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SUR LES COURBES POLAIRES D’UNE COURBE PLANE RÉDUITE

Published online by Cambridge University Press:  01 July 2000

EVELIA R. GARCÍA BARROSO
Affiliation:
Departamento de Matemática Fundamental Facultad de Matemáticas Universidad de La Laguna 38271 La Laguna Tenerife Spainergarcia@ull.es
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Abstract

This paper contains results on the structure of genericlocal polar curves $P(\tau)$ of a reduced germ of a complexanalytic plane curve $C$.We first prove a decomposition theorem of the branches of$P(\tau)$ into bunches. By construction, all the branchesin the same bunch have the same contact with all branchesof $C$. It follows that the Puiseux expansions of all thebranches of a given bunch coincide with that of a branchof $C$ up to an order depending upon the bunch. An initialpart of these expansions is therefore independant of $\tau$.In the second part, we study to what extent the contact ofthe branches of $C$ with the branches of $P(\tau)$determines the topological type of $C$. We build from thesecontacts a matrix which is determined by the topological typeof $C$ and determines it.In an appendix, we explain how to recover, from the resultsof the first part, the L\^e--Michel--Weber theorem onthe behaviour of polar curves in an embedded resolution ofsingularities of $C$.Cet article pr\'esente des r\'esultats sur la structure descourbes polaires locales g\'en\'eriques $P(\tau)$ d'un germer\'eduit de courbe analytique complexe plane $C$.Nous d\'emontrons d'abord un th\'eor\`eme de d\'ecompositionen paquets des branches de $P(\tau)$. Par construction,toutes les branches d'un m\^eme paquet ont le m\^eme contactavec chacune des branches de $C$. L'ensemble de ces paquetsest index\'e par un graphe qui ne d\'epend que de la topologiede la courbe $C$ donn\'ee. En cons\'equence, led\'eveloppement de Puiseux de toutes les branches d'un m\^emepaquet de $P(\tau)$ coincide avec celui d'une branche de $C$jusqu'\`a un ordre d\'ependant du paquet. Une partie initialede ce d\'eveloppement est donc ind\'ependante de $\tau$.Dans la deuxi\`eme partie de ce travail, nous \'etudions dansquelle mesure le contact avec les branches de $C$ des branchesde $P(\tau)$ d\'etermine le type topologique de $C$. Nousconstruisons \`a partir de tous ces contacts une matrice quine d\'epend que du type topologique de $C$ et le d\'etermine.Dans un appendice, nous montrons comment retrouver, \`a partirdes r\'esultats prouv\'es dans la premi\`ere partie, leth\'eor\`eme de L\^e--Michel--Weber sur le comportement despolaires dans une r\'esolution plong\'ee des singularit\'esde $C$. E-mail: ergarcia@ull.es 1991 Mathematics Subject Classification: 14H20, 32S10.

Information

Type
Research Article
Copyright
2000 London Mathematical Society

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