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Descent on fibrations over P1k revisited

Published online by Cambridge University Press:  01 May 2000

J.-L. COLLIOT-THÉLÈNE
Affiliation:
C.N.R.S., UMR 8628, Mathématiques, Bâtiment 425, Université de Paris-Sud, F-91405 Orsay, France. e-mail: colliot@math.u-psud.fr
A. N. SKOROBOGATOV
Affiliation:
Imperial College, Department of Mathematics, Huxley Building, 180 Queen's Gate, London SW7 2BZ. e-mail: a.skorobogatov@ic.ac.uk

Abstract

Soient k un corps de nombres et f: XP1k un k-morphisme surjectif de k-variétés projectives lisses, à fibre générique géométriquement intègre. Supposons que les fibres de f au-dessus d'un sous-ensemble Hilbertien de P1(k) satisfont le principe de Hasse (resp. le principe de Hasse et l'approximation faible). Supposons que toutes les fibres géométriques de f ont au moins une composante de multiplicité un. Le rang de f est la somme des degrés des points fermés P dont la fibre XP = f−1(P) ne possède pas de composante de multiplicité un géométriquement intègre. Supposons le rang au plus égal à 2. Alors l'obstruction de Brauer–Manin au principe de Hasse (resp. à l'approximation faible) sur X est la seule. Dans des articles antérieurs nous n'avions obtenu ce résultat que sous des hypothèses plus fortes sur la nature des fibres. Le présent énoncé, obtenu grâce à une descente sur des variétés ouvertes, permet d'étudier des variétés données par des équations affines simples, sans calcul explicite d'un modè le projectif et lisse.

Type
Research Article
Copyright
The Cambridge Philosophical Society 2000

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