quasi-projectif sur $\mathbf{R}$ . Notons ${\mathcal{S}}^{\cdot }(X,\mathbf{R}(n))$ le complexe des formes différentielles ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $X(\mathbf{C})$ à valeurs dans $\mathbf{R}(n)=(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{n}\mathbf{R}$ vérifiant $c^{\ast }\unicode[STIX]{x1D714}=(-1)^{n}\unicode[STIX]{x1D714}$ , où $c$ désigne la conjugaison complexe sur $X(\mathbf{C})$ . Par la résolution des singularités, il existe une compactification lisse $\overline{X}$ de $X$ telle que $X^{\infty }:=\overline{X}-X$ soit un diviseur à croisements normaux. Pour un entier $m\geqslant 0$ , notons $\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\overline{X}}^{m}\langle X^{\infty }\rangle$ le $\mathbf{C}$ -espace vectoriel des $m$ -formes holomorphes sur $X(\mathbf{C})$ à singularités logarithmiques le long de $X^{\infty }(\mathbf{C})$ . Pour toute forme différentielle $\unicode[STIX]{x1D6FC}$ et tout entier $n\in \mathbf{Z}$ , notons $\unicode[STIX]{x1D70B}_{n}(\unicode[STIX]{x1D6FC})=\frac{1}{2}(\unicode[STIX]{x1D6FC}+(-1)^{n}\overline{\unicode[STIX]{x1D6FC}})$ .

Proposition 5.3 [Reference Deninger and SchollDS91, (2.5.1)].

Pour tout entier $n\geqslant 0$ , on a un isomorphisme

$$\begin{eqnarray}\displaystyle H_{{\mathcal{D}}}^{n+1}(X/\mathbf{R},\mathbf{R}(n+1))\cong \frac{\{\unicode[STIX]{x1D719}\in {\mathcal{S}}^{n}(X,\mathbf{R}(n))\mid d\unicode[STIX]{x1D719}=\unicode[STIX]{x1D70B}_{n}(\unicode[STIX]{x1D714})\text{ avec }\unicode[STIX]{x1D714}\in \unicode[STIX]{x1D6FA}_{\overline{X}}^{n+1}\langle X^{\infty }\rangle \}}{d{\mathcal{S}}^{n-1}(X,\mathbf{R}(n))}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour décrire la réalisation du symbole d’Eisenstein en cohomologie de Deligne, considérons maintenant l’application régulateur notée  définie par Beilinson,

D’après la proposition 5.3, les éléments de $H_{{\mathcal{D}}}^{n+1}(E^{n}/\mathbf{R},\mathbf{R}(n+1))$ sont représentés par des $n$ -formes différentielles sur $E^{n}(\mathbf{C})$ . Nous noterons $(\unicode[STIX]{x1D70F};z_{1},\ldots ,z_{n};g)$ les coordonnées naturelles sur $E^{n}(\mathbf{C})$ , avec $\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}}$ , $z_{i}\in \mathbf{C}$ , $g\in \text{GL}_{2}(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})$ , et nous poserons $q=e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}\unicode[STIX]{x1D70F}}$ . Pour tous entiers $a,b\geqslant 0$ tels que $a+b=n$ , définissons la $n$ -forme différentielle sur $\mathbf{C}^{n}$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D713}_{a,b}=\frac{1}{n!}\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D70E}\in \mathfrak{S}_{n}}\unicode[STIX]{x1D700}(\unicode[STIX]{x1D70E})d\overline{z}_{\unicode[STIX]{x1D70E}(1)}\wedge \cdots \wedge d\overline{z}_{\unicode[STIX]{x1D70E}(b)}\wedge dz_{\unicode[STIX]{x1D70E}(b+1)}\wedge \cdots \wedge dz_{\unicode[STIX]{x1D70E}(n)}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

D’après [Reference DeningerDen97, (3.12), (3.28)] et [Reference Huber and KingsHK99, Remark after Lemma 7.1], on a la proposition suivante.

Proposition 5.4. Soit $u\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ , avec $u\neq 0$ dans le cas $n=0$ . L’élément  est représenté par une $n$ -forme différentielle $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{n}(u)$ vérifiant

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{n}(u)=-\frac{n!(n+2)}{2i\unicode[STIX]{x1D70B}N}\frac{\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}{2}\mathop{\sum }_{a=0}^{n}\biggl(\,\sum ^{\prime }_{(c,d)\in \mathbf{Z}^{2}}\frac{\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{c(gu)_{1}+d(gu)_{2}}}{(c\unicode[STIX]{x1D70F}+d)^{a+1}(c\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+d)^{n+1-a}}\biggr)\unicode[STIX]{x1D713}_{a,n-a}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}d\unicode[STIX]{x1D70F},d\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

De plus, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle d\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{n}(u)=\unicode[STIX]{x1D70B}_{n}(\text{Eis}_{\text{hol}}^{n}(u)) & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

où $\text{Eis}_{\text{hol}}^{n}(u)$ est la série d’Eisenstein holomorphe de poids $n+2$ définie par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{\text{hol}}^{n}(u)=-\frac{(n+2)!}{(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{2}N}\sum ^{\prime }_{(c,d)\in \mathbf{Z}^{2}}\frac{\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{c(gu)_{1}+d(gu)_{2}}}{(c\unicode[STIX]{x1D70F}+d)^{n+2}}\frac{dq}{q}\wedge dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{n}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

6 Éléments de Deninger–Scholl

Dans cette section, nous rappelons la définition des éléments de Deninger–Scholl et calculons explicitement leurs réalisations en cohomologie de Deligne.

Soit $k\geqslant 0$ un entier. On choisit une décomposition $k=k_{1}+k_{2}$ avec $k_{1},k_{2}\geqslant 0$ . Considérons les projections canoniques $p_{1}:E^{k_{1}+k_{2}}\rightarrow E^{k_{1}}$ et $p_{2}:E^{k_{1}+k_{2}}\rightarrow E^{k_{2}}$ . Les éléments suivants, définis par Gealy dans [Reference GealyGea05], sont une généralisation des éléments de Beilinson–Kato et Deninger–Scholl.

Définition 6.1. Soient $u_{1},u_{2}\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ . Dans le cas où $k_{i}=0$ , on suppose $u_{i}\neq 0$ . On pose

(15) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})=p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}^{k_{1}}(u_{1})\cup p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}^{k_{2}}(u_{2})\in H_{{\mathcal{M}}}^{k+2}(E^{k},\mathbf{Q}(k+2)). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Dans le cas $k=0$ , on retrouve les éléments de Beilinson–Kato dans le $K_{2}$ de la courbe modulaire $Y(N)$  [Reference KatoKat04]. Notons également la relation $\text{Eis}^{0,k}(u_{2},u_{1})=(-1)^{k+1}\,\text{Eis}^{k,0}(u_{1},u_{2})$ , qui découle du caractère commutatif gradué du cup-produit [Reference Deninger and SchollDS91, (1.3), Theorem (2)].

Pour décrire la réalisation de ces éléments en cohomologie de Deligne, considérons le régulateur de Beilinson

Les éléments de $H_{{\mathcal{D}}}^{k+2}(E^{k}/\mathbf{R},\mathbf{R}(k+2))$ sont représentés par des $(k+1)$ -formes différentielles fermées sur $E^{k}(\mathbf{C})$ . En effet, comme $E^{k}$ est de dimension $k+1$ , il n’y a pas de $(k+2)$ -forme holomorphe sur $E^{k}(\mathbf{C})$ , et la proposition 5.3 entraîne un isomorphisme

$$\begin{eqnarray}\displaystyle H_{{\mathcal{D}}}^{k+2}(E^{k}/\mathbf{R},\mathbf{R}(k+2))\cong H^{k+1}({\mathcal{S}}^{\cdot }(E^{k}/\mathbf{R},\mathbf{R}(k+1))). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 6.2. L’élément  est représenté par la forme différentielle fermée

(16) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2}) & = & \displaystyle p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{k_{1}+1}\unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{1}+1}(p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{1}}(u_{1}))\wedge p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{2}}(u_{2}).\end{eqnarray}$$

7 La méthode de Rogers–Zudilin

Rogers et Zudilin [Reference Rogers and ZudilinRZ12] ont introduit une nouvelle méthode permettant de calculer certaines mesures de Mahler en termes de valeurs de fonctions $L$ . Cette méthode est basée sur un changement de variables astucieux dans une intégrale le long du symbole modulaire $\{0,\infty \}$ . Dans cette section, nous expliquons cette méthode dans un cadre assez général (voir également l’interprétation proposée dans [Reference Diamantis, Neururer and StrömbergDNS15]). L’identité obtenue (proposition 7.2) est la clé de notre calcul du régulateur.

Introduisons, pour des fonctions $\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}:\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{C}$ et des nombres complexes $t,u\in \mathbf{C}$ , la série suivante

(17) $$\begin{eqnarray}\displaystyle S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{t,u}(\unicode[STIX]{x1D70F})=\mathop{\sum }_{m\geqslant 1}\mathop{\sum }_{n\geqslant 1}\unicode[STIX]{x1D6FC}(m)\unicode[STIX]{x1D6FD}(n)m^{t}n^{u}q^{mn/N}\quad (q=e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}\unicode[STIX]{x1D70F}}). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Cette série définit une fonction holomorphe sur ${\mathcal{H}}$ .

Lemme 7.1. Pour $s\in \mathbf{C}$ , $\Re (s)\gg 0$ , la fonction $y\mapsto S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{t,u}(iy)y^{s-1}$ est intégrable sur $]\!0,+\infty \![$ , et on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{0}^{\infty }S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{t,u}(iy)y^{s}\,\frac{dy}{y}=\biggl(\frac{2\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)L(\unicode[STIX]{x1D6FC},s-t)L(\unicode[STIX]{x1D6FD},s-u). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour $s\in \mathbf{C}$ , $\Re (s)\ll 0$ , la fonction $y\mapsto S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{t,u}(i/y)y^{s-1}$ est intégrable sur $]\!0,+\infty \![$ , et on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{0}^{\infty }S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{t,u}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)y^{s}\,\frac{dy}{y}=\biggl(\frac{2\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s)L(\unicode[STIX]{x1D6FC},-s-t)L(\unicode[STIX]{x1D6FD},-s-u). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Nous pouvons maintenant énoncer la proposition-clé à la base de la méthode de Rogers–Zudilin.

Proposition 7.2. Soient $t_{1},u_{1},t_{2},u_{2},s\in \mathbf{C}$ des nombres complexes, et soient $\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1},\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1},\unicode[STIX]{x1D6FC}_{2},\unicode[STIX]{x1D6FD}_{2}:\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{C}$ des fonctions. On a

(18) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{0}^{\infty }S_{\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1},\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}}^{t_{1},u_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)S_{\unicode[STIX]{x1D6FC}_{2},\unicode[STIX]{x1D6FD}_{2}}^{t_{2},u_{2}}(iy)y^{s}\,\frac{dy}{y}=\int _{0}^{\infty }S_{\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1},\unicode[STIX]{x1D6FC}_{2}}^{t_{1}+s,t_{2}}(iy)S_{\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1},\unicode[STIX]{x1D6FD}_{2}}^{u_{1},u_{2}-s}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)y^{s}\,\frac{dy}{y}. & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

8 Quelques développements de Fourier

Dans cette section, nous calculons le développement de Fourier de la réalisation du symbole d’Eisenstein en cohomologie de Deligne. Commençons par rappeler le développement de Fourier de $\text{Eis}_{\text{hol}}^{n}(u)$ , qui a en fait déjà été déterminé dans la § 3.

Proposition 8.1. Soit $n\geqslant 0$ un entier, et soit $u\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ (avec $u\neq 0$ si $n=0$ ). Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{\text{hol}}^{n}(u)=(-1)^{n+1}\frac{n+2}{N}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{n}F_{\unicode[STIX]{x1D70E}gu}^{(n+2)}(\unicode[STIX]{x1D70F})\,\frac{dq}{q}\wedge \,dz_{1}\wedge \cdots \wedge \,dz_{n}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Démonstration.

Par définition, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \sum ^{\prime }_{(c,d)\in \mathbf{Z}^{2}}\frac{\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{c(gu)_{1}+d(gu)_{2}}}{(c\unicode[STIX]{x1D70F}+d)^{n+2}} & = & \displaystyle \frac{(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{n+2}}{(n+1)!}{\mathcal{K}}_{n+2}\biggl(n+2,\unicode[STIX]{x1D70F},0,\frac{-(gu)_{2}\unicode[STIX]{x1D70F}+(gu)_{1}}{N}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{n+2}}{(n+1)!}F_{-(gu)_{2},(gu)_{1}}^{(n+2)}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{n+2}}{(n+1)!}F_{\unicode[STIX]{x1D70E}gu}^{(n+2)}(\unicode[STIX]{x1D70F}).\nonumber\end{eqnarray}$$

On en déduit le résultat. ◻

La forme différentielle $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{n}(u)$ étant invariante par $\unicode[STIX]{x1D70F}\mapsto \unicode[STIX]{x1D70F}+N$ , elle possède un développement de Fourier en la variable $q^{1/N}=e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}\unicode[STIX]{x1D70F}/N}$ .

Introduisons, pour des entiers $a,b\geqslant 0$ , et $u=(u_{1},u_{2})\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ , les séries d’Eisenstein analytiques réelles suivantes

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle E_{u}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F})=\sum ^{\prime }_{(m,n)\equiv (u_{1},u_{2})(N)}\frac{1}{(m\unicode[STIX]{x1D70F}+n)^{a+1}(m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+n)^{b+1}}\quad (\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}}), & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle F_{u}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F})=\sum ^{\prime }_{(m,n)\in \mathbf{Z}^{2}}\frac{\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{mu_{1}+nu_{2}}}{(m\unicode[STIX]{x1D70F}+n)^{a+1}(m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+n)^{b+1}}\quad (\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}}). & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On a donc

(19) $$\begin{eqnarray}\displaystyle F_{u}^{a,b}=\mathop{\sum }_{x,y\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{xu_{1}+yu_{2}}E_{(x,y)}^{a,b}. & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

D’après la proposition 5.4 et la définition de $F_{u}^{a,b}$ , on a

(20) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{n}(u)=-\frac{n!(n+2)}{2i\unicode[STIX]{x1D70B}N}\frac{\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}{2}\mathop{\sum }_{a=0}^{n}F_{gu}^{a,n-a}(\unicode[STIX]{x1D70F})\unicode[STIX]{x1D713}_{a,n-a}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}d\unicode[STIX]{x1D70F},d\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}. & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Pour des entiers $k,\ell \in \mathbf{Z}$ et des fonctions $\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}:\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{C}$ , nous poserons également

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \overline{S}_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{k,\ell }(\unicode[STIX]{x1D70F})=\overline{S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{k,\ell }(\unicode[STIX]{x1D70F})}=\mathop{\sum }_{m\geqslant 1}\mathop{\sum }_{n\geqslant 1}\overline{\unicode[STIX]{x1D6FC}}(m)\overline{\unicode[STIX]{x1D6FD}}(n)m^{k}n^{\ell }\overline{q}^{mn/N}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Proposition 8.2. Pour $a,b\geqslant 0$ et $u_{1},u_{2}\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , on a

(21) $$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{(u_{1},u_{2})}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{0}(u_{1})N^{-a-b-2}\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)+(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{b}\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N^{a+b+2}}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right) (\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\!)(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{b+1}}{b!}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j} (S_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}S_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-u_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{b+1}}{a!}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j} (\overline{S}_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}\overline{S}_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-u_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F})).\end{eqnarray}$$

Démonstration.

On suit la méthode classique [Reference SchoenebergSch74, ch. III, § 2] pour déterminer le développement de Fourier des séries d’Eisenstein. Pour $a,b\geqslant 0$ , $\unicode[STIX]{x1D70F}\in \mathbf{C}-\mathbf{R}$ et $x\in \mathbf{R}$ , posons

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,\unicode[STIX]{x1D70F}}(x)=\mathop{\sum }_{n\in \mathbf{Z}}\frac{1}{(\unicode[STIX]{x1D70F}+n+x)^{a+1}(\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+n+x)^{b+1}}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Cette série converge et définit une fonction $1$ -périodique de $x$ . Rappelons le calcul classique de son développement de Fourier

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,\unicode[STIX]{x1D70F}}(x)=\mathop{\sum }_{r\in \mathbf{Z}}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,\unicode[STIX]{x1D70F}})e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}rx}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 8.3. On a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,\unicode[STIX]{x1D70F}})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle \frac{(-1)^{b}}{b!}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}(-1)^{j}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}(2i\unicode[STIX]{x1D70B}r)^{j}e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}r\unicode[STIX]{x1D70F}}\quad & \text{si }\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}},r\geqslant 1,\\ \displaystyle \frac{(-1)^{b}}{a!}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}(2i\unicode[STIX]{x1D70B}r)^{j}e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}r\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}\quad & \text{si }\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}},r\leqslant -1,\\ \displaystyle (-1)^{b}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right)(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1}\quad & \text{si }\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}},r=0,\\ (-1)^{a+b}c_{-r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,-\unicode[STIX]{x1D70F}})\quad & \text{si }\unicode[STIX]{x1D70F}\in -{\mathcal{H}}.\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Exprimons maintenant $E_{u}^{a,b}$ en termes de $\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,\unicode[STIX]{x1D70F}}$ . On a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{(u_{1},u_{2})}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}\sum ^{\prime }_{n\equiv u_{2}(N)}\frac{1}{n^{a+b+2}}+\mathop{\sum }_{\substack{ m\equiv u_{1}(N) \\ m\neq 0}}\mathop{\sum }_{n\in \mathbf{Z}}\frac{1}{(m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2}+Nn)^{a+1}(m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+u_{2}+Nn)^{b+1}}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ n\geqslant 1 \\ n\equiv u_{2}(N)}}\frac{1}{n^{a+b+2}}+\mathop{\sum }_{\substack{ n\leqslant -1 \\ n\equiv u_{2}(N)}}\frac{1}{n^{a+b+2}}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\equiv u_{1}(N) \\ m\neq 0}}\mathop{\sum }_{n\in \mathbf{Z}}\frac{1}{((m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N+n)^{a+1}((m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+u_{2})/N+n)^{b+1}}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ n\geqslant 1 \\ n\equiv u_{2}(N)}}\frac{1}{n^{a+b+2}}+(-1)^{a+b}\mathop{\sum }_{\substack{ n\geqslant 1 \\ n\equiv -u_{2}(N)}}\frac{1}{n^{a+b+2}}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\equiv u_{1}(N) \\ m\neq 0}}\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N}(0)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}N^{-a-b-2}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ x>0 \\ x\equiv (u_{2}/N)(1)}}\frac{1}{x^{a+b+2}}+(-1)^{a+b}\mathop{\sum }_{\substack{ x>0 \\ x\equiv -(u_{2}/N)(1)}}\frac{1}{x^{a+b+2}}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\equiv u_{1}(N) \\ m\neq 0}}\mathop{\sum }_{r\in \mathbf{Z}}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}N^{-a-b-2}\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)+(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,N^{-a-b-2} (\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\in \mathbf{Z}}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\in \mathbf{Z}}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}-u_{2})/N})\!).\nonumber\end{eqnarray}$$

On distingue ensuite suivant la valeur de $r$ , ce qui donne

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle E_{(u_{1},u_{2})}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}N^{-a-b-2}\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)+(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}(-1)^{b}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right)\biggl(\frac{m\unicode[STIX]{x1D70F}-m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}{N}\biggr)^{-a-b-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,(-1)^{a+b}N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}(-1)^{b}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right)\biggl(\frac{m\unicode[STIX]{x1D70F}-m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}{N}\biggr)^{-a-b-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,N^{-a-b-2}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N})+(-1)^{a+b}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}-u_{2})/N})\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,N^{-a-b-2} (\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\leqslant -1}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N})+(-1)^{a+b}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\leqslant -1}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}-u_{2})/N})\!).\nonumber\end{eqnarray}$$

En utilisant l’expression des coefficients de Fourier de $\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,\unicode[STIX]{x1D70F}}$ , il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{(u_{1},u_{2})}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}N^{-a-b-2}\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)+(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{b}\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N^{a+b+2}}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right) (\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\!)(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}\frac{(-1)^{b}}{b!}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}(-1)^{j}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}\biggl(\frac{m(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})}{N}\biggr)^{-a-b-1+j}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,(2i\unicode[STIX]{x1D70B}r)^{j}e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}r((m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N)}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{a+b}}{N^{a+b+2}}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}\frac{(-1)^{b}}{b!}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}(-1)^{j}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}\biggl(\frac{m(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})}{N}\biggr)^{-a-b-1+j}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,(2i\unicode[STIX]{x1D70B}r)^{j}e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}r((m\unicode[STIX]{x1D70F}-u_{2})/N)}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\leqslant -1}\frac{(-1)^{b}}{a!}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}\biggl(\frac{m(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})}{N}\biggr)^{-a-b-1+j}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,(2i\unicode[STIX]{x1D70B}r)^{j}e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}r((m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+u_{2})/N)}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{a+b}}{N^{a+b+2}}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\leqslant -1}\frac{(-1)^{b}}{a!}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}\biggl(\frac{m(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})}{N}\biggr)^{-a-b-1+j}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,(2i\unicode[STIX]{x1D70B}r)^{j}e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}r((m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}-u_{2})/N)}.\nonumber\end{eqnarray}$$

On obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle E_{(u_{1},u_{2})}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \hspace{2.5pt}=\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}N^{-a-b-2}\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)+(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad +\,(-1)^{b}\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N^{a+b+2}}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)+(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\biggr)(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \hspace{2.5pt}\quad +\,\frac{(-1)^{b+1}}{b!}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}m^{-a-b-1+j}r^{j}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{ru_{2}}q^{mr/N}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \hspace{2.5pt}\quad +\,\frac{(-1)^{a+1}}{b!}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}\!\!\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\!\!\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}m^{-a-b-1+j}r^{j}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-ru_{2}}q^{mr/N}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \hspace{2.5pt}\quad +\,\frac{(-1)^{b+1}}{a!}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}m^{-a-b-1+j}r^{j}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-ru_{2}}\overline{q}^{mr/N}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \hspace{2.5pt}\quad +\,\frac{(-1)^{a+1}}{a!}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}m^{-a-b-1+j}r^{j}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{ru_{2}}\overline{q}^{mr/N}\nonumber\end{eqnarray}$$

d’où le résultat. ◻

Proposition 8.4. Pour $a,b\geqslant 0$ et $u_{1},u_{2}\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , on a

(22) $$\begin{eqnarray}\displaystyle F_{(u_{1},u_{2})}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)+(-1)^{a+b}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{b}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FF}_{0}(u_{2})(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1} (\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\!)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{b+1}}{b!}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}N(S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-u_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{u_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{b+1}}{a!}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}N(\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{u_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-u_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F})).\end{eqnarray}$$

On déduit le développement de Fourier de $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{n}(u)$ de la formule (20) et de la proposition 8.4.

9 Calcul du régulateur

Le calcul de l’intégrale de $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})$ le long du cycle de Shokurov $X^{k}\{0,\infty \}$ procède en trois étapes. Dans un premier temps, nous intégrons $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})$ sur les fibres $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}$ du cycle de Shokurov. Dans un deuxième temps, nous intégrons le résultat obtenu le long du symbole modulaire $\{0,\infty \}$ , à l’aide de la méthode de Rogers–Zudilin. L’expression obtenue (33) comporte six termes : un terme principal (noté $A$ ) et cinq termes supplémentaires (notés $B$ à $F$ ) provenant des termes constants des séries d’Eisenstein. Dans un troisième temps, nous montrons que tous les termes supplémentaires se simplifient.

Soit $p:E^{k}(\mathbf{C})\rightarrow Y(N)(\mathbf{C})$ la projection canonique. On a une application naturelle $\unicode[STIX]{x1D708}:{\mathcal{H}}\rightarrow Y(N)(\mathbf{C})$ donnée par $\unicode[STIX]{x1D708}(\unicode[STIX]{x1D70F})=[(\unicode[STIX]{x1D70F},\unicode[STIX]{x1D70E})]$ , qui nous permet de voir le chemin $\{0,\infty \}$ comme une sous-variété de $Y(N)(\mathbf{C})$ . Considérons la sous-variété $W=p^{-1}(\{0,\infty \})$ de $E^{k}(\mathbf{C})$ . On a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle W=\mathop{\bigcup }_{y>0}p^{-1}(\unicode[STIX]{x1D708}(iy))=\mathop{\bigcup }_{y>0}\{iy\}\times \biggl(\frac{\mathbf{C}}{\mathbf{Z}+iy\mathbf{Z}}\biggr)^{k}\times \{\unicode[STIX]{x1D70E}\}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Soient $u_{1}=(a_{1},b_{1})$ , $u_{2}=(a_{2},b_{2})\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ . Nous allons calculer la restriction de $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})$ à $W$ . D’après la proposition 5.4, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})=-\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}\Im (\unicode[STIX]{x1D70F})\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}F_{gu_{1}}^{a,k_{1}-a}(\unicode[STIX]{x1D70F})\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}d\unicode[STIX]{x1D70F},d\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Comme $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})$ est invariante par $\unicode[STIX]{x1D70E}:(\unicode[STIX]{x1D70F},z,g)\mapsto (-1/\unicode[STIX]{x1D70F},z/\unicode[STIX]{x1D70F},\unicode[STIX]{x1D70E}g)$ , il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1}) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D70E}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}\Im \biggl(-\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D70F}}\biggr)\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}F_{\unicode[STIX]{x1D70E}gu_{1}}^{a,k_{1}-a}\biggl(-\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D70F}}\biggr)\unicode[STIX]{x1D70F}^{-a}\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}^{-k_{1}+a}\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}d\unicode[STIX]{x1D70F},d\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}.\nonumber\end{eqnarray}$$

En restreignant à $W$ , il vient

(23) $$\begin{eqnarray}\displaystyle p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})|_{W} & = & \displaystyle -\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}y^{-1}\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}F_{-u_{1}}^{a,k_{1}-a}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)(iy)^{-a}(-iy)^{-k_{1}+a}p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}dy\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}y^{-1}(iy)^{-k_{1}}\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}F_{-u_{1}}^{a,k_{1}-a}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)(-1)^{-k_{1}+a}p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}dy.\end{eqnarray}$$

En utilisant la proposition 8.4, il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle F_{-u_{1}}^{a,k_{1}-a}\biggl(\frac{i}{y}\biggr) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}+(-1)^{k_{1}-a}\left(\begin{array}{@{}c@{}}k_{1}\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}y^{k_{1}+1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{k_{1}+1-a}}{(k_{1}-a)!}N\mathop{\sum }_{\ell =0}^{a}\frac{(k_{1}-\ell )!}{\ell !(a-\ell )!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{\ell +1}\biggl(\frac{2i}{y}\biggr)^{-k_{1}-1+\ell } (S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{k_{1}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\!)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{k_{1}+1-a}}{a!}N\mathop{\sum }_{\ell =0}^{k_{1}-a}\frac{(k_{1}-\ell )!}{\ell !(k_{1}-a-\ell )!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{\ell +1}\biggl(\frac{2i}{y}\biggr)^{-k_{1}-1+\ell } (\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{k_{1}}\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\!)\nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}=\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr), & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}=2i\unicode[STIX]{x1D70B}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}=0}(2i)^{-k_{1}-1}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},k_{1}+1\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},k_{1}+1\biggr)\biggr). & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En reportant dans (23), il vient

(24) $$\begin{eqnarray}\displaystyle p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})|_{W}=\unicode[STIX]{x1D702}_{0}+\unicode[STIX]{x1D702}_{1} & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D702}_{0} & = & \displaystyle -\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}i^{-k_{1}}\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}\left((-1)^{k_{1}-a}\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{-k_{1}-1}+\left(\begin{array}{@{}c@{}}k_{1}\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}\right)p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a},\nonumber\end{eqnarray}$$

(25) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D702}_{1} & = & \displaystyle (-1)^{k_{1}+1}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2^{k_{1}+3}\unicode[STIX]{x1D70B}}\mathop{\sum }_{\ell =0}^{k_{1}}\biggl(S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\biggr)\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{k_{1}+1}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2^{k_{1}+3}\unicode[STIX]{x1D70B}}\mathop{\sum }_{\ell =0}^{k_{1}}\biggl(\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\biggr)\overline{\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}dy\end{eqnarray}$$

où l’on a posé, pour tout $0\leqslant \ell \leqslant k_{1}$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }=\frac{(k_{1}-\ell )!}{\ell !}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{\ell +1}y^{-\ell }\mathop{\sum }_{a=\ell }^{k_{1}}\frac{p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}}{(k_{1}-a)!(a-\ell )!}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

D’autre part, en utilisant la proposition 8.1, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}) & = & \displaystyle (-1)^{k_{2}+1}\frac{k_{2}+2}{N}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}F_{\unicode[STIX]{x1D70E}gu_{2}}^{(k_{2}+2)}(\unicode[STIX]{x1D70F})\,\frac{dq}{q}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle (-1)^{k_{2}+1}\frac{k_{2}+2}{N}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}F_{\unicode[STIX]{x1D70E}gu_{2}}^{(k_{2}+2)}(\unicode[STIX]{x1D70F})\,d\unicode[STIX]{x1D70F}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}\nonumber\end{eqnarray}$$

d’où

$$\begin{eqnarray}\displaystyle p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2})|_{W}=i\frac{k_{2}+2}{N}(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)\,dy\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

puis

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))|_{W}=i\frac{k_{2}+2}{2N}(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}\,dy\wedge (F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}-\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{0,k_{2}}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 9.1. Soit $0\leqslant a\leqslant k_{1}$ un entier. On a

(26) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}=(-1)^{k_{1}-a}(iy)^{k}, & \displaystyle\end{eqnarray}$$

(27) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{0,k_{2}}=(-1)^{k-a}(iy)^{k}. & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Lemme 9.2. Pour tout entier $0\leqslant \ell \leqslant k_{1}$ , on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }\ell <k_{1},\\ \displaystyle \frac{i^{k}}{k_{1}!}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{k_{1}+1}y^{k_{2}}\quad & \text{si }\ell =k_{1},\end{array}\right. & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{0,k_{2}}=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }\ell <k_{1},\\ \displaystyle (-1)^{k_{2}}\frac{i^{k}}{k_{1}!}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{k_{1}+1}y^{k_{2}}\quad & \text{si }\ell =k_{1},\end{array}\right. & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\overline{\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}0\quad & \text{si }\ell <k_{1},\\ \displaystyle (-1)^{k_{1}}\frac{i^{k}}{k_{1}!}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{k_{1}+1}y^{k_{2}}\quad & \text{si }\ell =k_{1},\end{array}\right. & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\overline{\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{0,k_{2}}=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }\ell <k_{1},\\ \displaystyle (-1)^{k}\frac{i^{k}}{k_{1}!}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{k_{1}+1}y^{k_{2}}\quad & \text{si }\ell =k_{1}.\end{array}\right. & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Démonstration.

On applique le lemme 9.1 avec $m=k=k_{1}+k_{2}$ , ce qui donne

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0} & = & \displaystyle \frac{(k_{1}-\ell )!}{\ell !}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{\ell +1}y^{-\ell }\mathop{\sum }_{a=\ell }^{k_{1}}\frac{1}{(k_{1}-a)!(a-\ell )!}\int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{(k_{1}-\ell )!}{\ell !}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{\ell +1}y^{-\ell }\mathop{\sum }_{a=\ell }^{k_{1}}\frac{(-1)^{k_{1}-a}(iy)^{k}}{(k_{1}-a)!(a-\ell )!}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{(k_{1}-\ell )!}{\ell !}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{\ell +1}y^{-\ell }(iy)^{k}\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}-\ell }\frac{(-1)^{k_{1}-\ell -a}}{(k_{1}-\ell -a)!a!}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }\ell <k_{1},\\ \displaystyle \frac{i^{k}}{k_{1}!}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{k_{1}+1}y^{k_{2}}\quad & \text{si }\ell =k_{1}.\end{array}\right.\nonumber\end{eqnarray}$$

Les autres cas se traitent de manière similaire. ◻

On intègre $\unicode[STIX]{x1D702}_{0}\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))$ sur les fibres de $X^{k}\{0,\infty \}\rightarrow \{0,\infty \}$ grâce au lemme 9.1, ce qui donne

(28) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\unicode[STIX]{x1D702}_{0}\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =-(-1)^{k_{1}}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}i^{-k_{1}}\cdot i\frac{k_{2}+2}{2N}(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}\,dy\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}\left((-1)^{k_{1}-a}\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{-k_{1}-1}+\left(\begin{array}{@{}c@{}}k_{1}\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\wedge (F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}-\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{0,k_{2}})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =-(-1)^{k_{1}}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}i^{-k_{1}}\cdot i\frac{k_{2}+2}{2N}(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}\,dy\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}\left((-1)^{k_{1}-a}\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{-k_{1}-1}+\left(\begin{array}{@{}c@{}}k_{1}\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)(-1)^{k_{1}-a}(iy)^{k}-\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)(-1)^{k-a}(iy)^{k})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =-(-1)^{k_{1}}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}i^{-k_{1}}\cdot i\frac{k_{2}+2}{2N}(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}\left((-1)^{k_{1}-a}\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{-k_{1}-1}+\left(\begin{array}{@{}c@{}}k_{1}\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,(-1)^{k_{1}-a}(iy)^{k}(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))\,dy\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =-(-1)^{k_{1}}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}i^{k_{2}+1}\frac{k_{2}+2}{2N}(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}\left(\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{k_{2}-1}+(-1)^{k_{1}-a}\left(\begin{array}{@{}c@{}}k_{1}\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}y^{k}\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))\,dy\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =-(-1)^{k_{1}}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}((k_{1}+1)\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{k_{2}-1}+\unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}y^{k})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))\,dy.\end{eqnarray}$$

On intègre $\unicode[STIX]{x1D702}_{1}\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))$ sur les fibres de $X^{k}\{0,\infty \}\rightarrow \{0,\infty \}$ grâce au lemme 9.2, ce qui donne

(29) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\unicode[STIX]{x1D702}_{1}\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =-i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\biggl(S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{k_{2}}\,dy.\end{eqnarray}$$

Puisque $\overline{S}_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{k,\ell }(i/y)=S_{\overline{\unicode[STIX]{x1D6FC}},\overline{\unicode[STIX]{x1D6FD}}}^{k,\ell }(i/y)$ et comme $\overline{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a}}=\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a}$ et $\overline{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a}}=\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a}$ , il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

En mettant ensemble (28) et (29), il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(-1)^{k_{1}+1}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}} (\,(k_{1}+1)\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{k_{2}-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,\unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}y^{k_{2}} )(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))\,dy\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad -\,i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{k_{2}}\,dy.\nonumber\end{eqnarray}$$

D’autre part, d’après le lemme 3.3, le terme constant de la série d’Eisenstein $F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}$ est réel, et on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,N^{-k_{2}-1}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ n\equiv -a_{2}(N)}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-b_{2}m}n^{k_{2}+1}e^{-(2\unicode[STIX]{x1D70B}mny)/N}+(-1)^{k_{2}}\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ n\equiv a_{2}(N)}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b_{2}m}n^{k_{2}+1}e^{-(2\unicode[STIX]{x1D70B}mny)/N}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,(-1)^{k_{2}+1}N^{-k_{2}-1} (\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ n\equiv -a_{2}(N)}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b_{2}m}n^{k_{2}+1}e^{-(2\unicode[STIX]{x1D70B}mny)/N}+(-1)^{k_{2}}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ n\equiv a_{2}(N)}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-b_{2}m}n^{k_{2}+1}e^{-(2\unicode[STIX]{x1D70B}mny)/N}\! )\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(1+(-1)^{k_{2}+1})\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr)+N^{-k_{2}-1}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-a_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy).\nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 9.3. Pour $s\in \mathbf{C}$ , $\Re (s)<0$ , la fonction $y\mapsto (F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{s-1}$ est intégrable sur $]\!0,+\infty \![$ , et on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{0}^{\infty }(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{s}\,\frac{dy}{y}=i^{k_{2}+2}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{s-k_{2}-2}\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s+k_{2}+2)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},-s+k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-s+k_{2}+2\biggr)\biggr)(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-s+1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad +\,(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-s+1\biggr)\!).\nonumber\end{eqnarray}$$

Démonstration.

L’hypothèse $\Re (s)<0$ entraîne que l’intégrale converge lorsque $y\rightarrow +\infty$ . On a $\overline{F}_{-a_{2},-b_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)=F_{-a_{2},b_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)$ . Pour montrer l’intégrabilité lorsque $y\rightarrow 0$ , on effectue le changement de variables $y\mapsto 1/y$ et on utilise le lemme 3.4 avec $g=\unicode[STIX]{x1D70E}$ , ce qui donne

$$\begin{eqnarray}\displaystyle F_{-a_{2},-b_{2}}^{(k_{2}+2)}(i/y)=(iy)^{k_{2}+2}F_{-b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Il en résulte

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle (F_{-a_{2},-b_{2}}^{(k_{2}+2)}(i/y)+(-1)^{k_{2}+1}F_{-a_{2},b_{2}}^{(k_{2}+2)}(i/y))y^{-s-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(iy)^{k_{2}+2}(F_{-b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}F_{b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{-s-1}.\nonumber\end{eqnarray}$$

Le terme constant de la série d’Eisenstein $F_{-b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}+(-1)^{k_{2}+1}F_{b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}$ est nul, ce qui montre la convergence de l’intégrale de départ pour $\Re (s)<0$ . Par changement de variables dans cette même intégrale, on obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{0}^{\infty }(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{s}\,\frac{dy}{y}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =i^{k_{2}+2}\int _{0}^{\infty }(F_{-b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}F_{b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{-s+k_{2}+2}\,\frac{dy}{y}.\nonumber\end{eqnarray}$$

D’après le lemme 3.3, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle F_{-b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}F_{b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =N^{-k_{2}-1}(S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy)+(-1)^{k_{2}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy)-S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =N^{-k_{2}-1}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{2}}-\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy).\nonumber\end{eqnarray}$$

Grâce au lemme 7.1, on en déduit

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle i^{k_{2}+2}\int _{0}^{\infty }(F_{-b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}F_{b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{-s+k_{2}+2}\,\frac{dy}{y}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{i^{k_{2}+2}}{N^{k_{2}+1}}\int _{0}^{\infty }S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{2}}-\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy)y^{-s+k_{2}+2}\,\frac{dy}{y}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{i^{k_{2}+2}}{N^{k_{2}+1}}\biggl(\frac{2\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{s-k_{2}-2}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s-k_{2}+2)L(\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{2}}-\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{2}},-s+k_{2}+2)L(\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{2}},-s+1)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =i^{k_{2}+2}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{s-k_{2}-2}\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s+k_{2}+2)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},-s+k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-s+k_{2}+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-s+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-s+1\biggr)\biggr).\Box \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour $\Re (s)\ll 0$ , on en déduit

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}y^{s}p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(-1)^{k_{1}+1}k_{1}!\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}\int _{0}^{\infty }(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,((k_{1}+1)\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{k_{2}-1}+\unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}y^{k_{2}})y^{s}\,dy\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad -\,i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}\int _{0}^{\infty }S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\biggl((1+(-1)^{k_{2}+1})\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr)+N^{-k_{2}-1}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-a_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy)\biggr)y^{s+k_{2}}\,dy.\nonumber\end{eqnarray}$$

En appliquant les lemmes 7.1, 9.3 et la proposition 7.2, on obtient

(30) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}y^{s}p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(-1)^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)!(k_{2}+2)}{2N^{2}}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{s-2}\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s+2)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},-s+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-s+2\biggr)\biggr)(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-s-k_{2}+1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-s-k_{2}+1\biggr)\!)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,\unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}\frac{k_{2}+2}{N^{2}}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{s-1}\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s+1)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},-s+1\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-s+1\biggr)\biggr)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-s-k_{2}\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-s-k_{2}\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad -\,i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}(1+(-1)^{k_{2}+1})\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr)\biggl(\frac{2\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{s+k_{2}+1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s-k_{2}-1)\cdot \biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},-s-k_{2}\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},-s-k_{2}\biggr)\biggr)N^{s+k+1} (\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{1}}{N},-s-k-1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},-s-k-1\biggr)\!)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad -\,i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}N^{-k_{2}-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\int _{0}^{\infty }S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b_{2}}}^{s+k_{2},0}(iy)S_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-a_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}}}^{k_{1},-s}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)y^{s+k_{2}}\,dy.\end{eqnarray}$$

L’expression précédente est une fonction méromorphe de $s$ , et tous les termes qui la composent sont holomorphes au voisinage de $s=0$ , excepté les termes suivants :

1. (i) L’expression $\unicode[STIX]{x1D701}(\pm b_{2}/N,-s-k_{2}+1)$ a un pôle simple lorsque $k_{2}=0$ . Mais dans ce cas

   $$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-s-k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-s-k_{2}+1\biggr)=\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-s+1\biggr)-\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-s+1\biggr) & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$
   est holomorphe en $s=0$ ; sa valeur est $\unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }(-b_{2}/N,1)-\unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }(b_{2}/N,1)$ .

2. (ii) Le facteur $\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s-k_{2}-1)$ a un pôle simple. Mais ce terme n’intervient que si $k_{2}$ est impair, et dans ce cas on a

   $$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{1}}{N},-k-1\biggr)+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},-k-1\biggr)=-\frac{B_{k+2}(\{b_{1}/N\})}{k+2}+(-1)^{k}\frac{B_{k+2}(\{-b_{1}/N\})}{k+2}=0. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

L’expression précédente est donc holomorphe en $s=0$ . Nous allons calculer l’intégrale (30) pour $s=0$ , soit

$$\begin{eqnarray}\displaystyle I:=\int _{0}^{\infty }S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b_{2}}}^{k_{2},0}(iy)S_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-a_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}}}^{k_{1},0}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)y^{k_{2}}\,dy. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour cela, nous aurons besoin du lemme suivant [Reference BrunaultBru16, Lemmas 8 and 9].

Lemme 9.4. Soit $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}\in M_{k}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(M))$ et $g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}q^{n}\in M_{\ell }(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(M))$ avec $k,\ell \geqslant 1$ . Soit $h=W_{M}(g)$ . Alors on a

(31) $$\begin{eqnarray}\displaystyle M^{s/2}\int _{0}^{\infty }f^{\ast }(iy)g^{\ast }\biggl(\frac{i}{My}\biggr)y^{s}\,\frac{dy}{y}=\unicode[STIX]{x1D6EC}(fh,s+\ell )-a_{0}\unicode[STIX]{x1D6EC}(h,s+\ell )-b_{0}\unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

En particulier, on a

(32) $$\begin{eqnarray}\displaystyle M^{k/2}\int _{0}^{\infty }f^{\ast }(iy)g^{\ast }\biggl(\frac{i}{My}\biggr)y^{k}\,\frac{dy}{y}=\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(fh,k+\ell )-a_{0}\unicode[STIX]{x1D6EC}(h,k+\ell )-b_{0}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f,k). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

En faisant le changement de variables $y\rightarrow Ny$ dans $I$ , on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle I=N^{k_{2}+1}\int _{0}^{\infty }S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b_{2}}}^{k_{2},0}(iNy)S_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-a_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}}}^{k_{1},0}\biggl(\frac{i}{Ny}\biggr)y^{k_{2}}\,dy. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Par définition, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b_{2}}}^{k_{2},0}(iNy)=H_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1),\ast }(iy)+H_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1),\ast }(iy), & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle S_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-a_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}}}^{k_{1},0}\biggl(\frac{i}{Ny}\biggr)=G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1),\ast }\biggl(\frac{i}{N^{2}y}\biggr)-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1),\ast }\biggl(\frac{i}{N^{2}y}\biggr). & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En utilisant le lemme 9.4 avec $M=N^{2}$ , $f=H_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+H_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)}$ et $g=G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}$ , il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle I=I_{1}+I_{2}+I_{3} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle I_{1} & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f\cdot W_{N^{2}}(g),k+2)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(W_{N^{2}}(f)\cdot g,0)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle i^{-k_{2}-1}N\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)})(G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}),0),\nonumber\\ \displaystyle I_{2} & = & \displaystyle -a_{0}(f)\unicode[STIX]{x1D6EC}(W_{N^{2}}(g),k+2),\nonumber\\ \displaystyle I_{3} & = & \displaystyle -a_{0}(g)\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f,k_{2}+1).\nonumber\end{eqnarray}$$

Calcul de $I_{2}$ . Grâce aux lemmes 3.10 et 3.14, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(W_{N^{2}}(g),k+2) & = & \displaystyle \frac{i^{k_{1}+1}}{N}\unicode[STIX]{x1D6EC}(H_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-H_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)},k+2)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{i^{k_{1}+1}}{N}N^{k+2}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-k-2}\unicode[STIX]{x1D6E4}(k+2)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)+(-1)^{k_{1}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle -\,\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\!)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle i^{k_{1}+1}N^{k+1}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-k-2}(k+1)!\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

On obtient donc

$$\begin{eqnarray}\displaystyle I_{2} & = & \displaystyle -i^{k_{1}+1}N^{k+1}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-k-2}(k+1)!a_{0}(H_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+H_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

Calcul de $I_{3}$ . Si $k_{1}\geqslant 1$ et $a_{2}\neq 0$ , alors $a_{0}(g)=0$ . Si $a_{2}=0$ , alors $g=0$ . On peut donc supposer $k_{1}=0$ et $a_{2}\neq 0$ . Si $b_{1}\neq 0$ , alors $a_{0}(g)=0$ . On peut donc supposer $b_{1}=0$ . Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(g)=\biggl(\frac{1}{2}-\biggl\{\frac{-a_{2}}{N}\biggr\}\biggr)-\biggl(\frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}\biggr)=\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}-\biggl\{-\frac{a_{2}}{N}\biggr\}=2\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}-1. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

De plus

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s) & = & \displaystyle N^{s}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},s\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},s-k_{2}\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},s\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},s-k_{2}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},s\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},s-k_{2}\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},s\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},s-k_{2}\biggr)\!)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle N^{s}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},s\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},s\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},s-k_{2}\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},s-k_{2}\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

Comme $a_{1}\neq 0$ , les fonctions $\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(a_{1}/N,s)$ et $\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(-a_{1}/N,s)$ sont holomorphes sur $\mathbf{C}$ , d’où

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f,k_{2}+1) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(f,k_{2}+1)=N^{k_{2}+1}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-k_{2}-1}k_{2}!\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},1\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},1\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

On a alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle I_{3} & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}\neq 0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}=0}N^{k_{2}+1}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-k_{2}-1}k_{2}!\biggl(1-2\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},1\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},1\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

Alors l’intégrale régularisée de $p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))$ le long de $X^{k}\{0,\infty \}$ est donnée par

(33) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))=A+B+C+D+E+F & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle A & = & \displaystyle A^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle i^{k_{1}-k_{2}+1}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+k_{2}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)})(G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}),0),\nonumber\\ \displaystyle B & = & \displaystyle B^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle (-1)^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)!(k_{2}+2)}{8\unicode[STIX]{x1D70B}^{2}N^{2}}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},2\biggr)\biggr)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}^{(\ast )}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}^{(\ast )}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-k_{2}+1\biggr)\biggr),\nonumber\\ \displaystyle C & = & \displaystyle C^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}\neq 0}\frac{k_{2}+2}{2N^{2}}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},1\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},1\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},1\biggr)\biggr)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-k_{2}\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-k_{2}\biggr)\biggr),\nonumber\\ \displaystyle D & = & \displaystyle D^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -\unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{2}\equiv 1(2)}i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+2k_{2}+2}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr)\cdot \lim _{s\rightarrow 0}\biggl(\unicode[STIX]{x1D6E4}(s-k_{2}-1)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr)+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr)\biggr)\biggr),\nonumber\\ \displaystyle E & = & \displaystyle E^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}N^{-k_{2}-1}I_{2}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle (-1)^{k_{1}}i\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)(k+1)!}{8\unicode[STIX]{x1D70B}N^{2}}a_{0}(H_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+H_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr),\nonumber\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\displaystyle F & = & \displaystyle F^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}N^{-k_{2}-1}I_{3}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}\neq 0}\frac{k_{2}!(k_{2}+2)}{2N^{2}}\biggl(2\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}-1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},1\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},1\biggr)\biggr).\hspace{72.0pt}\nonumber\end{eqnarray}$$

Dans la formule pour $B$ , le symbole $\unicode[STIX]{x1D701}^{(\ast )}$ indique que l’on prend la valeur régularisée lorsque $k_{2}=0$ .

Montrons maintenant que les termes $C$ et $F$ se simplifient. D’après la formule (8), on a

(34) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},1\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},1\biggr)=2i\unicode[STIX]{x1D70B}\biggl(\frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}\biggr). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

D’autre part, en appliquant la formule de Hurwitz (6) en $s=k_{2}+1$ , il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-k_{2}\biggr) & = & \displaystyle \frac{k_{2}!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}}\biggl((-i)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+i^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle (-i)^{k_{2}+1}\frac{k_{2}!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

De même, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-k_{2}\biggr)=(-i)^{k_{2}+1}\frac{k_{2}!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On en déduit

(35) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-k_{2}\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-k_{2}\biggr) & = & \displaystyle 2\frac{(-i)^{k_{2}+1}k_{2}!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}} (\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\!).\end{eqnarray}$$

En reportant (34) et (35) dans le terme $C$ , on obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle C & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}\neq 0}\frac{k_{2}+2}{2N^{2}}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},1\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,2i\unicode[STIX]{x1D70B}\biggl(\frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}\biggr)2\frac{(-i)^{k_{2}+1}k_{2}!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}\neq 0}\frac{k_{2}!(k_{2}+2)}{2N^{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},1\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(1-2\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -F.\nonumber\end{eqnarray}$$

Nous allons maintenant simplifier d’autres termes, en distinguant les cas suivant $k_{2}$ .

Premier cas: $k_{2}=0$ .

On a alors $D=0$ . Nous allons montrer que $B+E=0$ . On a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle B & = & \displaystyle (-1)^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)!}{4\unicode[STIX]{x1D70B}^{2}N^{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},2\biggr)\biggr)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }\biggl(-\frac{b_{2}}{N},1\biggr)-\unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }\biggl(\frac{b_{2}}{N},1\biggr)\biggr)\nonumber\end{eqnarray}$$

et

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E & = & \displaystyle (-1)^{k_{1}}i\frac{(k_{1}+2)!}{4\unicode[STIX]{x1D70B}N^{2}}a_{0}(H_{b_{2},a_{1}}^{(1)}+H_{b_{2},-a_{1}}^{(1)})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},2\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

Si $b_{2}=0$ , alors $H_{0,a_{1}}^{(1)}+H_{0,-a_{1}}^{(1)}=0$ et donc $B=E=0$ . Nous pouvons donc supposer $b_{2}\neq 0$ . D’après la formule (9), on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }\biggl(-\frac{b_{2}}{N},1\biggr)-\unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }\biggl(\frac{b_{2}}{N},1\biggr)=i\unicode[STIX]{x1D70B}\frac{\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-b_{2}}+1}{\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-b_{2}}-1}=i\unicode[STIX]{x1D70B}\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b_{2}}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b_{2}}}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

D’après la définition 3.9 et en utilisant l’identité

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{a}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{a}}+\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-a}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-a}}=0\quad (a\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}-\{0\}), & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(H_{b_{2},a_{1}}^{(1)}+H_{b_{2},-a_{1}}^{(1)})=-\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b_{2}}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b_{2}}}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En reportant dans $B$ et $E$ , on obtient $B+E=0$ . Au final, on a donc dans ce cas

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))=A\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =i^{k_{1}+1}\frac{(k_{1}+2)}{2N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+1}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{b_{2},a_{1}}^{(1)}+G_{b_{2},-a_{1}}^{(1)})(G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}),0).\nonumber\end{eqnarray}$$

Second cas: $k_{2}\geqslant 1$ .

Puisque $\unicode[STIX]{x1D701}(-b_{2}/N,-k_{2}+1)=(-1)^{k_{2}}\unicode[STIX]{x1D701}(b_{2}/N,-k_{2}+1)$ , on a $B=0$ (lorsque $k_{2}=1$ , on utilise ici l’hypothèse $b_{2}\neq 0$ ).

Comparons les termes $D$ et $E$ . On a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E & = & \displaystyle (-1)^{k_{1}}i\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)(k+1)!}{8\unicode[STIX]{x1D70B}N^{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

D’après (11), on a $\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(-a_{1}/N,-k_{2})+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(a_{1}/N,-k_{2})=0$ si $k_{2}$ est pair. Donc $E=0$ dès que $k_{2}$ est pair, et nous supposons désormais $k_{2}$ impair. Par la formule d’Hurwitz en $s=k_{2}+2$ , on obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr) & = & \displaystyle \frac{(k_{2}+1)!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+2}}\biggl((-i)^{k_{2}+2}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)+i^{k_{2}+2}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{i^{k_{2}+2}(k_{2}+1)!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

Appliquons maintenant la formule d’Hurwitz aux termes à l’intérieur de la limite dans $D$ . Il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr) & = & \displaystyle \frac{\unicode[STIX]{x1D6E4}(k+2-s)}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2-s}} (e^{-(i\unicode[STIX]{x1D70B}/2)(k+2-s)}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2-s\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,e^{(i\unicode[STIX]{x1D70B}/2)(k+2-s)}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2-s\biggr)\!),\nonumber\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr) & = & \displaystyle \frac{\unicode[STIX]{x1D6E4}(k+2-s)}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2-s}} (e^{-(i\unicode[STIX]{x1D70B}/2)(k+2-s)}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2-s\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,e^{(i\unicode[STIX]{x1D70B}/2)(k+2-s)}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2-s\biggr)\!),\nonumber\end{eqnarray}$$

d’où l’on déduit

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr)+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{\unicode[STIX]{x1D6E4}(k+2-s)}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2-s}} (e^{-(i\unicode[STIX]{x1D70B}/2)(k+2-s)}(1-e^{-i\unicode[STIX]{x1D70B}s})\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2-s\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,e^{(i\unicode[STIX]{x1D70B}/2)(k+2-s)}(1-e^{i\unicode[STIX]{x1D70B}s})\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2-s\biggr)\!).\nonumber\end{eqnarray}$$

Lorsque $s\rightarrow 0$ , on a $\unicode[STIX]{x1D6E4}(s-k_{2}-1)\sim (1/(k_{2}+1)!)s^{-1}$ et $1-e^{\pm i\unicode[STIX]{x1D70B}s}\sim \mp i\unicode[STIX]{x1D70B}s$ d’où

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \lim _{s\rightarrow 0}\biggl(\unicode[STIX]{x1D6E4}(s-k_{2}-1)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr)+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr)\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{(k+1)!}{(k_{2}+1)!(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}}\biggl((-i)^{k+2}i\unicode[STIX]{x1D70B}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+i^{k+2}(-i\unicode[STIX]{x1D70B})\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{(k+1)!(-i)^{k+2}i\unicode[STIX]{x1D70B}}{(k_{2}+1)!(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

En reportant dans $D$ , on obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle D & = & \displaystyle -i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+2k_{2}+2}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\frac{i^{k_{2}+2}(k_{2}+1)!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\frac{(k+1)!(-i)^{k+2}i\unicode[STIX]{x1D70B}}{(k_{2}+1)!(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -i\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)(k+1)!}{8\unicode[STIX]{x1D70B}N^{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -E.\nonumber\end{eqnarray}$$

Au final, on a donc dans ce cas

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))=A. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Dans tous les cas, on a donc

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))=A^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Démonstration du théorème 1.1.

Rappelons que la forme différentielle $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})$ est donnée par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2}) & = & \displaystyle p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{k_{1}+1}\unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{1}+1}(p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{1}}(u_{1}))\wedge p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{2}}(u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{(k_{1}+1)(k_{2}+1)}p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{2}}(u_{2})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{1}+1}(p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{1}}(u_{1})).\nonumber\end{eqnarray}$$

Notons $\unicode[STIX]{x1D703}:E^{k}\rightarrow E^{k}$ l’isomorphisme défini par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D703}:E^{k}=E^{k_{2}}\times _{Y(N)}E^{k_{1}}\xrightarrow[{}]{\cong }E^{k_{1}}\times _{Y(N)}E^{k_{2}}=E^{k}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Cet isomorphisme laisse stable le cycle de Shokurov $X^{k}\{0,\infty \}$ en multipliant l’orientation par $(-1)^{k_{1}k_{2}}$ . Il vient donc

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{2}}(u_{2})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{1}+1}(p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{1}}(u_{1}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(-1)^{k_{1}k_{2}}\int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D703}^{\ast }(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{2}}(u_{2})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{1}+1}(p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{1}}(u_{1})))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(-1)^{k_{1}k_{2}}A^{k_{2},k_{1}}(u_{2},u_{1}).\nonumber\end{eqnarray}$$

On obtient ainsi

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =A^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})+(-1)^{k_{1}+k_{2}+1}A^{k_{2},k_{1}}(u_{2},u_{1})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+1} (i^{k_{1}-k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)})(G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}),0)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,(-1)^{k_{1}+k_{2}+1}i^{k_{2}-k_{1}+1}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}+G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)})(G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)}-G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}),0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+1}i^{k_{1}-k_{2}+1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)})(G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)})-(G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}+G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)})(G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)}-G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}),0)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{k+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+1}i^{k_{1}-k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)}G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)},0).\Box \nonumber\end{eqnarray}$$

Nous terminons par un résultat partiel pour le calcul du régulateur dans le cas où $k_{i}=1$ et $b_{i}=0$ .

Théorème 9.5. Soit $k\geqslant 0$ un entier. Soit $N\geqslant 3$ un entier, et soient $a,a^{\prime },b,c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ . Supposons $(a,b),(a^{\prime },b)\neq (0,0)$ si $k=0$ , et $b\neq 0$ si $k=1$ . Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k+1}\{0,\infty \}}^{\ast }\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k,1}((a,b),(c,0))-\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{3(k+2)}{2N^{k+3}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}i^{k}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{0,a}^{(2)}-G_{0,a^{\prime }}^{(2)})G_{b,-c}^{(k+1)}-(G_{0,-a}^{(2)}-G_{0,-a^{\prime }}^{(2)})G_{b,c}^{(k+1)},0).\nonumber\end{eqnarray}$$

Notons que les séries d’Eisenstein $G_{0,a}^{(2)}$ sont seulement quasi-modulaires, mais que les différences $G_{0,a}^{(2)}-G_{0,a^{\prime }}^{(2)}$ sont modulaires.

Démonstration.

On a comme dans le calcul précédent

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k+1}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{1}^{\ast }(\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k}(a,b)-\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k}(a^{\prime },b))\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{2}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{1}(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =A^{k,1}((a,b),(c,0))-A^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))+B^{k,1}((a,b),(c,0))-B^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,C^{k,1}((a,b),(c,0))-C^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))+D^{k,1}((a,b),(c,0))-D^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,E^{k,1}((a,b),(c,0))-E^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))+F^{k,1}((a,b),(c,0))-F^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0)).\nonumber\end{eqnarray}$$

Comme $B^{k,1}((a,b),(c,0))$ ne dépend pas de $a$ , on a $B^{k,1}((a,b),(c,0))-B^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))=0$ . On a également

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle C^{k,1}((a,b),(c,0))+F^{k,1}((a,b),(c,0))=0, & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle C^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))+F^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))=0. & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Par ailleurs les termes $D$ et $E$ ne font pas intervenir $b_{2}$ , donc le calcul précédent montre que

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle D^{k,1}((a,b),(c,0))+E^{k,1}((a,b),(c,0))=0, & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle D^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))+E^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))=0. & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Il reste

(36) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k+1}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{1}^{\ast }(\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k}(a,b)-\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k}(a^{\prime },b))\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{2}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{1}(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =A^{k,1}((a,b),(c,0))-A^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =i^{k}\frac{3(k+2)}{4N^{k+3}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{0,a}^{(2)}-G_{0,a^{\prime }}^{(2)}+G_{0,-a}^{(2)}-G_{0,-a^{\prime }}^{(2)})(G_{b,-c}^{(k+1)}-G_{b,c}^{(k+1)}),0).\end{eqnarray}$$

D’autre part, en notant $q_{1}:E^{1+k}\rightarrow E$ et $q_{2}:E^{1+k}\rightarrow E^{k}$ les deux projections canoniques, il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k+1}\{0,\infty \}}^{\ast }q_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{1}(c,0)\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k+1}(q_{2}^{\ast }(\text{Eis}_{\text{hol}}^{k}(a,b)-\text{Eis}_{\text{hol}}^{k}(a^{\prime },b)))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =A^{1,k}((c,0),(a,b))-A^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b))+B^{1,k}((c,0),(a,b))-B^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,C^{1,k}((c,0),(a,b))-C^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b))+D^{1,k}((c,0),(a,b))-D^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,E^{1,k}((c,0),(a,b))-E^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b))+F^{1,k}((c,0),(a,b))-F^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b)).\nonumber\end{eqnarray}$$

On vérifie directement que tous les termes $B$ à $F$ sont nuls, et il reste

(37) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k+1}\{0,\infty \}}^{\ast }q_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{1}(c,0)\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k+1}(q_{2}^{\ast }(\text{Eis}_{\text{hol}}^{k}(a,b)-\text{Eis}_{\text{hol}}^{k}(a^{\prime },b)))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =A^{1,k}((c,0),(a,b))-A^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =i^{2-k}\frac{3(k+2)}{4N^{k+3}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{0,-a}^{(2)}-G_{0,-a^{\prime }}^{(2)}-G_{0,a}^{(2)}+G_{0,a^{\prime }}^{(2)})(G_{b,c}^{(k+1)}+G_{b,-c}^{(k+1)}),0).\end{eqnarray}$$

D’après (36) et (37), on obtient finalement

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k+1}\{0,\infty \}}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k,1}((a,b),(c,0))-\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =A^{k,1}((a,b),(c,0))-A^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))+(-1)^{k}(A^{1,k}((c,0),(a,b))-A^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b)))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{3(k+2)}{2N^{k+3}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}i^{k}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{0,a}^{(2)}-G_{0,a^{\prime }}^{(2)})G_{b,-c}^{(k+1)}-(G_{0,-a}^{(2)}-G_{0,-a^{\prime }}^{(2)})G_{b,c}^{(k+1)},0).\Box \nonumber\end{eqnarray}$$