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Calculations of Velocity and Temperature in a Polar Glacier using the Finite-Element Method

Abstract

Numerical methods based on quadrilateral finite elements have been developed for calculating distributions of velocity and temperature in polar ice sheets in which horizontal gradients transverse to the flow direction are negligible. The calculation of the velocity field is based on a variational principle equivalent to the differential equations governing incompressible creeping flow. Glen’s flow law relating effective strain-rate ε̇ and shear stress τ by ε̇ = (τ/B) n is assumed, with the flow law parameter B varying from element to element depending on temperature and structure. As boundary conditions, stress may be specified on part of the boundary, in practice usually the upper free surface, and velocity on the rest. For calculation of the steady-state temperature distribution we use Galerkin’s method to develop an integral condition from the differential equations. The calculation includes all contributions from vertical and horizontal conduction and advection and from internal heat generation. Imposed boundary conditions are the temperature distribution on the upper surface and the heat flux elsewhere

For certain simple geometries, the flow calculation has been tested against the analytical solution of Nye (1957), and the temperature calculation against analytical solutions of Robin (1955) and Budd (1969), with excellent results.

The programs have been used to calculate velocity and temperature distributions in parts of the Barnes Ice Cap where extensive surface and bore-hole surveys provide information on actual values. The predicted velocities are in good agreement with measured velocities if the flow-law parameter B is assumed to decrease down-glacier from the divide to a point about 2 km above the equilibrium line, and then remain constant nearly to the margin. These variations are consistent with observed and inferred changes in fabric from fine ice with random c-axis orientations to coarser ice with single- or multiple-maximum fabrics. In the wedge of fine-grained deformed superimposed ice at the margin, B increases again.

Calculated and measured temperature distributions do not agree well if measured velocities and surface temperatures are used in the model. The measured temperature profiles apparently reflect a recent climatic warming which is not incorporated into the finite-element model. These profiles also appear to be adjusted to a vertical velocity distribution which is more consistent with that required for a steady-state profile than the present vertical velocity distribution.

Résumé

Des méthodes numériques, basées sur les éléments finis à quartre côtés ont été développées pour le calcul des distributions de la vitesse et de la température dans des calottes glaciaires polaires dans lesquelles les gradients horizontaux transversaux par rapport à la direction de l’écoulement sont négligeables. Le calcul du champ des vitesses est basé sur une loi de variation équivalente aux différentes équations différentielles qui régissent les écoulements par glissement d’un matériel incompressible. La loi d’écoulement de Glen reliant la vitesse effective de déformation ε̇ et l’effort de cisaillement τ par la loi ε̇ = (τ/B) n est posée en hypothèse avec le paramètre B de la loi d’écoulement variant d’un élément à l’autre selon sa température et sa structure. Comme conditions aux limites, les efforts peuvent être précisés sur une partie de ces limites en pratique ordinairement sur la surface supérieure libre, et la vitesse sur le reste. Pour le calcul de l’état d’équilibre de la distribution des températures, nous utilisons la méthode, de Galerkin pour développer une condition intégrale à partir des équations différentielles. Le calcul prend en compte tous les apports par conduction et advection verticales et horizontales et par génération interne de chaleur. Les conditions aux limites imposées sont la distribution des températures à la surface supérieure et le flux de chaleur ailleurs.

Pour certaines géométries simples, les calculs de flux ont été confrontés aux solutions analytiques de Nye (1957) et les calculs de température aux solutions analytiques de Robin (1955) et de Budd (1969) avec d’excellents résultats.

Les programmes ont été utilisés pour calculer les distributions des vitesses et des températures dans des parties de la calotte glaciaire de Barnes où des mesures de surface étendues et des forages donnent des informations sur les valeurs réelles. Les vitesses prévues sont en bon accord avec les vitesses mesurées si le paramètre de la loi d’écoulement B, est censé décroître d’amont en aval depuis la crête jusqu’à un point à environ 2 km au dessus de la ligne d’équilibre puis rester à peu près constant jusqu’auprès du front. Ces variations sont cohérentes avec les changements observés et supposés dans la structure cristalline de la glace à grains fins avec des orientations aléatoires des axes-c, passant à de la glace à plus gros grains avec une seule ou plusieurs directions privilégiées des axes-c. Dans les coins de glace à grains fins déformés et surimposés près du front, B croît de nouveau.

Les distributions calculées et mesurées de la température ne concordent pas très bien si l’on introduit dans le modèle les vitesses mesurées et les températures à la surface. Les profils de température mesurés reflètent semble-t-il un récent réchauffement climatique qui n’est pas incorporé dans le modèle aux éléments finis. Ces profils apparaissent aussi comme adaptés à une distribution verticale des vitesses qui concordent mieux avec celles correspondant à des profils dans un état d’équilibre qu’à la distribution contemporaine réelle des vitesses.

Zusammenfassung

Zur Berechnung der Verteilung von Geschwindigkeit und Temperatur in polaren Eisschilden, in denen horizontale Gradienten senkrecht zur Fliessrichtung vernachlässigbar sind, wurden numerische Methoden auf der Basis viereckiger finiter Elemente entwickelt. Die Berechnung des Geschwindigkeitsfeldes beruht auf einem Variationsprinzip, das äquivalent zu den Differentialgleichungen für Kriechfliessen ohne Kompression ist. Es wird das Fliessgesetz von Glen, das die effektive Verformungsgeschwindigkeit ε̇ mit dem Scherdruck über ε̇ = (τ/B) n in Beziehung setzt, angenommen, wobei der Parameter B sich in Abhängigkeit von Temperatur und Struktur von Element zu Element ändert. Als Randbedingungen können der Druck auf der Seite der Begrenzung, in der Praxis gewöhnlich die freie Oberfläche, und im übrigen die Geschwindigkeit herangezogen werden. Zur Berechnung der stationären Temperaturverteilung wird Galerkin’s Methode der Entwicklung einer Integralbedingung aus den Differentialgleichungen herangezogen. Die Berechnung schliesst alle Beiträge aus vertikaler und horizontaler Leitung und Advektion sowie aus inneren Wärmequellen ein. Als Randbedingungen dienen die Temperaturverteilung an der Oberfläche und der Wärmefluss an beliebiger Stelle.

Für gewisse einfache Fälle wurde die Flussberechnung mit der analytischen Lösung von Nye (1957), die Temperaturberechnung mit denen von Robin (1955) und Budd (1969) verglichen; die Ergebnisse sind hervorragend.

Die Programme wurden zur Berechnung der Geschwindigkeits- und Temperaturverteilung in Teilen des Barnes Ice Cap benutzt, wo ausgedehnte Beobachtungen der tatsächlichen Werte an der Oberfläche und in Bohrlöchern vorliegen. Die berechneten Geschwindigkeiten stimmen gut mit den gemessenen überein, wenn man annimmt, dass der Parameter B gletscherabwärts von der Eisscheide bis zu einem Punkt etwa 2 km über der Gleichgewichtslinie abnimmt und dann fast bis zum Rand konstant bleibt. Dieser Verlauf stimmt mit beobachteten und abgeleiteten Schwankungen in Gefügen von feinem Eis mit Zufallsorientierung der c-Achsen bis zu gröberem Eis mit einzelnen oder mehrfachen Orientierungsmaximen überein. In dem Keil feinkörnigen, deformierten Aufeises am Rand nimmt B wieder zu.

Berechnete und gemessene Temperaturverteilungen stimmen schlecht überein, wenn gemessene Geschwindigkeiten und Oberflächentemperaturen in das Modell eingeführt werden. Die gemessenen Temperaturprofile spiegeln offensichtlich eine rezente Klimaverbesserung wider, der das Modell der finiten Elemente nicht gerecht werden kann. Diese Profile scheinen ausserdem einer vertikalen Geschwindigkeitsverteilung angepasst zu sein, die mehr zu der eines stationären Profiles passt als zur derzeit vorhandenen.

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