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Théorème de Paley—Wiener pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique

  • Patrick Delorme (a1)
Abstract
Abstract

Let G be a p-adic reductive group and let U0 be the unipotent radical of a minimal parabolic subgroup of G. We introduce a Fourier transform defined on the space of smooth Whittaker functions on G which are compactly supported modulo U0. We determine its image. The proof follows the proof of Heiermann for the functions on the group.

During the proof, we establish an inversion formula. This formula allows us to prove that an irreducible smooth representation of G, which has a Whittaker model in the space of smooth Whittaker functions on G which are compactly supported modulo U0, is cuspidal.

This work gave us the opportunity to prepare a framework for the study of harmonic analysis on p-adic reductive symmetric spaces: B-matrices and constant term; a study of wave packets.

Résumé

Soit G un groupe réductif p-adique et U0 le radical unipotent d'un sous-groupe parabolique minimal de G. Nous introduisons une transformation de Fourier pour l'espace des fonctions de Whittaker lisses sur G et à support compact modulo U0. Nous en déterminons l'image. La preuve suit celle d'Heiermann pour les fonctions sur le groupe.

Au cours de la preuve, une formule d'inversion est prouvée. Celle-ci permet de montrer qu'une représentation lisse irréductible de G, qui possède modèle de Whittaker dans les fonctions de Whittaker à support compact modulo U0, est cuspidale.

Ce travail nous a donné l'opportunité de préparer un cadre pour l'analyse harmonique sur les espaces symétriques réductifs p-adiques: B-matrices et terme constant, propriétés des paquets d'ondes.

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1.Arthur J., A local trace formula, Publ. Math. IHES 73 (1991), 596.
2.Bernstein J., On the support of the Plancherel measure, J. Geom. Phys. 5 (1988), 663710.
3.Bernstein J., Representations of p-adic groups, Lectures given at Harvard University (1992), notes taken by K. E. Rummelhart.
4.Bernstein J., Second adjointness theorem for representations of reductive p-adic groups, unpublished manuscript (available at www.math.tau.ac.il/~bernstei/).
5.Bernstein et J. Zelevinsky V., Induced representations of reductive p-adic groups, I, Annales Scient. Éc. Norm. Sup. 10 (1977), 441472.
6.Blanc et P. Delorme P., Vecteurs distributions H-invariants de représentations induites pour un espace symétrique réductif p-adique G/H, Annales Inst. Fourier 58 (2008), 213261.
7.Bushnell C., Representations of reductive p-adic groups: localization of Hecke algebras and applications, J. Lond. Math. Soc. 63(2) (2001), 364386.
8.Bushnell et C. Henniart G., Generalized Whittaker models and the Bernstein center, Am. J. Math. 125 (2003), 513547.
9.Casselman W., Introduction to the theory of admissible representations of p-adic reductive groups (www.math.ubc.ca/~cass/research.html).
10.Casselman et W. Shalika J., The unramified principal series of p-adic groups, II, The Whittaker function, Compositio Math. 41 (1980), 207231.
11.Deligne P., Le « centre » de Bernstein rédigé par Pierre Deligne, Travaux en Cours, dans Representations of reductive groups over a local field, pp. 132 (Hermann, Paris, 1984).
12.Delorme P., Espace des coefficients de représentations admissibles d'un groupe réductif p-adique, pp. 131176, Progress in Mathematics, Volume 220 (Birkhäuser, 2004).
13.Delorme P., The Plancherel formula on reductive symmetric spaces from the point of view of the Schwartz space, dans Lie theory, pp. 135175, Progress in Mathematics, Volume 230 (Birkhäuser, 2005).
14.Delorme P., Constant term of smooth Hψ-invariant functions, Trans. Am. Math. Soc. 362 (2010), 933955.
15.Heiermann V., Une formule de Plancherel pour l'algèbre de Hecke d'un groupe réductif p-adique, Comment. Math. Helv. 76 (2001), 388415.
16.Knapp A., Representation theory of semisimple groups: an overview based on examples, Princeton Landmarks in Mathematics (Princeton University Press, 2001; reprint of 1986 original).
17.Lapid et E. Mao Z., On the asymptotics of Whittaker functions, Represent. Theory 13 (2009), 6381.
18.Matringe N., Derivatives and asymptotics of Whittaker functions, Represent. Theory 15 (2011), 646669.
19.Michael E., Selected selections theorems, Am. Math. Mon. 63 (1956), 223283.
20.Rodier F., Modèles de Whittaker des représentations admisssibles des groupes réductifs p-adiques quasi-déployés, manuscript non publié.
21.Sauvageot F., Principe de densité pour les groupes réductifs, Compositio Math. 108 (1997), 151184.
22.Shahidi F., Functional equation satisfied by certain L-functions, Compositio Math. 37 (1978), 171207.
23.Shahidi F., On certain L-functions, Am. J. Math. 103 (1981), 297355.
24.Silberger A., Introduction to harmonic analysis on reductive p-adic groups, Based on lectures by Harish-Chandra at the Institute for Advanced Study, 1971–1973, Mathematical Notes, Volume 23 (Princeton University Press/University of Tokyo Press, 1979).
25.Waldspurger J.-L., La formule de Plancherel pour les groupes p-adiques (d'après Harish-Chandra), J. Inst. Math. Jussieu 2 (2003), 235333.
26.Wallach N., Real reductive groups, Volume II, Pure and Applied Mathematics, Volume 132(II) (Academic Press, 1992).
27.Warner G., Harmonic analysis on semi-simple Lie groups, Volume I, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 188 (Springer, 1972).
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Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu
  • ISSN: 1474-7480
  • EISSN: 1475-3030
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