Ce sujet n'a pas été traité, peut-être parce qu'il paraît trop simple; pourtant il mérite examen vu son utilité pratique certaine.

Il est impossible de négliger le jeu de la réserve de Risques en Cours dans l'estimation du taux des sinistres c'est-à-dire dans l'ap-préciation de la tarification et de l'équilibre d'une branche d'assurances.

D'autre part, comme le souligne justement la note introductrice aux thèmes proposés établie par le Comité Astin, le problème est moins immédiat qu'il ne paraît:

On considère généralement la réserve de Risques en Cours (l'expression anglaise risques non expirés est peut-être meilleure) comme un simple pourcentage des primes totales: c'est la fraction de primes non acquise à l'exercice mais ceci suppose que le risque est uniformément réparti dans le temps et que les primes correspondent exactement aux risques couverts.

En fait deux conceptions sont possibles:

— méthode rétrospective: on considère le déroulement passé des opérations: schématiquement on prend la différence entre les primes perҁues et les sinistres survenus; ce qui hypothèque l'avenir.

— méthode prospective: on fixe la somme nécessaire pour faire face aux sinistres à venir dans l'intervalle de temps encore couvert par les polices en cours, ceci compte tenu du taux actuel de sinistres et même de son évolution probable dans le futur immédiat.

La méthode prospective est-elle plus correcte? Il peut le sembler. Mais c'est seulement viser à l'équilibre probable du bilan futur, au détriment du bilan actuel. Pourquoi une insuffisance de tarification, par exemple, doit-elle peser sur le seul compte de l'exercice clos?

The object of the Netherlands Foundation for Sanatorium Insurance (“N.S.V.”) is to insure the risk of treatment in a sanatorium because of tuberculosis. For insured persons admitted to a sanatorium because of tuberculosis, the N.S.V. pays the insured sum for every day of treatment. At the moment nearly 80% of the population of the Netherlands is insured directly or indirectly in the N.S.V.

There are three groups of insurances: obligatory insurance, voluntary collective insurances and voluntary individual insurances. The insurances in the first and second group are, strictly speaking, reinsurances of the risk of tuberculosis of a great number of institutions concerned with cost of sickness insurance. The risk of the insurance in these two groups is only administered and pooled by the N.S.V.

This paper concerns the group of the individual insurances only, which group contains about 1.250.000 insured persons. The risk of this group is run by the N.S.V. itself. As the N.S.V. is a non-profit organisation, the premium level is held as low as possible.

From statistical data, derived from the administration of the N.S.V., the “admission frequency” is calculated every year, being the quotient of the number of insured persons, admitted to a sanatorium in that year, and the total number of insured persons. This admission frequency a, which is now about is used as a basis for the calculation of the premium which will be in force during the next year.

I. Suppose that the claims experienced by a portfolio could be represented as independent random variables with a distribution function F(x). The net premium per claim for an excess loss cover above an amount of L is then

If we have no information about F(x) except a number M of independent claims, we might compute the observed “staircase” distribution function SM (x) which is for every x an unbiased estimate of F(x), and could thus compute an unbiased estimate for P(L) with the variance [7])

2. In real life we have some qualitative knowledge of F(x) and very limited information about the claims. In his introduction to this subject Beard treats the case where the only information about F(x) consists of the largest claim xi and the number of claims ni (i = 1, 2, …, N) observed during N periods (Reference No 2). It is known from the theory of extreme values [3] that for large ni the distribution of xi depends mainly on the parameters uni and αni( defined by

Beard further assumes that F(x) belongs to what is called by Gumbel “the exponential type” of distribution functions, which have an unlimited tail and finite moments. This class is strictly defined by Gnedenko's necessary and sufficient condition [4, p. 68]:

Une Compagnie d'assurances délivre par l'intérmediaire d'Agences de Voyage des contrats d'assurances individuelles garantissant les personnes prenant place dans des autocars contre les décès par accident. Le capital garanti est uniforme. Il sera pris égal à I par simplification.

Cette Compagnie prend à sa charge le paiement de i décès au maximum dans chaque accident et demande à un Réassureur de payer, aux termes d'un traité en excédent de sinistre, les autres décès; autrement dit, si un accident cause d décès, la Compagnie paie I, le Réassureur en excess paie d — I.

Il s'agit de calculer la prime de ce traité en excédent de sinistre?

La solution dépend de trois paramètres:

n nombre de passagers par autocar, égal au maximum au nombre de places; on supposera, pour fixer les idées, n = 502).

d nombre de décès survenus dans un même accident. C'est une variable stochastique comprise entre 0 et n.

Il n'y a pas lieu de faire intervenir la fréquence d'accidents (entraînant des morts) q, car celle-ci est un des éléments constitutifs du tarif appliqué par la Cédante et la prime de réassurance est exprimée comme une fraction de la prime originale. Si celle-ci est incorrecte, trop basse ou trop élevée, l'Assureur réalise une perte ou un bénéfice et il est normal que le Réassureur suive en cela la fortune de sa Cédante. La seule question est celle d'un partage équitable de la prime perçue, bonne ou mauvaise, entre la Cédante et le Réassureur.

La solvabilité d'une entreprise est généralement référée à des vérifications d'ordre patrimonial et financier, à des considérations de nature économique (relatives à l'entreprise en elle-même, à son avenir, au milieu dans lequel elle opère, au marché dont elle constitue une unité élémentaire), à des relèvements, constatations, informations même de caractère subjectif et personnel. En d'autres termes, elle se définit sur la base d'un ensemble d'éléments “réels”, mais aussi de facteurs diversement constitués et diversement déterminés qui consentent, dans leur ensemble, de formuler un jugement, positif ou négatif, dont dérive l'attitude des “tiers” face à la possibilité, plus ou moins large, d'établir ou de développer ou de réduire ou de trancher des rapports contractuels.

Dans le domaine des entreprises d'assurances — à l'égard desquelles l'élément “confiance” de la part du grand public a un poids fondamental, s'agissant d'engagements qui se réalisent dans le temps en fonction de certaines probabilités — le critère de solvabilité n'est pas uniquement basé sur l'ensemble des facteurs d'appréciation indiqués ci-haut, mais trouve un point de répère solide, sur la consistance des “Réserves techniques” (ou, au moins, d'une partie de ces réserves) et sur le contrôle que, dans presque tous les Pays, est exercé par l'Etat en sauvegarde de la “masse des assurés”.

The classical treatment of stochastic models in non-life insurance is to first derive the well-known Poisson distribution by considering the question of how many claims take place during a definite period t. In deriving this distribution the following three assumptions are made:

( I) The population studied is homogeneous.

( II) The occurrence of a claim is a rare event, viz. in an infinite-simal time interval [t, t + Δt], the probability of more than one occurrence must be of the order of magnitude o(Δt).

(III) The occurrence of any later claim is not influenced by previous ones (no contagion).

In my purely theoretical study [5]), the consequences of discarding one or more of the above assumptions were considered. By so generalizing the Poisson distribution, a great many stochastic models can be built, although the results were not always successful. The following study concentrates on some considerations based on assumption (II). The theoretical formulation of the model will be dealt with briefly and the author would first make reference to the instructive article of Thyrion [7] which was unfortunately unknown to him when he was preparing his already mentioned paper. Ammeter [2] and Arfwedson [3] have also considered special cases of this generalization. With the help of the statistics over traffic accidents in the city of Zurich, I hope to throw some more light on the practical aspects of the problem. To the Statistics Office of this city I would express my thanks for kindly placing all documents at my disposal.