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Moritz Pasch (1843–1930) gave the first rigorous axiomatization of projective geometry in his Vorlesungen über neuere Geometrie (1882), in which he also clearly formulated the view that deductions must be independent from the meanings of the nonlogical terms involved. Pasch also presented in these lectures the main tenets of his philosophy of mathematics, which he continued to elaborate on throughout the rest of his life. This philosophy is quite unique in combining a deductivist methodology with a radically empiricist epistemology for mathematics. By taking into consideration publications from the entire span of Pasch’s career, the latter decades of which he devoted primarily to careful reflections on the nature of mathematics and of mathematical knowledge, Pasch’s highly original, but virtually unknown, philosophy of mathematics is presented.

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Boniface, J. (2004). Hilbert et la notion d’existence en mathématiques. Mathesis. Paris, France: J. Vrin.
Boniface, J. (2007). The concept of number from Gauss to Kronecker. In Goldstein, C., Schappacher, N., and Schwermer, J., editors. The Shaping of Arithmetic After C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae. Berlin: Springer, pp. 315342.
Contro, W. S. (1976). Von Pasch zu Hilbert. Archive for History of Exact Sciences, 15(3), 283295.
Dedekind, R. (1872). Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig, Germany: Vieweg. Reprinted in Dedekind (1932a), pp. 315–334. English translation Continuity and Irrational Numbers in Ewald (1996), pp. 765–779.
Dedekind, R. (1888). Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig, Germany: Vieweg. Reprinted in Dedekind (1932a), pp. 335–391. English translation in Ewald (1996), pp. 787–833.
Dedekind, R. (1932a). Gesammelte mathematische Werke, Vol. 3. Braunschweig, Germany: F. Vieweg & Sohn. Edited by Robert, Fricke, Emmy, Noether, and Öystein, Ore.
Dehn, M. (1928). Moritz Pasch. Zum fünfundachtzigsten Geburtstag am 8. 11. 1928. Die Naturwissenschaften, 16(44), 813815.
Detlefsen, M. (2005). Formalism. In Shapiro, S., editor. Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic. Oxford: Oxford University Press, pp. 236317.
Dingler, H. (1915).Das Prinzip der logischen Unabhängigkeit in der Mathematik, zugleich als Einführung in die Axiomatik. München, Germany: Theodor Ackermann.
DiSalle, R. (1993). Helmholtz’s empiricist philosophy of mathematics. In Cahan, D., editor. Hermann von Helmholtz and the Foundations of 19th Century Science. Los Angeles, CA: University of California Press, pp. 498521.
Du Bois-Reymond, P. (1882). Die allgemeine Funktionentheorie. Erster Teil. Metaphysik und Theorie der mathematischen Grundbegriffe: Größe, Grenze, Argument, und Funktion. Tübingen, Germany: H. Laupp. There is only this part.
Ehrlich, P. (2006). The rise of non-Archimedean mathematics and the roots of a misconception I: The emergence of non-Archimedean systems of magnitudes. Archive for History of Exact Sciences, 60, 1121.
Engel, F., & Dehn, M. (1931). Moritz Pasch. Zwei Gedenkreden, gehalten am 24. Januar 1931. Giessen, Germany: Töpelmann.
Engel, F., & Dehn, M. (1934). Moritz Pasch. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 44(5/8), 120142. Reprint, with changes and additions, of Engel & Dehn (1931).
Ewald, W. (1996). From Kant to Hilbert: A Source Book in Mathematics. Oxford, UK: Clarendon Press. Two volumes.
Frege, G. (1980). Philosophical and Mathematical Correspondence. University of Chicago Press. Edited by Gottfried, Gabriel, Hans, Hermes, Friedrich, Kambartel, Christian, Thiel, and Albert, Veraart.
Freudenthal, H. (1962). The main trends in the foundations of geometry in the 19th century. In Nagel, E., Suppes, P., and Tarski, A., editors. International Congress for Logic, Methodology and Philosophy of Science (1960: Stanford, Calif.), Logic, Methodology, and Philosophy of Science. Stanford, CA: Stanford University Press, pp. 613621.
Friedman, M. (1985). Kant’s theory of geometry. The Philosophical Review, 94(4), 455506.
Gabriel, G. (1978). Implizite Definitionen — Eine Verwechslungsgeschichte. Annals of Science, 35, 419423.
Gandon, S. (2005). Pasch entre Klein et Peano: empirisme et idéalité en géométrie. Dialogue, 44: 4, 653692.
Gandon, S. (2006). La réception des Vorlesungen über neuere Geometrie de Pasch par Peano. Revue d’historie des mathématiques, 12(2), 249290.
Gray, J. (2007). Worlds Out of Nothing. A Course in the History of Geometry in the 19th Century. London: Springer.
Greenberg, M. J. (1993). Euclidean and non-Euclidean Geometries: Development and History (third edition). New York, NY: W.H. Freeman.
Hallett, M., & Majer, U., editors (2004). David Hilbert’s Lectures on the Foundations of Geometry 1891–1902. Berlin, Germany: Springer.
Harré, R. (2003). Positivist thought in the nineteenth century. In Baldwin, T., editor. The Cambridge History of Philosophy 1870–1945. Cambridge: Cambridge University Press, pp. 1126.
Hartwich, Y. (2005). Eduard Study (1862–1930)—ein mathematischer Mephistopheles im geometrischen Gärtchen. PhD Thesis, Department of Mathematics, Johannes Gutenberg Universität, Mainz.
Hempel, C. G. (1945). Geometry and empirical science. American Mathematical Monthly, 52(1), 717.
Hersh, R. (1991). Mathematics has a front and a back. Synthese, 88(2), 127133.
Hilbert, D. (1899). Grundlagen der Geometrie. Leipzig, Germany: Teubner. Reprinted in Hallett & Majer (2004), pp. 436–525. English translation The Foundations of Geometry, Open Court, Chicago, 1902.
Hilbert, D. (1900). Mathematische Probleme. Vortrag gehalten auf dem Internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 253297. English translation ‘Mathematical Problems’, in Ewald (1996), pp. 1096–1105.
Hilbert, D. (1905). Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik. In Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 174185. English translation ‘On the Foundations of Logic and Arithmetic’, in van Heijenoort (1967), pp. 129–138.
Hilbert, D. (1922). Neubegründung der Mathematik. Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 1, 157177. English translation ‘The New Grounding of Mathematics. First Report’, in Ewald (1996), pp. 1115–1134.
Hilbert, D. (1923). Die logischen Grundlagen der Mathematik. Mathematische Annalen, 88, 151165. English translation ‘The Logical Foundations of Mathematics’, in Ewald (1996), pp. 1134–1148.
Hoppe, R. (1882). Review of Einleitung in die Differential- und Integralrechnung. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, 14, 197.2.
Jesseph, D. M. (1993). Berkeley’s Philosophy of Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press.
Kennedy, H. C. (1972). The origins of modern axiomatics: Pasch to Peano. American Mathematical Monthly, 79, 133136.
Kennedy, H. C., editor. (1973). Selected Works of Giuseppe Peano. Toronto, Canada: Toronto University Press.
Klein, F. (1871). Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. Mathematische Annalen, 4(4), 573625. Reprinted in Klein (1921), ch. 16, pp. 254–305.
Klein, F. (1873a). Ueber den allgemeinen Functionsbegriff und dessen Darstellung durch eine willkürliche Curve. Sitzungsberichte der physikalisch-medicinischen Societät zu Erlangen. December 8. Reprinted in Klein (1883) and in Klein (1922), ch. 45, pp. 214–224.
Klein, F. (1873b). Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Zweiter Aufsatz). Mathematische Annalen, 6, 112145. Reprinted in Klein (1921), ch. 18, pp. 311–343.
Klein, F. (1883). Ueber den allgemeinen Functionsbegriff und dessen Darstellung durch eine willkürliche Curve. Mathematische Annalen, 22(2), 249259. Reprint of Klein (1873a). Reprinted in Klein (1922), ch. 45, pp. 214–224.
Klein, F. (1890). Zur Nicht-Euklidischen Geometrie. Mathematische Annalen, 37(4), 544572. Reprinted in Klein (1921), ch. 21, pp. 353–383. Discussion of the lectures held in the Winter Semester 1889/90, published as Klein (1892).
Klein, F. (1892). Nicht-Euklidische Geometrie. Göttingen, Germany. Litographed notes (autograph) worked out by Friedrich Schilling of lectures held in Winter Semester 1889/90 in Göttingen.
Klein, F. (1895). Über Arithmetisierung der Mathematik. Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (2). Reprinted in Klein (1922), ch. 42, pp. 232–240.
Klein, F. (1921). Gesammelte mathematische Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer. Edited by Fricke, R. and Ostrowski, A., with additions by F. Klein.
Klein, F. (1922). Gesammelte mathematische Abhandlungen, Vol. 2. Berlin: Springer. Edited by Fricke, R. and Vermeil, H., with additions by F. Klein.
Kline, M. (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York, NY: Oxford University Press.
Majer, U. (2004). Husserl and Hilbert on geometry. In Feist, R., editor. Husserl and the Sciences: Selected Perspectives. Ottawa, Canada: University of Ottawa Press, pp. 101120.
Marchisotto, E., & Smith, J. T. (2007). The Legacy of Mario Pieri in Geometry and Arithmetic. Boston, MA: Birkhäuser.
Mill, J. S. (1851). A System of Logic, Ratiocinative and Inductive: Being a Connected View of the Principles of Evidence, and the Methods of Scientific Investigation (third edition). London: J.W. Parker.
Nagel, E. (1939). The formation of modern conceptions of formal logic in the development of geometry. Osiris, 7, 142223.
Nagel, E. (1961). The Structure of Science. Problems in the Logic of Scientific Explanation. New York, NY: Harcourt, Brace and World.
Pasch, M. (1882a). Vorlesungen über Neuere Geometrie. Leipzig, Germany: B.G. Teubner.
Pasch, M. (1882b). Einleitung in die Differential- und Integralrechnung. Leipzig, Germany: B.G. Teubner.
Pasch, M. (1887a). Ueber die projective Geometrie und die analytische Darstellung der geometrischen Gebilde. Mathematische Annalen, 30, 127131.
Pasch, M. (1887b). Ueber einige Punkte der Functionentheorie. Mathematische Annalen, 30, 132154.
Pasch, M. (1894). Ueber den Bildungswert der Mathematik. Giessen, Germany: Grossh. Hof- und Universitäts-Druckerei von Münchow.
Pasch, M. (1909). Grundlagen der Analysis. Leipzig, Germany: B.G. Teubner.
Pasch, M. (1912). Vorlesungen über Neuere Geometrie (second edition, with additions). Leipzig, Germany, B.G. Teubner.
Pasch, M. (1914). Veränderliche und Funktion. Leipzig, Germany: B.G. Teubner.
Pasch, M. (1916). Hugo Dingler. Das Prinzip der logischen Unabhängigkeit in der Mathematik (1915). Archiv der Mathematik und Physik, 24, 275277.
Pasch, M. (1917). Grundfragen der Geometrie. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 147, 184190.
Pasch, M. (1918a). Die Forderung der Entscheidbarkeit. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 27, 228232.
Pasch, M. (1918b). Über die Erweiterung des Grenzbegriffs. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 27, 232234.
Pasch, M. (1919). Mathematik und Logik. Vier Abhandlungen. Leipzig, Germany: W. Engelmann. Contains: I. Über innere Folgerichtigkeit (1915). II. Über den Bildungswert der Mathematik (1894). III. Forschen und Darstellen (Mai 1916). IV. Der Aufbau der Geometrie (November 1917).
Pasch, M. (1920). Die Begründung der Mathematik und die implizite Definition. Ein Zusammenhang mit der Lehre vom Als-Ob. Annalen der Philosophie, 2(2), 144162.
Pasch, M. (1922). Physikalische und mathematische Geometrie. Annalen der Philosophie, 3(3), 362374.
Pasch, M. (1924a). Mathematik und Logik. Vier Abhandlungen (second edition). Leipzig, Germany: Wilh. Engelmann.
Pasch, M. (1924b). Betrachtungen zur Begründung der Mathematik. Mathematische Zeitschrift, 20, 231240.
Pasch, M. (1925). Begriffsbildung und Beweis in der Mathematik. Annalen der Philosophie, 4, 348367, 417–426. Reprinted in Pasch (1927).
Pasch, M. (1926a). Vorlesungen über Neuere Geometrie (second, revised edition). Berlin: Springer. With an appendix Die Grundlegung der Geometrie in historischer Entwicklung by Max Dehn.
Pasch, M. (1926b). Betrachtungen zur Begründung der Mathematik (Zweite Abhandlung). Mathematische Zeitschrift, 25, 166171.
Pasch, M. (1926c). Die axiomatische Methode in der neueren Mathematik. Annalen der Philosophie, 5, 241274. Reprinted in Pasch (1927).
Pasch, M. (1927). Mathematik am Ursprung. Gesammelte Abhandlungen über Grundfragen der Mathematik. Leipzig, Germany: Felix Meiner.
Pasch, M. (1930a). Der Ursprung des Zahlbegriffs. Berlin: Springer.
Pasch, M. (1930b). Eine Selbstschilderung. Gießen, Germany: von Münchowsche Universitäts-Druckerei. Reprinted in Pasch (1980).
Pasch, M. (1980). Eine Selbstschilderung. Mitteilungen des mathematischen Seminars Giessen, 146, 119.
Peano, G. (1889a). Arithmetices Principia, nova methodo exposita. Torino, Italy: Bocca. English translation The Principles of Arithmetic, Presented by a New Method in Kennedy (1973), pp. 101–134. Partial translation in van Heijenoort (1967), pp. 81–97.
Peano, G. (1889b). I principi di geometria logicamente esposti. Torino, Italy: Fratelli Bocca. Reprinted in Opere scelte, Vol. 2., Roma, Italy: Edizioni Cremonese, pp. 56–91.
Pickert, G. (1980). Habilitation und Vorlesungstätigkeit von Moritz Pasch. Mitteilungen des mathematischen Seminars Giessen, 146, 4657.
Pickert, G. (1982). Moritz Pasch, 1843–1930, Mathematiker. In Gundel, H. G., Morav, P., and Press, V., editors. Gießener Gelehrte in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts, Volume 35 of Lebensbilder aus Hessen, pp. 704713. Veröffentlichungen der Historischen Kommission für Hessen. Reprinted in Tamari (2007, pp. 262–272).
Pressman, H. M. (1997). Hume on geometry and infinite divisibility in the Treatise. Hume Studies, 23(2), 227244.
Reichenbach, H. (1938). Experience and Prediction. An Analysis of the Foundations and the Structure of Knowledge. Chicago, IL: University of Chicago Press.
Reichenbach, H. (1957). The Philosophy of Space and Time. New York, NY: Dover Publications Inc. English translation of Die Philosophie der Raum-Zeit Lehre, De Gruyter, Berlin, 1928.
Riemann, B. (1854). Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868). Reprinted in Riemann (1876), pp. 254–269. English translation in Ewald (1996), Vol. 2.
Riemann, B. (1876). Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass. Leipzig, Germany: Teubner. Edited by Weber, Heinrich, with the assistance of Richard Dedekind. Second edition 1892, with different pagination, reprinted by Dover, New York, 1953.
Rosanes, J. (1871). Ueber die neuesten Untersuchungen in Betreff unserer Anschauung vom Raume. Breslau: Maruschke & Berendt. Habilitation lecture held on April 30, 1870, in Breslau.
Russell, B. (1903). Principles of Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. Second edition 1938.
Shapiro, S. (1997). Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology. Oxford, UK: Oxford University Press.
Tamari, D. (2007). Moritz Pasch (1843–1930). Vater der modernen Axiomatik. Seine Zeit mit Klein und Hilbert und seine Nachwelt. Eine Richtigstellung. Aachen, Germany: Shaker Verlag.
Thaer, A., & Lony, G. (1915). Lehrbuch der Mathematik. Breslau: Ferdinand Hirt. Ausgabe B, Für Oberrealschulen, Realgymnasien und verwandte Anstalten. Bd. 1, Unterstufe.
Torretti, R. (1978). Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré. D. Reidel, Dordrecht, Holland.
van Heijenoort, J. (1967). From Frege to Gödel: A Sourcebook of Mathematical Logic. Cambridge, MA: Harvard University Press.
Veronese, G. (1894). Grundzüge der Geometrie von mehreren Dimensionen und mehreren Arten gradliniger Einheiten in elementarer Form entwickelt. Leipzig, Germany: B. G. Teubner. Translated by Adolf Schepp.
Volkert, K. T. (1986). Die Krise der Anschauung. Göttingen, Germany: Vandenhoeck & Ruprecht.
von Helmholtz, H. (1866). Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie. Verhandlungen des historisch-medicinischen Vereins zu Heidelberg, 4, 197202. Appendix printed 5, 31–32, 1869. Reprinted in Wissenschaftliche Abhandlungen, Vol. 2, pp. 618–639, J. A. Barth, Leipzig, 1883.
von Helmholtz, H. (1876). Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome. In Populäre wissenschaftliche Vorträge, Vol. 3. Braunschweig, Germany: Vieweg. First published 1870. Reprinted in Vorträge und Reden (fifth edition), Vol. 2, pp. 1–31. English translation ‘On the origin and significance of the axioms of geometry’, in von Helmholtz et al. (1977), pp. 1–38.
von Helmholtz, H., Hertz, P., Schlick, M., Lowe, M. F., Cohen, R. S., and Elkana, Y. (1977). Epistemological Writings: The Paul Hertz/Moritz Schlick Centenary Edition of 1921 With Notes and Commentary by the Editors. Dordrecht, Holland: D. Reidel Pub. Co.
Weber, H., & Wellstein, J. (1905). Encyklopädie der Elementar-Mathematik. Ein Handbuch für Lehrer und Studierende, Vol. 2: Elemente der Geometrie. Leipzig, Germany: B.G. Teubner.
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