2.1 Théorie de Deligne–Lusztig

Rappelons brièvement le fonctionnement de la théorie de Deligne–Lusztig. Dans cette section les groupes algébriques considérés seront sur $\mathfrak{F}$ et $\ell$ est un nombre premier différent de $p$ .

Soit $\text{G}$ un groupe réductif défini sur $\mathfrak{f}$ . Soit $\text{P}$ un sous-groupe parabolique de radical unipotent $\text{U}$ et supposons que $\text{P}$ contienne un Levi $F$ -stable $\text{L}$ . On associe alors à ces données la variété de Deligne–Lusztig $Y_{\text{P}}$ définie par

$$\begin{eqnarray}Y_{\text{P}}=\{g\text{U}\in \text{G}/\text{U},g^{-1}F(g)\in \text{U}F(\text{U})\}.\end{eqnarray}$$

C’est une variété définie sur $\mathfrak{F}$ avec une action à gauche de $\mathsf{G}:=\text{G}^{F}$ donnée par $(\unicode[STIX]{x1D6FE},g\text{U})\mapsto \unicode[STIX]{x1D6FE}g\text{U}$ et une action à droite de $\mathsf{L}:=\text{L}^{F}$ donnée par $(g\text{U},\unicode[STIX]{x1D6FF})\mapsto g\unicode[STIX]{x1D6FF}\text{U}$ . Le complexe cohomologique $R\unicode[STIX]{x1D6E4}_{c}(Y_{\text{P}},\overline{\mathbb{Z}}_{\ell })$ est alors un complexe de $(\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }[G],\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }[L])$ -bimodules et induit deux foncteurs adjoints

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle {\mathcal{R}}_{\text{L}\subset \text{P}}^{\text{G}}=R\unicode[STIX]{x1D6E4}_{c}(Y_{\text{P}},\overline{\mathbb{Z}}_{\ell })\otimes _{\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }[L]}-:D^{b}(\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }[L])\longrightarrow D^{b}(\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }[G]) & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle ~^{\ast }{\mathcal{R}}_{\text{L}\subset \text{P}}^{\text{G}}=R\text{Hom}_{\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }[G]}(R\unicode[STIX]{x1D6E4}_{c}(Y_{\text{P}},\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }),-):D^{b}(\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }[G])\longrightarrow D^{b}(\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }[L]) & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

où $D^{b}$ signifie ‘catégorie dérivée bornée’.

Nous avons fixé des systèmes compatibles de racines de l’unité $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})_{p^{\prime }}\overset{\backsim }{\longrightarrow }\mathfrak{F}^{\times }$ et $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})_{p^{\prime }}{\hookrightarrow}\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }^{\times }$ . Si $\text{T}$ est un tore défini sur $\mathfrak{f}$ et $\text{T}^{\ast }$ est son tore dual, aussi défini sur $\mathfrak{f}$ , alors les deux applications précédentes permettent de définir une bijection $\text{T}^{\ast F}\rightarrow \text{Hom}(T,\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }^{\times })$ . Ainsi un élément $t\in \text{T}^{\ast F}$ détermine un caractère $\widehat{t}:T\rightarrow \overline{\mathbb{Z}}_{\ell }^{\times }$ .

Soit $s$ une classe de conjugaison semi-simple dans $\mathsf{G}^{\ast }:=\text{G}^{\ast F}$ . Une représentation irréductible $\unicode[STIX]{x1D70B}\in \text{Irr}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}(\mathsf{G})$ appartient à la série rationnelle attachée à $s$ s’il existe un tore $F$ -stable $\text{T}$ dans $\text{G}$ , un élément $t\in \text{T}^{\ast F}$ qui appartienne à $s$ et un Borel $\text{B}$ contenant $\text{T}$ tel que $\unicode[STIX]{x1D70B}$ apparaisse avec une multiplicité non nulle dans $[{\mathcal{R}}_{\text{T}\subset \text{B}}^{\text{G}}(\widehat{t})]$ (où la notation $[\cdot ]$ signifie que l’on prend l’image du complexe dans le groupe de Grothendieck). On note alors ${\mathcal{E}}(\mathsf{G},s)$ l’ensemble des telles séries rationnelles et par $e_{s,\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}^{\mathsf{G}}\in \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }[\mathsf{G}]$ l’idempotent central les sélectionnant.

Soit $\text{L}$ un Levi $F$ -stable de $\text{G}$ contenu dans un parabolique $\text{P}$ . Une classe de conjugaison $t$ dans $\mathsf{L}^{\ast }$ donne une classe de conjugaison $s$ dans $\mathsf{G}^{\ast }$ . Ainsi nous avons une application $\unicode[STIX]{x1D711}_{\mathsf{L}^{\ast },\mathsf{G}^{\ast }}$ à fibres finies définie par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \begin{array}{@{}ccccc@{}}\unicode[STIX]{x1D711}_{\mathsf{L}^{\ast },\mathsf{G}^{\ast }} & : & \mathsf{L}_{ss}^{\ast } & \rightarrow & \mathsf{G}_{ss}^{\ast }\\ & & t & \mapsto & s.\end{array} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Soit $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ ou $\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ . Construisons alors un idempotent $e_{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\mathsf{L}}:=\sum _{t\in \unicode[STIX]{x1D711}_{\mathsf{L}^{\ast },\mathsf{G}^{\ast }}^{-1}(s)}e_{t,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\mathsf{L}}$ .

Dans le cas où $\text{P}$ est lui-même $F$ -stable, on note $\text{U}$ le radical unipotent de $\text{P}$ et $\mathsf{U}=\text{U}^{F}$ . Notons $e_{\mathsf{U}}:=(1/|\mathsf{U}|)\sum _{x\in \mathsf{U}}\unicode[STIX]{x1D7D9}_{x}$ l’idempotent réalisant la moyenne sur $\mathsf{U}$ . Alors on a la proposition suivante.

Proposition 2.1.2 [Reference DatDat16, § 2.1.4].

$$\begin{eqnarray}e_{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\mathsf{G}}e_{\mathsf{U}}=e_{\mathsf{U}}e_{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\mathsf{L}}=:e_{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\mathsf{P}}\end{eqnarray}$$

où $e_{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\mathsf{P}}$ est un idempotent central dans $\unicode[STIX]{x1D6EC}[\mathsf{P}]$ .

Soient $\text{G}^{\prime }$ un autre groupe réductif défini sur $\mathfrak{f}$ et $\unicode[STIX]{x1D711}:\text{G}\rightarrow \text{G}^{\prime }$ un isomorphisme compatible avec les $F$ -structures. Alors $\unicode[STIX]{x1D711}$ induit une bijection (voir annexe A)

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D711}^{\ast }:\mathsf{G}_{ss}^{\ast }\longrightarrow \mathsf{G}_{ss}^{\prime \ast }.\end{eqnarray}$$

Lemme 2.1.3. On a

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D711}(e_{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\mathsf{G}})=e_{\unicode[STIX]{x1D711}^{\ast }(s),\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\mathsf{G}^{\prime }}.\end{eqnarray}$$

2.2 Construction d’idempotents sur l’immeuble

Maintenant que l’on sait fabriquer des idempotents sur les groupes finis, il nous faut les relever en des idempotents sur le groupe $p$ -adique. On utilise pour cela le fait que les sous-groupes parahoriques $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ admettent un modèle entier et que le quotient $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }/G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}$ est alors l’ensemble des points d’un groupe réductif connexe à valeur dans un corps fini.

Soit $\unicode[STIX]{x1D70E}$ un polysimplexe dans $BT$ . D’après [Reference TitsTit79, § 3.4] il existe un schéma en groupes affine lisse ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ défini sur $\mathfrak{o}_{k}$ , unique à isomorphisme près, tel que

1. (i) la fibre générique ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E},k}$ de ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ est $G$  ;

2. (ii) pour toute extension galoisienne non-ramifiée $K_{1}$ de $k$ , ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}(\mathfrak{o}_{K_{1}})$ est le sous-groupe compact maximal de $\mathbf{G}(K_{1})_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ , où $\unicode[STIX]{x1D70E}$ est identifié avec son image canonique dans $BT(K_{1})$ .

L’application de réduction modulo $p$ fournit un morphisme surjectif $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}={\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}(\mathfrak{o}_{k})\rightarrow \tilde{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}:=\tilde{\text{}\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{F}$ , où $\tilde{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ , la fibre spéciale de ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ , est un groupe algébrique défini sur $\mathfrak{f}$ . On note ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ la composante neutre de ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ et $\tilde{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ celle de $\tilde{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ . D’après [Reference Bruhat and TitsBT84, § 5.2.6], on a $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }={\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }(\mathfrak{o}_{k})$ . D’où un morphisme surjectif $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }\rightarrow \tilde{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ .

Notons $\overline{\text{}\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ le quotient réductif de $\tilde{\text{}\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ . On a donc un morphisme surjectif $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }\rightarrow \overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ de noyau $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}$ , d’où un isomorphisme :

$$\begin{eqnarray}G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }/G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}\end{eqnarray}$$

Soit $s\in (\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}$ (rappelons que $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }=\overline{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast F}$ ) d’ordre inversible dans $\unicode[STIX]{x1D6EC}$ , on peut alors tirer en arrière par cet isomorphisme l’idempotent $e_{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}}$ en un idempotent $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}\in \unicode[STIX]{x1D6EC}[G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }/G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}]\subset {\mathcal{H}}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}(G_{\unicode[STIX]{x1D70E}})$ .

Soit $x\in BT_{0}$ . Si l’on considère la sous-partie de l’immeuble constituée des polysimplexes $\unicode[STIX]{x1D70F}$ tels que $x\leqslant \unicode[STIX]{x1D70F}$ alors d’après [Reference TitsTit79, § 3.5.4], on obtient l’immeuble sphérique (‘immeuble des sous-groupes $\mathfrak{f}$ -paraboliques’) de $\overline{\mathsf{G}}_{x}$ .

Soit $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ tel que $x\leqslant \unicode[STIX]{x1D70E}$ . Alors $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }\subset G_{x}^{\circ }$ . On a ainsi un morphisme $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }\rightarrow G_{x}^{\circ }\rightarrow \overline{\mathsf{G}}_{x}$ . Notons $\mathsf{P}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ l’image de $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ dans $\overline{\mathsf{G}}_{x}$ qui est un sous-groupe parabolique et $\mathsf{U}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ son radical unipotent. L’image réciproque de $\mathsf{U}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ dans $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ est $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}$ . Ceci fournit donc un isomorphisme $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}/G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}\simeq \overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}\simeq \mathsf{P}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}/\mathsf{U}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ .

Considérons $\mathsf{M}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }$ un sous-groupe de Levi de $\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast }$ relevant $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }$ . Dans le § 2.1, nous avons défini une application $\unicode[STIX]{x1D711}_{\mathsf{M}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast },\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast }}:(\mathsf{M}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}\rightarrow (\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast })_{ss}$ . Cette application est indépendante du choix du relèvement de $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }$ et nous définit donc une application $\unicode[STIX]{x1D711}_{\unicode[STIX]{x1D70E},x}^{\ast }:(\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}\rightarrow (\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast })_{ss}$ . On définit alors pour $s\in (\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast })_{ss}$ d’ordre inversible dans $\unicode[STIX]{x1D6EC}$ , l’idempotent $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}:=\sum _{t\in \unicode[STIX]{x1D711}_{\unicode[STIX]{x1D70E},x}^{\ast -1}(s)}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{t,\unicode[STIX]{x1D6EC}}$ .

Démonstration.

D’après la proposition 2.1.2 on a $e_{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\overline{\mathsf{G}}_{x}}e_{\mathsf{U}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}}=e_{\mathsf{U}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}}e_{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}}$ dans $\unicode[STIX]{x1D6EC}[\overline{\mathsf{G}}_{x}]$ . Lorsque l’on tire en arrière ces idempotents par l’isomorphisme $G_{x}^{\circ }/G_{x}^{+}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\overline{\mathsf{G}}_{x}$ , on obtient dans $\unicode[STIX]{x1D6EC}[G_{x}^{\circ }/G_{x}^{+}]$ :

$$\begin{eqnarray}e_{x}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}=e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}.\end{eqnarray}$$

Maintenant comme $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}$ et $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}e_{x}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=e_{x}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}$ on a le résultat.◻

2.3 Systèmes 0-cohérents de classes de conjugaison

À partir d’un polysimplexe $\unicode[STIX]{x1D70E}$ et d’une classe de conjugaison semi-simple $s$ nous savons maintenant construire un idempotent $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}$ . On décrit alors dans cette partie les conditions que l’on doit imposer pour que le système d’idempotents formé à partir des $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}$ soit un système 0-cohérent.

Soient $g\in G$ et $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ , on a $gG_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }g^{-1}=G_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ et $gG_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}g^{-1}=G_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}$ , d’où $g(G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }/G_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+})g^{-1}\simeq G_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }/G_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}$ . D’après [Reference Bruhat and TitsBT84, 4.6.30], la conjugaison par $g$ se prolonge en un isomorphisme du $\mathfrak{o}_{k}$ -schéma en groupes ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ sur le $\mathfrak{o}_{k}$ -schéma en groupes ${\mathcal{G}}_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\circ }$ et donc induit un isomorphisme $\unicode[STIX]{x1D711}_{g,\unicode[STIX]{x1D70E}}:\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}\overset{{\sim}}{\rightarrow }\overline{\mathsf{G}}_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}$ . On obtient alors, comme dans l’annexe A, un isomorphisme sur les classes de conjugaison semi-simples des groupes duaux

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D711}_{g,\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }:(\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }(\overline{\mathsf{G}}_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}.\end{eqnarray}$$

Pour $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ , on note

$$\begin{eqnarray}(\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=\{s\in (\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}\text{ tel que }s\text{ soit d'ordre inversible dans }\unicode[STIX]{x1D6EC}\}.\end{eqnarray}$$

Soit $S=(S_{\unicode[STIX]{x1D70E}})_{\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT}$ un système 0-cohérent. Soit $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ , on définit alors $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{S,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=\sum _{s\in S_{\unicode[STIX]{x1D70E}}}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}$ .

Démonstration.

Commençons par vérifier la condition (i) :

Soient $x\in BT_{0}$ et $g\in G$ . On a la commutativité du diagramme suivant

Le lemme 2.1.3 nous dit que $\unicode[STIX]{x1D711}_{g,x}(e_{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\overline{\mathsf{G}}_{x}})=e_{\unicode[STIX]{x1D711}_{g,x}^{\ast }(s),\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\overline{\mathsf{G}}_{gx}}$ . Ainsi

$$\begin{eqnarray}ge_{x}^{S,\unicode[STIX]{x1D6EC}}g^{-1}=\mathop{\sum }_{s\in S_{x}}ge_{x}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}g^{-1}=\mathop{\sum }_{s\in S_{x}}e_{gx}^{\unicode[STIX]{x1D711}_{g,x}^{\ast }(s),\unicode[STIX]{x1D6EC}}=\mathop{\sum }_{s\in \unicode[STIX]{x1D711}_{g,x}^{\ast }(S_{x})}e_{gx}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=\mathop{\sum }_{s\in S_{gx}}e_{gx}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=e_{gx}^{S,\unicode[STIX]{x1D6EC}}.\end{eqnarray}$$

Passons maintenant à la condition (ii) :

Soient $x\in BT_{0}$ et $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ tels que $x\leqslant \unicode[STIX]{x1D70E}$ .

$$\begin{eqnarray}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}e_{x}^{S,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=\mathop{\sum }_{s\in S_{x}}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}e_{x}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}.\end{eqnarray}$$

Par la proposition 2.2.1 on a $e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}e_{x}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=\sum _{t\in \unicode[STIX]{x1D711}_{\unicode[STIX]{x1D70E},x}^{\ast -1}(s)}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{t,\unicode[STIX]{x1D6EC}}$ . Donc

$$\begin{eqnarray}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{+}e_{x}^{S,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=\mathop{\sum }_{s\in S_{x}}\mathop{\sum }_{t\in \unicode[STIX]{x1D711}_{\unicode[STIX]{x1D70E},x}^{\ast -1}(s)}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{t,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=\mathop{\sum }_{t\in \unicode[STIX]{x1D711}_{\unicode[STIX]{x1D70E},x}^{\ast -1}(S_{x})}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{t,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=\mathop{\sum }_{t\in S_{\unicode[STIX]{x1D70E}}}e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{t,\unicode[STIX]{x1D6EC}}=e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{S,\unicode[STIX]{x1D6EC}}.\square\end{eqnarray}$$

On note $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}(G)$ la catégorie abélienne des représentations lisses de $G$ à coefficients dans $\unicode[STIX]{x1D6EC}$ . Notons $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{0}(G)$ la sous-catégorie des représentations de niveau 0, c’est à dire la sous-catégorie découpée par le système d’idempotents $(e_{x}^{+})_{x\in BT_{0}}$ .

Soit $S=(S_{\unicode[STIX]{x1D70E}})_{\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT}$ un système 0-cohérent, il définit alors un système $(e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{S,\unicode[STIX]{x1D6EC}})_{\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT}$ 0-cohérent et forme donc, d’après le théorème 1.0.2, une catégorie $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{S}(G)$ .

Démonstration.

Soit $V$ un objet de $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{S_{1}}(G)$ . Nous devons montrer que pour tout sommet de l’immeuble $x$ , on a $e_{x}^{S_{2}}V=0$ . Fixons un tel $x$ . Par définition $V=\sum _{y\in BT_{0}}e_{y}^{S_{1}}V$ , donc $e_{x}^{S_{2}}V=\sum _{y\in BT_{0}}e_{x}^{S_{2}}e_{y}^{S_{1}}V$ . Soit $y\in BT_{0}$ . Comme $(e_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{S_{1}})_{\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT}$ est 0-cohérent, on sait par 1.0.6 que $e_{x}^{+}e_{y}^{S_{1}}=e_{x}^{S_{1}}e_{y}^{S_{1}}$ et on a que

$$\begin{eqnarray}e_{x}^{S_{2}}e_{y}^{S_{1}}=e_{x}^{S_{2}}e_{x}^{+}e_{y}^{S_{1}}=e_{x}^{S_{2}}e_{x}^{S_{1}}e_{y}^{S_{1}}.\end{eqnarray}$$

Or si $s$ et $s^{\prime }$ sont deux éléments distincts de $(\widehat{\overline{\mathsf{G}}}_{x})_{ss}$ d’ordre inversible dans $\unicode[STIX]{x1D6EC}$ , $e_{x}^{s,\unicode[STIX]{x1D6EC}}e_{x}^{s^{\prime },\unicode[STIX]{x1D6EC}}=0$ donc $e_{x}^{S_{2}}e_{x}^{S_{1}}=0$ et on a le résultat.◻

Proposition 2.3.5. Soient $S_{1},\ldots ,S_{n}$ des systèmes 0-cohérents tels que $S_{i}\cap S_{j}=\emptyset$ si $i\neq j$ et $\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}=((\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss,\unicode[STIX]{x1D6EC}})_{\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT}$ . Alors la catégorie de niveau $0$ se décompose en

$$\begin{eqnarray}\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{0}(G)=\mathop{\prod }_{i=1}^{n}\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{S_{i}}(G).\end{eqnarray}$$

Démonstration.

D’après le lemme 2.3.4 nous savons déjà que les catégories $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{S_{i}}(G)$ sont deux à deux orthogonales. Prenons maintenant $V$ un objet de $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{0}(G)$ . Par définition, $V=\sum _{x\in BT_{0}}e_{x}^{+}V$ . Fixons un sommet $x\in BT_{0}$ . D’après 2.1.1, on a $e_{x}^{+}=\sum _{s\in (\widehat{\overline{\mathsf{G}}}_{x})_{ss}}e_{x}^{s,\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}$ . Ainsi $e_{x}^{+}=\sum _{i=1}^{n}e_{x}^{S_{i}}$ . On en déduit que

$$\begin{eqnarray}V=\mathop{\sum }_{x\in BT_{0}}e_{x}^{+}V=\mathop{\sum }_{x\in BT_{0}}\mathop{\sum }_{i=1}^{n}e_{x}^{S_{i}}V=\mathop{\sum }_{i=1}^{n}\biggl(\mathop{\sum }_{x\in BT_{0}}e_{x}^{S_{i}}V\biggr).\end{eqnarray}$$

Or $\sum _{x\in BT_{0}}e_{x}^{S_{i}}V$ est un objet de $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{S_{i}}(G)$ d’après [Reference Meyer and SolleveldMS10] proposition 3.2, d’où le résultat.◻

3.1 Classes de conjugaison dans $\text{G}^{\ast }$

Commençons par définir les paramètres de l’inertie modérés et montrons que l’on peut décrire ceux-ci en terme de classes de conjugaison semi-simples dans $\text{G}^{\ast }$ .

On notera ${\mathcal{G}}_{k}=\text{Gal}(\overline{k}/k)$ le groupe de Galois absolu de $k$ , $W_{k}$ le groupe de Weil absolu de $k$ et $I_{k}$ le sous-groupe d’inertie. Le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}:={\mathcal{G}}_{k}/I_{k}$ est topologiquement engendré par un élément $\text{Frob}$ dont l’inverse induit l’automorphisme $x\mapsto x^{q}$ sur $\mathfrak{F}$ . Ainsi $K=\overline{k}^{I_{k}}$ et $k=K^{\text{Frob}}$ . L’action de ${\mathcal{G}}_{k}$ sur $\mathbf{G}$ donne une action de $\unicode[STIX]{x1D6E4}$ sur $\mathbf{G}(K)$ , complètement déterminée par un automorphisme $F\in \text{Aut}(\mathbf{G}(K))$ donné par l’action de $\text{Frob}$ . On a alors $G=\mathbf{G}(K)^{F}$ .

Soit $\mathbf{T}$ un $k$ -tore maximal $K$ -déployé maximalement déployé, alors $I_{k}$ agit trivialement sur $X_{\ast }(\mathbf{T})$ , le groupe des co-caractères de $\mathbf{T}$ , et l’action de ${\mathcal{G}}_{k}$ sur $X_{\ast }(\mathbf{T})$ se factorise à travers $\unicode[STIX]{x1D6E4}$ . Notons alors $\unicode[STIX]{x1D717}$ l’automorphisme de $X_{\ast }(\mathbf{T})$ induit par $F$ . La dualité entre $X_{\ast }(\mathbf{T})$ et $X^{\ast }(\mathbf{T})$ permet d’associer de façon naturelle à $\unicode[STIX]{x1D717}$ un automorphisme $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\in \text{Aut}(X^{\ast }(\mathbf{T}))$ . Cet automorphisme s’étend alors alors en un automorphisme $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\otimes 1$ de $\widehat{\mathbf{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }):=X^{\ast }(\mathbf{T})\otimes \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$ que nous noterons encore $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}$ . Fixons un épinglage $(\widehat{\mathbf{G}},\widehat{\mathbf{B}},\widehat{\mathbf{T}},\{x_{\unicode[STIX]{x1D6FC}}\}_{\unicode[STIX]{x1D6FC}\in \unicode[STIX]{x1D6E5}})$ de $\widehat{\mathbf{G}}$ où $\widehat{\mathbf{B}}$ est un Borel contenant $\widehat{\mathbf{T}}$ . Celui-ci permet de prolonger $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}$ en un automorphisme $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\in \text{Aut}(\widehat{\mathbf{G}})$ .

On note $P_{k}$ le groupe d’inertie sauvage, c’est à dire le pro- $p$ sous-groupe maximal de $I_{k}$ . Le groupe d’inertie modérée est le quotient $I_{k}/P_{k}$ et le groupe de Weil modéré est le quotient $W_{k}/P_{k}$ . On note $W_{k}^{\prime }=W_{k}\ltimes \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ le groupe de Weil–Deligne.

On note alors $\unicode[STIX]{x1D6F7}(\text{}\text{G})$ l’ensemble des morphismes admissibles $\unicode[STIX]{x1D711}:W_{k}^{\prime }\rightarrow \,^{L}\text{}\text{G}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ modulo les automorphismes intérieurs par des éléments de $\widehat{\text{}\text{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ .

Soit $I$ un sous-groupe de $W_{k}$ . On note alors $\unicode[STIX]{x1D6F7}(I,\text{}\text{G})$ l’ensemble des classes de $\widehat{\text{}\text{G}}$ -conjugaison des morphismes continus $I\rightarrow ^{L}\text{}\text{G}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ (où $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ est muni de la topologie discrète) qui admettent une extension à un $L$ -morphisme de $\unicode[STIX]{x1D6F7}(\text{}\text{G})$ . Dans ce qui suit nous allons nous intéresser principalement aux paramètres de Langlands inertiels $\unicode[STIX]{x1D6F7}(I_{k},\text{}\text{G})$ .

Intéressons nous à $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\text{}\text{G})$ . Comme $I_{k}/P_{k}$ est procyclique de pro-ordre premier à $p$ un morphisme continu $I_{k}/P_{k}\rightarrow \widehat{\text{}\text{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ est donné par le choix d’un élément $s$ d’ordre fini premier à $p$ . Nous avons la décomposition $W_{k}/P_{k}=\langle \text{Frob}\rangle \ltimes (I_{k}/P_{k})$ , où pour $x\in (I_{k}/P_{k})$ , $\text{Frob }^{-1}x\text{ Frob}=x^{q}$ . Un paramètre de Langlands doit envoyer $\text{Frob}$ sur $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}f$ où $f$ est un élément semi-simple de $\widehat{\text{}\text{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ . Un tel morphisme s’étend donc à $W_{k}/P_{k}$ si $\text{Ad}(f)\circ \widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ s^{q}=s$ , où $\text{Ad}(f)$ désigne la conjugaison par $f$ . Ainsi à un paramètre inertiel modéré $\unicode[STIX]{x1D719}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\text{}\text{G})$ on peut associer une classe de conjugaison semi-simple dans $\widehat{\text{}\text{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ stable sous $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}$ où $\unicode[STIX]{x1D713}$ est l’élévation à la puissance $q$ -ième. On a donc une application $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\text{}\text{G})\rightarrow (\widehat{\text{}\text{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })_{ss})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}$ . Or nous savons que $(\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\widehat{\text{}\text{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })_{ss}$ , où $W_{0}:=N(\mathbf{T})/\mathbf{T}$ désigne le groupe de Weyl de $\mathbf{T}$ , ce qui nous permet de définir l’application $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\text{}\text{G})\rightarrow (\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}$ . Réciproquement, prenons un élément de $(\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}$ . Ceci nous fournit un élément semi-simple $s$ tel que $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}(s)=w\cdot s$ , où $w\in W_{0}$ . Soit $f$ un relèvement de $w$ , qui est alors un élément semi-simple, on a alors $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}(s)=\text{Ad}(f)(s)$ , donc on obtient un $\unicode[STIX]{x1D719}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\text{}\text{G})$ . Ceci nous montre que l’on a une correspondance

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\text{}\text{G})\longleftrightarrow (\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}.\end{eqnarray}$$

Soit $s\in (\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}$ , on peut représenter $s$ par $s=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ , avec $a_{i}\in \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$ ( $\widehat{\text{}\text{T}}\simeq \mathbb{G}_{m}^{n}$ ). Soit $k\in \mathbb{N}$ , par définition on a $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}^{k}(s^{p^{k}})=s$ dans $(\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}$ . Comme $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}$ est d’ordre fini, disons $N$ , $s^{p^{N}}=s$ dans $(\widehat{\text{}\text{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}$ . Donc il existe $w\in W_{0}$ tel que $(a_{1}^{p^{N}},\ldots ,a_{n}^{p^{N}})=w\cdot (a_{1},\ldots ,a_{n})$ . Or $W_{0}$ est de cardinal fini, donc il existe $k\in \mathbb{N}^{\ast }$ , tel que $(a_{1}^{p^{kN}},\ldots ,a_{n}^{p^{kN}})=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ . Ainsi $\forall i\in \{1,\ldots ,n\}$ , $a_{i}^{p^{kN}-1}=1$ . Les $a_{i}$ sont donc des racines $p^{\prime }$ -ièmes de l’unité (racines de l’unité d’ordre premier à $p$ ).

Notre groupe $\mathbf{G}$ étant $K$ -déployé, il possède une forme intérieure non-ramifiée. Cette dernière permet de définir sur $\text{}\text{G}^{\ast }$ , le groupe dual de $\mathbf{G}$ sur $\mathfrak{F}$ , une $\mathfrak{f}$ -structure (et donc un Frobenius $F$ ) en choissant un sommet hyperspécial dans l’immeuble. Le choix d’un système compatible de racines de l’unité (que l’on a fixé au début dans les notations) permet d’identifier

$$\begin{eqnarray}(\widehat{\mathbf{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}\longleftrightarrow (\text{T}^{\ast }(\mathfrak{F})/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}.\end{eqnarray}$$

(Nous rappelons que $\widehat{\mathbf{T}}$ désigne le dual de $\mathbf{T}$ sur $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ et $\text{T}^{\ast }$ celui sur $\mathfrak{F}$ . Ainsi $\widehat{\mathbf{T}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })=X^{\ast }(\mathbf{T})\otimes \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$ et $\text{T}^{\ast }(\mathfrak{F})=X^{\ast }(\mathbf{T})\otimes \mathfrak{F}^{\times }$ .)

Or l’action de $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}$ sur $\text{T}^{\ast }(\mathfrak{F})$ correspond à l’action du Frobenius $F$ (voir annexe B, ici $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}=\unicode[STIX]{x1D70F}_{X}^{-1}$ ). Ainsi

$$\begin{eqnarray}(\text{T}^{\ast }(\mathfrak{F})/W_{0})^{\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\circ \unicode[STIX]{x1D713}}=(\text{T}^{\ast }(\mathfrak{F})/W_{0})^{F}\longleftrightarrow (\text{G}^{\ast }(\mathfrak{F})_{ss})^{F}.\end{eqnarray}$$

En résumé nous avons montré la proposition suivante.

Proposition 3.1.3. La discussion précédente nous fournit une identification :

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{G})\longleftrightarrow (\text{G}^{\ast }(\mathfrak{F})_{ss})^{F}.\end{eqnarray}$$

Dans le but d’étudier les représentations à coefficients dans $\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ nous avons besoin de restreindre $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{G})$ . Introduisons $I_{k}^{(\ell )}:=\text{ker}\{I_{k}\rightarrow \mathbb{Z}_{\ell }(1)\}$ qui est le sous-groupe fermé maximal de $I_{k}$ de pro-ordre premier à $\ell$ . Sous l’identification de la proposition 3.1.3, $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{(\ell )},\mathbf{G})$ correspond aux $s\in (\widehat{\text{G}}(\mathfrak{F})_{ss})^{F}$ d’ordre premier à $\ell$ .

Pour unifier les notations, notons $I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}}$ qui vaut $I_{k}$ si $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ et $I_{k}^{(\ell )}$ si $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ . On obtient alors la proposition suivante.

Proposition 3.1.4. L’identification de la proposition 3.1.3 se restreint en :

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}},\mathbf{G})\longleftrightarrow \{s\in (\text{G}^{\ast }(\mathfrak{F})_{ss})^{F},s\text{ d'ordre inversible dans }\unicode[STIX]{x1D6EC}\}.\end{eqnarray}$$

3.2 Classes de conjugaison dans les quotients réductifs des groupes parahoriques

Nous venons de voir que l’on pouvait identifier les paramètres de l’inertie modérés avec des classes de conjugaison semi-simples dans $\text{G}^{\ast }$ . Pour obtenir des systèmes 0-cohérents nous avons besoin de classes de conjugaison dans les quotients réductifs des groupes parahoriques. Nous construisons alors dans cette section un système d’applications compatibles $((\overline{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss})^{F}\rightarrow (\text{G}^{\ast }(\mathfrak{F})_{ss})^{F}$ , pour $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ .

Soit $\mathbf{S}$ un tore déployé maximal, tel que $\unicode[STIX]{x1D70E}\in {\mathcal{A}}(\mathbf{S},k)$ , où ${\mathcal{A}}(\mathbf{S},k)$ est l’appartement associé à $\text{}\text{S}$ dans $BT$ . Notons $\mathbf{T}$ un $k$ -tore maximal $K$ -déployé contenant $\mathbf{S}$ (qui existe par [Reference Bruhat and TitsBT84, 5.1.12]). De plus par [Reference TitsTit79, 2.6.1] ${\mathcal{A}}(\mathbf{S},k)=BT\cap {\mathcal{A}}(\mathbf{T},K)$ . Notons $\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}$ l’image canonique de $\unicode[STIX]{x1D70E}$ dans $BT(K)$ .

Notons $W$ le groupe de Weyl affine de $\mathbf{G}(K)$ , $W_{0}=N(\mathbf{T})/\mathbf{T}$ , le groupe de Weyl de $\mathbf{G}(K)$ et $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ le groupe engendré par les réflexions des hyperplans contenant $\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}$ dans $BT(K)$ . Nous avons $W=W_{0}\ltimes T/^{\circ }T$ , où $^{\circ }T$ désigne le sous-groupe borné maximal de $T$ . De plus $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ est un sous-groupe de $W$ , on a donc une application $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}\rightarrow W\rightarrow W_{0}$ . Le noyau du morphisme $W=W_{0}\ltimes T/^{\circ }T\rightarrow W_{0}$ est un groupe sans torsion. Or $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ est un groupe fini donc l’application $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}\rightarrow W_{0}$ est injective et nous permet de voir $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ comme un sous-groupe de $W_{0}$ .

Par [Reference TitsTit79, 3.4.3], ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ est obtenu à partir de ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ par changement de base. En particulier $\overline{\text{}\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}=\overline{\text{}\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}\times _{\mathfrak{f}}\mathfrak{F}$ .

Le tore $\mathbf{S}$ (resp. $\mathbf{T}$ ) se prolonge en un tore de ${\mathcal{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ , ${\mathcal{S}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ (resp. ${\mathcal{T}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ ), défini sur $\mathfrak{o}_{k}$ de fibre générique ${\mathcal{S}}_{\unicode[STIX]{x1D70E},k}=S$ (resp. ${\mathcal{T}}_{\unicode[STIX]{x1D70E},k}=T$ ). Notons $\mathsf{S}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ (resp. $\mathsf{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ ) la fibre spéciale de ${\mathcal{S}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ (resp. ${\mathcal{T}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ ). Alors $\mathsf{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ est un tore maximal de $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ défini sur $\mathfrak{f}$ . De plus on a que $\text{}\text{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}=\text{}\text{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}\times _{\mathfrak{f}}\mathfrak{F}$ .

Le groupe des caractères de $\mathsf{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ , $X^{\ast }(\text{}\text{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}})$ , est canoniquement isomorphe à $X=X^{\ast }(\mathbf{T})$ , on les identifiera désormais. De plus, par [Reference TitsTit79, 3.5.1], le groupe de Weyl de $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ associé à $\mathsf{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ est $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ . L’action de $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ sur $X^{\ast }(\mathsf{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}})$ coïncide avec l’action de l’image de $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}\rightarrow W_{0}$ sur $X^{\ast }(\mathbf{T})$ .

On obtient alors :

$$\begin{eqnarray}((\overline{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss})^{F}\simeq (\text{}\text{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }/W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}})^{F}\simeq ((X\otimes _{\mathbb{ Z}}\mathfrak{F}^{\times })/W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}})^{F}.\end{eqnarray}$$

Le morphisme $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}\rightarrow W_{0}$ induit

$$\begin{eqnarray}((X\otimes _{\mathbb{Z}}\mathfrak{F}^{\times })/W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}})^{F}\rightarrow ((X\otimes _{\mathbb{ Z}}\mathfrak{F}^{\times })/W_{0})^{F}.\end{eqnarray}$$

Et de même que précédemment, on a un isomorphisme

$$\begin{eqnarray}((X\otimes _{\mathbb{Z}}\mathfrak{F}^{\times })/W_{0})^{F}\simeq (\text{G}^{\ast }(\mathfrak{F})_{ss})^{F}.\end{eqnarray}$$

On vient donc de construire une application

$$\begin{eqnarray}\tilde{\unicode[STIX]{x1D713}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}:((\overline{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss})^{F}\rightarrow (\text{G}^{\ast }(\mathfrak{F})_{ss})^{F}.\end{eqnarray}$$

Démonstration.

Soit $\text{}\text{S}^{\prime }$ un autre tore déployé maximal tel que $\unicode[STIX]{x1D70E}\in {\mathcal{A}}(\text{}\text{S}^{\prime })$ . Nous utiliserons la notation ’ pour les éléments se rapportant à $\text{}\text{S}^{\prime }$ .

D’après [Reference Bruhat and TitsBT84, 4.6.28], $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}^{\circ }$ permute transitivement les appartements de $BT(K)$ contenant $\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}$ . Ainsi, $\text{}\text{T}$ et $\text{}\text{T}^{\prime }$ sont conjugués par un élément $g\in G_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}^{\circ }$ , c’est à dire $\text{}\text{T}^{\prime }=g\text{}\text{T}g^{-1}$ . Comme $\mathbf{T}$ et $\mathbf{T}^{\prime }$ sont deux $k$ -tores, $g$ vérifie que $g^{-1}F(g)\in N(\mathbf{G},\mathbf{T})$ , le normalisateur de $\mathbf{T}$ dans $\mathbf{G}$ . La conjugaison par $g$ , $\text{Ad}(g)$ , induit alors un isomorphisme $X\longrightarrow X^{\prime }:=X^{\ast }(\mathbf{T}^{\prime })$ . De plus comme elle envoie ${\mathcal{A}}(\text{}\text{T},K)$ sur ${\mathcal{A}}(\text{}\text{T}^{\prime },K)$ et que les morphismes $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}\longrightarrow W_{0}$ et $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}^{\prime }\longrightarrow W_{0}^{\prime }$ sont définis à partir des racines, on a le diagramme commutatif

et donc le diagramme commutatif

L’application $G_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}^{\circ }\rightarrow \overline{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ envoie $g$ sur un élément que l’on note $\overline{g}$ . De plus nous savons que l’action par conjugaison par $\overline{g}$ qui envoie $X_{\ast }(\text{}\text{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}})$ sur $X_{\ast }(\text{}\text{T}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\prime })$ coïncide avec l’action par conjugaison par $g$ qui envoie $X$ sur $X^{\prime }$ .

La conjugaison par $\overline{g}\in \overline{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ d’un coté et par $g\in \mathbf{G}$ de l’autre, induit les deux diagrammes commutatifs suivants (lemme A.0.2) :

On obtient alors que le diagramme suivant commute :

Ce qui nous montre le résultat. ◻

3.3 Classes de conjugaison dans un groupe fini

La partie précédente nous fournit des classes de conjugaison semi-simples géométriques d’un groupe réductif connexe fini. Nous sommes plus intéressé par des classes de conjugaison rationnelles. On rappelle alors ici le lien entre les deux.

Dans cette sous-section $\text{G}$ désigne un groupe réductif connexe défini sur $\mathfrak{f}$ . Pour un élément semi-simple $x\in \text{G}$ , on note $[x]$ sa classe de conjugaison, $[x]\in \text{G}_{ss}$ .

Démonstration.

$s=[y]$ avec $y\in \text{G}$ . La classe de conjugaison $s$ étant $F$ -stable, il existe $g\in \text{G}$ tel que $F(y)=g^{-1}yg$ . L’application de Lang, $\text{Lan}:\text{G}\rightarrow \text{G}$ définie par $\text{Lan}(g)=g^{-1}F(g)$ est surjective d’après [Reference Cabanes and EnguehardCE04] Théorème 7.1. Ainsi, il existe $h\in \text{G}$ tel que $g=h^{-1}F(h)$ . Alors

$$\begin{eqnarray}F(hyh^{-1})=F(h)F(y)F(h)^{-1}=F(h)g^{-1}ygF(h)^{-1}=hyh^{-1}.\end{eqnarray}$$

Ainsi $x=hyh^{-1}$ convient.◻

3.4 Systèmes 0-cohérents de classes de conjugaison associés aux paramètres de l’inertie modérés

On met bout à bout les résultats des sous-sections précédentes pour obtenir une application qui à un paramètre inertiel modéré associe un système de classes de conjugaison 0-cohérent.

En composant la proposition 3.3.2, l’application $\tilde{\unicode[STIX]{x1D713}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ et la proposition 3.1.3, on obtient une application

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D713}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}:(\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}\longrightarrow ((\overline{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss})^{F}\overset{\tilde{\unicode[STIX]{x1D713}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}}{\longrightarrow }(\text{G}^{\ast }(\mathfrak{F})_{ss})^{F}\overset{{\sim}}{\longrightarrow }\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\text{}\text{G}).\end{eqnarray}$$

Soient $\unicode[STIX]{x1D70E},\unicode[STIX]{x1D714}\in BT$ tels que $\unicode[STIX]{x1D70E}\leqslant \unicode[STIX]{x1D714}$ . Nous avons vu que $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D714}}$ est un Levi de $\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}$ . Ceci nous donne donc, comme dans le § 2.1, une application $\unicode[STIX]{x1D711}_{\unicode[STIX]{x1D714},\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }:(\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D714}}^{\ast })_{ss}\rightarrow (\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}$ .

Lemme 3.4.1. Soient $\unicode[STIX]{x1D70E},\unicode[STIX]{x1D714}\in BT$ tels que $\unicode[STIX]{x1D70E}\leqslant \unicode[STIX]{x1D714}$ . Alors

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D713}_{\unicode[STIX]{x1D714}}=\unicode[STIX]{x1D713}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}\circ \unicode[STIX]{x1D711}_{\unicode[STIX]{x1D714},\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }.\end{eqnarray}$$

Démonstration.

$W_{\unicode[STIX]{x1D714}_{1}}$ est le groupe engendré par les réflexions des hyperplans contenant $\unicode[STIX]{x1D714}_{1}$ où $\unicode[STIX]{x1D714}_{1}$ est l’image canonique de $\unicode[STIX]{x1D714}$ dans $BT(K)$ . Or $\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}\leqslant \unicode[STIX]{x1D714}_{1}$ , donc un hyperplan contenant $\unicode[STIX]{x1D714}_{1}$ contient aussi $\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}$ et $W_{\unicode[STIX]{x1D714}_{1}}$ est un sous-groupe de $W_{\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}}$ . Ainsi le diagramme commutatif

induit le diagramme commutatif

D’où la commutativité de

et on a le résultat voulu. ◻

Soient $g\in G$ et $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ , nous avons déjà vu (au début du § 2.3) que la conjugaison par $g$ induisait deux applications

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D711}_{g,\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }:(\overline{\mathsf{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss}\longrightarrow (\overline{\mathsf{G}}_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss} & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \boldsymbol{\unicode[STIX]{x1D711}}_{g,\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }:((\overline{\text{G}}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss})^{F}\longrightarrow ((\overline{\text{G}}_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast })_{ss})^{F}. & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 3.4.2. Soient $g\in G$ et $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ alors

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D713}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}=\unicode[STIX]{x1D713}_{g\unicode[STIX]{x1D70E}}\circ \unicode[STIX]{x1D711}_{g,\unicode[STIX]{x1D70E}}^{\ast }.\end{eqnarray}$$

Démonstration.

Soit $\mathbf{S}$ un tore déployé maximal tel que $\unicode[STIX]{x1D70E}\in {\mathcal{A}}(\mathbf{S})$ . Alors si l’on pose $\mathbf{S}^{\prime }=\text{Ad}(g)(\mathbf{S})$ , $\mathbf{S}^{\prime }$ est un tore déployé maximal tel que $g\unicode[STIX]{x1D70E}\in {\mathcal{A}}(\mathbf{S}^{\prime })$ . La conjugaison par $g$ induit un isomorphisme de $X$ vers $X^{\prime }$ . Le lemme A.0.1 nous donne le diagramme commutatif suivant :

La conjugaison par $g$ envoie les racines affines pour $\mathbf{S}$ s’annulant sur $\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}$ sur les racines affines pour $\mathbf{S}^{\prime }$ s’annulant sur $g\unicode[STIX]{x1D70E}_{1}$ . On a donc le diagramme commutatif suivant

et

Enfin la conjugaison par $g$ étant un isomorphisme intérieur sur $G$ , le diagramme ci-dessous commute (lemme A.0.2)

Mis bout à bout ces diagrammes donnent la commutativité de

ce qui finit la preuve. ◻

Construisons maintenant un système 0-cohérent de classes de conjugaison.

Définition 3.4.3. Soient $\unicode[STIX]{x1D719}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}},\mathbf{G})$ et $\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT$ . On définit le système de classes de conjugaison $S_{\unicode[STIX]{x1D719}}=(S_{\unicode[STIX]{x1D719},\unicode[STIX]{x1D70E}})_{\unicode[STIX]{x1D70E}\in BT}$ par

$$\begin{eqnarray}S_{\unicode[STIX]{x1D719},\unicode[STIX]{x1D70E}}=\unicode[STIX]{x1D713}_{\unicode[STIX]{x1D70E}}^{-1}(\unicode[STIX]{x1D719}).\end{eqnarray}$$

Ainsi par la proposition 2.3.5, si l’on note $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G):=\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{S_{\unicode[STIX]{x1D719}}}(G)$ , alors

Théorème 3.4.5. Soit $\mathbf{G}$ un groupe réductif connexe défini sur $k$ et $K$ -déployé. Alors la catégorie de niveau $0$ se décompose en

$$\begin{eqnarray}\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{0}(G)=\mathop{\prod }_{\unicode[STIX]{x1D719}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}},\mathbf{G})}\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G).\end{eqnarray}$$

Notons que si $\mathbf{G}$ est quasi-déployé alors il est non-ramifié et possède donc un sommet hyperspécial $o$ . Dans ce cas, l’application $\tilde{\unicode[STIX]{x1D713}}_{o}$ est bijective, donc $\unicode[STIX]{x1D713}_{o}$ est surjective et $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ est non vide pour tout $\unicode[STIX]{x1D719}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}},\mathbf{G})$ . Cependant, lorsque $\mathbf{G}$ n’est pas quasi-déployé, les catégories $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ peuvent être vides. Nous devons rajouter une condition de ‘relevance’ pour avoir $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ non vide, ce que nous détaillerons dans la partie 4.3.

4.1 Lien entre les décompositions sur $\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ et $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$

Au vu de la construction de $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ il est assez simple de comprendre le lien entre $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ et $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ ce que nous faisons ici.

Considérons ici que $\unicode[STIX]{x1D719}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{(\ell )},\mathbf{G})$ . Soit $x\in BT_{0}$ et notons $S_{\unicode[STIX]{x1D719},x}^{\prime }$ l’ensemble des $s^{\prime }\in (\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast })_{ss}$ dont $s$ la partie $\ell$ -régulière de $s^{\prime }$ est dans $S_{\unicode[STIX]{x1D719},x}$ . Alors par construction, $e_{\unicode[STIX]{x1D719},x}=\sum _{s\in S_{\unicode[STIX]{x1D719},x}}e_{x}^{s,\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }}=\sum _{s^{\prime }\in S_{\unicode[STIX]{x1D719},x}^{\prime }}e_{x}^{s,\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}$ . Prenons $s^{\prime }\in (\overline{\mathsf{G}}_{x}^{\ast })_{ss}$ et nommons $\unicode[STIX]{x1D719}^{\prime }\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{G})$ le paramètre inertiel qui lui est associé, c’est à dire $\unicode[STIX]{x1D719}^{\prime }:=\unicode[STIX]{x1D713}_{x}(s^{\prime })$ . Soit $s\in S_{\unicode[STIX]{x1D719},x}$ (donc $\unicode[STIX]{x1D713}_{x}(s)=\unicode[STIX]{x1D719}$ ), $s$ est la partie $\ell$ -régulière de $s^{\prime }$ si et seulement si $\unicode[STIX]{x1D719}_{\mid I_{k}^{(\ell )}}^{\prime }\sim \unicode[STIX]{x1D719}$ . Le lien entre les décompositions sur $\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ et $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ est alors clair.

Proposition 4.1.1. Soit $\unicode[STIX]{x1D719}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k}^{(\ell )},\mathbf{G})$ , alors

$$\begin{eqnarray}\text{Rep}_{\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)\cap \text{Rep}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}(G)=\mathop{\prod }_{\unicode[STIX]{x1D719}^{\prime }}\text{Rep}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}^{\prime }}(G)\end{eqnarray}$$

où le produit est pris sur les $\unicode[STIX]{x1D719}^{\prime }\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{G})$ tels que $\unicode[STIX]{x1D719}_{\mid I_{k}^{(\ell )}}^{\prime }\sim \unicode[STIX]{x1D719}$ .

4.2 Représentations irréductibles de $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$

Nous souhaitons dans cette partie décrire les représentations irréductibles qui sont dans $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ .

Soit $\mathbf{T}$ un tore maximal non-ramifié de $\mathbf{G}$ ( $\mathbf{T}$ est un $k$ -tore $K$ -déployé maximal de $\mathbf{G}$ ). Nommons $\mathbf{T}_{0}$ le tore de référence utilisé pour définir $\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}$ et $\widehat{\mathbf{G}}$ . Le tore $\mathbf{T}$ étant non-ramifié il existe $g\in G^{nr}$ tel que $T^{nr}=^{g}T_{0}^{nr}$ . Dans ce cas $g^{-1}F(g)\in N(T_{0}^{nr},G^{nr})$ et définit un élément $w\in W_{0}$ . Ainsi $^{L}\mathbf{T}\simeq \langle w\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\rangle \ltimes \widehat{\mathbf{T}}_{0}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ . Le choix d’un relèvement ${\dot{w}}\in N(\widehat{\mathbf{T}}_{0},\widehat{\mathbf{G}})$ de $w$ permet alors de définir un plongement $^{L}\mathbf{T}{\hookrightarrow}^{L}\mathbf{G}$ par $\widehat{\mathbf{T}}_{0}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })\subseteq \widehat{\mathbf{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ et $w\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\mapsto ({\dot{w}},\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}})$ . Ce plongement dépend (même à $\widehat{\mathbf{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ -conjugaison près) du choix du relèvement de $w$ . Il induit cependant une application

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D704}:\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{T})\rightarrow \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{G})\end{eqnarray}$$

qui elle est indépendante des choix effectués car les paramètres inertiels sont à valeurs dans $\widehat{\mathbf{T}}_{0}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ (ou $\widehat{\mathbf{G}}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell })$ ).

Soit $\unicode[STIX]{x1D719}_{\mathbf{T}}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{T})$ . Notons $X:=X^{\ast }(\mathbf{T})$ . Nous avons vu dans les §§ 3.2 et 3.1 que l’on a une bijection $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{T})\simeq (X\otimes _{\mathbb{Z}}\mathfrak{F}^{\times })^{F}$ . Soit $x\in {\mathcal{A}}(\mathbf{T},K)\cap BT_{0}$ . Nous savons que l’on a également un isomorphisme $(X\otimes _{\mathbb{Z}}\mathfrak{F}^{\times })^{F}\simeq (\text{T}_{x}^{\ast })^{F}\simeq \text{Hom}(\text{}\text{T}_{x}^{F},\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times })$ . On associe donc à $\unicode[STIX]{x1D719}_{\mathbf{T}}$ de manière bijective un caractère $\unicode[STIX]{x1D703}_{\mathbf{T}}:\text{}\text{T}_{x}^{F}\rightarrow \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$ , qui se relève en un caractère de niveau 0 : $\unicode[STIX]{x1D703}_{\mathbf{T}}:^{0}\text{}\text{T}^{F}\rightarrow \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$ . L’association qui à $\unicode[STIX]{x1D719}_{\mathbf{T}}$ donne $\unicode[STIX]{x1D703}_{\mathbf{T}}$ est alors la correspondance de Langlands locale pour les tores restreinte à l’inertie.

Démonstration.

Par définition de $\text{Rep}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ , comme $\unicode[STIX]{x1D70B}$ est une représentation irréductible, $\unicode[STIX]{x1D70B}\in \text{Rep}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ si et seulement s’il existe $x\in BT_{0}$ tel que $e_{\unicode[STIX]{x1D719},x}\unicode[STIX]{x1D70B}^{G_{x}^{+}}\neq 0$ . Soit $x\in BT_{0}$ , alors par construction $e_{\unicode[STIX]{x1D719},x}\unicode[STIX]{x1D70B}^{G_{x}^{+}}\neq 0$ est équivalent à l’existence d’une classe de conjugaison rationnelle semi-simple $s\in S_{\unicode[STIX]{x1D719},x}$ telle que $e_{s,\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}^{\overline{\mathsf{G}}_{x}}\unicode[STIX]{x1D70B}^{G_{x}^{+}}\neq 0$ . Soit $\text{T}_{x}$ un $\mathfrak{f}$ -tore maximal de $\overline{\text{G}}_{x}$ tel que $s\in (\text{T}_{x}^{\ast })^{F}$ . Relevons $\text{T}_{x}$ en $\mathbf{T}$ un tore maximal non-ramifié de $\mathbf{G}$ . Nous avons que $\unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{T})\simeq (X\otimes _{\mathbb{Z}}\mathfrak{F}^{\times })^{F}\simeq (\text{T}_{x}^{\ast })^{F}$ et donc $s$ correspond à $\unicode[STIX]{x1D719}_{\mathbf{T}}$ un paramètre inertiel modéré de $\mathbf{T}$ . La discussion qui précède le théorème montre que $s$ est également associé au caractère $\unicode[STIX]{x1D703}_{\mathbf{T}}:\text{}\text{T}_{x}^{F}\rightarrow \overline{\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$ . Le § 2.1 nous dit alors que $e_{s,\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}^{\overline{\mathsf{G}}_{x}}\unicode[STIX]{x1D70B}^{G_{x}^{+}}\neq 0$ si et seulement si $\langle \unicode[STIX]{x1D70B}^{G_{x}^{+}},{\mathcal{R}}_{\text{}\text{T}_{x}}^{\overline{\text{G}}_{x}}(\unicode[STIX]{x1D703}_{\boldsymbol{ T}})\rangle \neq 0$ .

On vient donc de montrer que $\unicode[STIX]{x1D70B}\in \text{Rep}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ si et seulement s’il existe $\mathbf{T}$ un tore maximal non-ramifié de $\mathbf{G}$ , $x\in {\mathcal{A}}(\mathbf{T},K)\cap BT_{0}$ , $\unicode[STIX]{x1D719}_{\mathbf{T}}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}_{m}(I_{k},\mathbf{T})$ correspondant à $s\in S_{\unicode[STIX]{x1D719},x}$ tels que $\langle \unicode[STIX]{x1D70B}^{G_{x}^{+}},{\mathcal{R}}_{\text{}\text{T}_{x}}^{\overline{\text{G}}_{x}}(\unicode[STIX]{x1D703}_{\boldsymbol{ T}})\rangle \neq 0$ . Pour achever la preuve du théorème il ne nous reste donc qu’à montrer que $\unicode[STIX]{x1D719}=\unicode[STIX]{x1D704}(\unicode[STIX]{x1D719}_{\mathbf{T}})$ . Or cela découle du diagramme commutatif suivant

Notons que le théorème précédent n’est énoncé que pour $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }$ puisque l’on peut en déduire une description de $\text{Irr}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}(G)\cap \text{Rep}_{\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ grâce à la proposition 4.1.1. Notons également que pour $\unicode[STIX]{x1D6EC}=\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }$ , les objets simples de $\text{Rep}_{\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ sont :

1. (i) Les objets simples de caractéristique 0 qui sont les $\unicode[STIX]{x1D70B}\in \text{Irr}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}(G)\cap \text{Rep}_{\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ qui ne sont pas entières.

2. (ii) Les objets simples de caractéristique $\ell$ qui sont les sous-quotients simples des réductions modulo $\ell$ des $\unicode[STIX]{x1D70B}\in \text{Irr}_{\overline{\mathbb{Q}}_{\ell }}(G)\cap \text{Rep}_{\overline{\mathbb{Z}}_{\ell }}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ qui sont entières (voir le lemme 6.8 de [Reference DatDat05], les hypothèses peuvent être supprimées ici car on est en niveau 0).

4.3 Condition de relevance

Nous avons noté précédemment que si $\mathbf{G}$ n’est pas quasi-déployé alors les catégories $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ peuvent être vides. Nous allons montrer dans cette partie que $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ est non vide si et seulement si $\unicode[STIX]{x1D719}$ est relevant, au sens suivant.

Soit $\unicode[STIX]{x1D711}\in \unicode[STIX]{x1D6F7}(W_{k},\mathbf{G})$ et posons $\unicode[STIX]{x1D719}:=\unicode[STIX]{x1D711}_{|I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}}}$ . Pour $w\in W_{k}$ , l’action par conjugaison de $\unicode[STIX]{x1D711}(w)$ normalise $\unicode[STIX]{x1D719}(I_{k}^{\unicode[STIX]{x1D6EC}})$ donc normalise également $C_{\widehat{\mathbf{G}}}(\unicode[STIX]{x1D719})^{\circ }$ , le centralisateur connexe de l’image de $\unicode[STIX]{x1D719}$ dans $\widehat{\mathbf{G}}$ . On définit alors

$$\begin{eqnarray}{\mathcal{M}}_{\unicode[STIX]{x1D711}}:=C_{^{L}\mathbf{G}}(Z(C_{\widehat{\mathbf{G}}}(\unicode[STIX]{x1D719})^{\circ })^{\unicode[STIX]{x1D711}(W_{k}),\circ })\end{eqnarray}$$

qui est un Levi de $^{L}\mathbf{G}$ dont la partie connexe est $M_{\unicode[STIX]{x1D711}}:=C_{\widehat{\mathbf{G}}}(Z(C_{\widehat{\mathbf{G}}}(\unicode[STIX]{x1D719})^{\circ })^{\unicode[STIX]{x1D711}(W_{k}),\circ })$ .

On appelle tore maximal de $^{L}\mathbf{G}$ un sous-groupe ${\mathcal{T}}$ de $^{L}\mathbf{G}$ qui se surjecte sur $\langle \widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\rangle$ et dont l’intersection ${\mathcal{T}}^{\circ }$ avec $\widehat{\mathbf{G}}$ est un tore maximal de $\widehat{\mathbf{G}}$ . Pour un tel tore, on notera $\widehat{\mathbf{T}}:={\mathcal{T}}^{\circ }$ sa partie connexe. Nous avons la suite exacte suivante : $\widehat{\mathbf{T}}{\hookrightarrow}{\mathcal{T}}{\twoheadrightarrow}\langle \widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\rangle$ . Le tore ${\mathcal{T}}$ agit par conjugaison sur $\widehat{\mathbf{T}}$ et donc, on en déduit une action de $\langle \widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\rangle$ sur $\widehat{\mathbf{T}}$ qui nous permet de définir une $k$ -structure sur $\mathbf{T}$ le dual de $\widehat{\mathbf{T}}$ . On dira qu’un tore maximal ${\mathcal{T}}$ est relevant si le plongement $\widehat{\mathbf{T}}{\hookrightarrow}\widehat{\mathbf{G}}$ correspond dualement à un $k$ -plongement $\mathbf{T}{\hookrightarrow}\mathbf{G}$ . Enfin, on dira que ${\mathcal{T}}$ est elliptique dans $^{L}\mathbf{G}$ si ${\mathcal{T}}$ n’est contenu dans aucun Levi propre ${\mathcal{M}}$ de $^{L}\mathbf{G}$ ou de façon équivalente si $Z({\mathcal{T}})^{\circ }=Z(\,^{L}\mathbf{G})^{\circ }$ .

Rappelons nous que dans le § 4.2 nous avons fixé un tore maximal de référence $\mathbf{T}_{0}$ , qui nous a permis d’associer à $\mathbf{T}$ , un tore maximal non-ramifié de $\mathbf{G}$ , un élément $w\in W_{0}$ , un tore $\,^{L}\mathbf{T}=\widehat{\mathbf{T}}_{0}\rtimes \langle w\widehat{\unicode[STIX]{x1D717}}\rangle$ et un plongement $\unicode[STIX]{x1D704}:\,^{L}\mathbf{T}{\hookrightarrow}\,^{L}\mathbf{G}$ en choisissant un relèvement ${\dot{w}}\in N(\widehat{\mathbf{T}}_{0},\widehat{\mathbf{G}})$ de $w$ .

4.4 Compatibilité à l’induction et à la restriction parabolique

Cette sous-partie à pour but d’étudier le comportement des catégories $\text{Rep}_{\unicode[STIX]{x1D6EC}}^{\unicode[STIX]{x1D719}}(G)$ vis à vis de l’induction et de la restriction parabolique.

Jusqu’à présent, nous avons considéré l’immeuble de Bruhat–Tits semi-simple, puisque celui-ci est muni d’une structure de complexe polysimplicial. Cependant dans cette section, nous souhaitons comparer l’immeuble d’un Levi et celui de $G$ . L’immeuble de Bruhat–Tits ‘étendu’ semble alors plus approprié. Cela ne fait pas une grosse différence. En effet nous traitions la structure polysimpliciale de façon purement combinatoire. De plus, les idempotents $e_{\unicode[STIX]{x1D719},\unicode[STIX]{x1D70E}}$ auraient très bien pu être définis pour un point quelconque $x$ de l’immeuble, on aurait alors eu que $e_{\unicode[STIX]{x1D719},x}=e_{\unicode[STIX]{x1D719},\unicode[STIX]{x1D70E}}$ , où $\unicode[STIX]{x1D70E}$ est le plus petit polysimplexe contenant $x$ . Ainsi, dans cette partie seulement, on utilisera l’immeuble de Bruhat–Tits ‘étendu’, que l’on notera $BT^{e}(G)$ .

Soit $\mathbf{P}$ un $k$ -sous-groupe parabolique de $\mathbf{G}$ de quotient de Levi $\mathbf{M}$ défini sur $k$ . Prenons $\mathbf{S}$ un tore déployé maximal de $\mathbf{G}$ contenu dans $\mathbf{P}$ et notons $\mathbf{T}$ son centralisateur dans $\mathbf{G}$ . Il existe alors un unique relèvement de $\mathbf{M}$ en un sous-groupe de $\mathbf{G}$ contenant $\mathbf{T}$ . Notons $\unicode[STIX]{x1D711}$ le système de racines de $G$ relativement à $S$ et $\unicode[STIX]{x1D711}_{M}\subseteq \unicode[STIX]{x1D711}$ celui de $M$ . L’appartement ${\mathcal{A}}_{M}^{e}(\mathbf{S},k)$ de $BT^{e}(M)$ relativement à $\mathbf{S}$ est égal à ${\mathcal{A}}^{e}:={\mathcal{A}}^{e}(\mathbf{S},k)$ mais en ne gardant que les murs associés aux racines affines dont la partie vectorielle est dans $\unicode[STIX]{x1D711}_{M}$ . Soit $x\in {\mathcal{A}}$ , alors $M_{x}^{\circ }=M\cap G_{x}^{\circ }$ et $M_{x}^{+}=M\cap G_{x}^{+}$ (voir [Reference Moy and PrasadMP96, § 4.3]). Rappelons que l’on a déjà défini $\overline{\mathsf{M}}_{x}\simeq M_{x}^{\circ }/M_{x}^{+}$ et posons $\overline{\mathsf{P}}_{x}$ l’image de $P_{x}:=P\cap G_{x}^{\circ }$ dans $\overline{\mathsf{G}}_{x}$ .