2.1 Conventions générales

On fixe dans tout l’article un nombre premier p et une extension finie K de ${\mathbb {Q}}_p$ , dont on note $\mathcal {O}_K$ l’anneau des entiers, $\varpi $ une uniformisante et ${\mathbb {F}}={\mathbb {F}}_q$ le corps résiduel. On note $C=\hat {\overline {K}}$ le complété d’une clôture algébrique de K et $\breve {K}$ le complété de l’extension maximale non ramifiée de K. Soit $L\subset C$ une extension complète de K, susceptible de varier, d’anneau des entiers $\mathcal {O}_L$ , d’idéal maximal ${\mathfrak {m}}_L$ et de corps résiduel $\kappa $ .

Si S est un L-espace analytique, on note ${\mathbb {A}}^n_{ S}$ (resp. ${\mathbb {P}}_{ S}^n$ ) l’espace analytique affine (resp. projectif) sur S, de dimension relative n. Les espaces $\mathring {{\mathbb {B}}}^n_S$ et ${\mathbb {B}}^n_S$ seront les boules unitées ouverte et fermée.

Si X est un L-espace analytique et si $F\subset \mathcal {O}(X)$ est une famille finie de fonctions analytiques sur X et g une autre fonction analytique, on note

$$ \begin{align*}X\left(\frac{F}{g}\right)=\left\lbrace x\in X|\,\forall f\in F, |f(x)|\leq |g(x)|\right\rbrace, \,\, X\left(\frac{g}{F}\right)=\left\lbrace x\in X|\,\forall f\in F, |g(x)|\leq |f(x)|\right\rbrace.\end{align*} $$

De même, $X\left (\left (\frac {F}{g}\right )^{\pm 1}\right )$ ou $X\left (\frac {F}{g},\frac {g}{F}\right )$ désignera $\left \lbrace x\in X|\, \forall f\in F, |f(x)|= |g(x)|\right \rbrace $ . Pour $s\in |C^{*}|$ on note $X\left (\frac {F}{s}\right )=\left \lbrace x\in X|\, \forall f\in F, |f(x)|\leq s\right \rbrace $ (idem pour $X\left (\frac {s}{F}\right )$ ).

Les éléments de la base canonique de ${\mathbb {Z}}^n$ seront notés $(\delta _i)_i$ . Si $x=(x_1,\cdots ,x_n)$ , $\alpha \in {\mathbb {Z}}^n$ et $A\in \operatorname {\mathrm {M}}_{k,n} ({\mathbb {Z}})$ , nous adopterons la notation multi-indice (i.e., $x^\alpha =\prod \limits _{{\substack {i=1}}}^{n}{x_i^{\alpha _i}}$ et $x^A=(x^{A\delta _i})_{1\leq i\leq k}$ ).

2.2 Cohomologie étale et torseurs

Soit n premier à p, on identifie $\mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(X, \mu _n)$ et l’ensemble des classes d’isomorphisme de $\mu _n$ -torseurs sur X (i.e., des revêtements galoisiens $\pi : {\mathcal {T}} \to X$ de groupe de Galois $\mu _n$ ). On note $ [{\mathcal {T}}]$ la classe d’isomorphisme du torseur ${\mathcal {T}}$ , vue comme un élément de $\mathrm { H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(X, \mu _n)$ . Si ${\mathcal {T}}_1,{\mathcal {T}}_2$ sont des $\mu _n$ -torseurs sur X, alors ${\mathcal {T}}_1 \times _X {\mathcal {T}}_2 \to X$ est un revêtement de groupe de Galois $\mu _n^2$ et en notant $H\cong\mu_n$ l’antidiagonal, le quotient ${\mathcal {T}}_3={\mathcal {T}}_1\times _X {\mathcal {T}}_2 /H$ est un revêtement de X de groupe de Galois $\mu_n^2/H\cong\mu_n$ et $[{\mathcal {T}}_1]+[{\mathcal {T}}_2]= [{\mathcal {T}}_3]$ . Il est à remarquer que ${\mathcal {T}}_1\times _X {\mathcal {T}}_2$ est encore un revêtement de ${\mathcal {T}}_3$ de groupe de Galois $H\cong\mu_n$ .

Le morphisme de Kummer sera noté $\kappa : {\mathscr {O}}^{*} (X)\to \mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(X,\mu _n)$ . Le torseur $\kappa (u)$ associé à une fonction inversible u sur X sera noté $\pi : X(u^{1/n}) \to X$ . Si $U\subset X$ est un ouvert affinoïde, alors

$$\begin{align*}{\mathscr{O}}_{X(u^{1/n})} (\pi^{-1}(U))\simeq {\mathscr{O}}_X (U) [t]/(t^n -u).\end{align*}$$

2.3 Cohomologie de de Rham et torseurs

Si X est un affinoïde sur L, on notera $X^\dagger $ l’espace surconvergent associé. Si $X^\dagger $ est un espace surconvergent lisse, d’espace rigide analytique sous-jacent X, on note $\mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}(X)$ et $\mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}(X^\dagger )$ les hypercohomologies des complexes de de Rham $\Omega _{X/L}^\bullet $ et $\Omega _{X^\dagger /L}^\bullet $ . Par [Reference Grosse-Klönne19, Proposition 2.5], le théorème B de Kiehl [Reference Kiehl28, Satz 2.4.2] et la suite spectrale de Hodge-de Rham, ces cohomologies sont calculées directement à partir du complexe de de Rham correspondant, quand X est Stein.Footnote ¹ Les deux cohomologies coïncident si X est partiellement propre (par exemple Stein).

Soit n premier à p et $\pi :{\mathcal {T}} \to X$ un $\mu _n$ -torseur d’un espace analytique lisse X. On a une décomposition $\pi _* {\mathscr {O}}_{{\mathcal {T}}} = \bigoplus \limits _{{\substack {\chi \in \mu _n^{\lor }}}}^{}{{\mathscr {L}}_{\chi }}$ où ${\mathscr {L}}_\chi $ est l’espace propre associé au caractère $\chi $ pour l’action de $\mu _n$ (c’est un faisceau localement libre de rang 1). Le morphisme $\pi $ étant étale, on a

$$ \begin{align*}\pi_* \Omega_{{\mathcal{T}} /L}^q=\Omega_{X/L}^q\otimes \pi_* {\mathscr{O}}_{{\mathcal{T}}}=\bigoplus\limits_{{\substack{\chi \in \mu_n^{\lor}}}}^{}{\Omega_{X/L}^q\otimes{\mathscr{L}}_{\chi}}\end{align*} $$

et de même pour le complexe surconvergent. Les différentielles des complexes de de Rham étant $\mu _n$ -équivariantes, elles respectent ces décompositions en somme directe donnant lieu pour chaque $\chi $ à des complexes de cochaînes $\Omega _{X/L}^\bullet \otimes {\mathscr {L}}_{\chi }=:\Omega _{{\mathcal {T}}/L}^\bullet [\chi ]$ et $\Omega _{X^\dagger /L}^\bullet \otimes {\mathscr {L}}_{\chi }=:\Omega _{{\mathcal {T}}^\dagger /L}^\bullet [\chi ]$ dont les cohomologies seront notées $\mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}({\mathcal {T}})[\chi ]$ et $\mathrm {H}^{*}_{\mathrm { dR}}({\mathcal {T}}^\dagger )[\chi ]$ . C’est la partie isotypique associée à $\chi $ . En particulier,

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}}(X)=\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{T}})^{\mu_n}=\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{T}})[1]\text{ et } \mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}}(X^\dagger)=\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{ dR}}({\mathcal{T}}^\dagger)^{\mu_n}=\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{T}}^\dagger)[1]. \end{align*}$$

Soit ${\mathcal {T}}_1\to X$ , ${\mathcal {T}}_2\to Y$ deux $\mu _n$ -torseurs sur des L-espaces lisses X et Y. On obtient ${\mathcal {T}}_1\times _L Y$ , $X\times _L {\mathcal {T}}_2$ deux revêtements sur $X\times _L Y$ et on construit (voir plus haut pour la définition de H)

$$\begin{align*}{\mathcal{T}}_3=(({\mathcal{T}}_1\times_L Y)\times_{X\times Y} (X\times_L {\mathcal{T}}_2)) /H=({\mathcal{T}}_1\times_L {\mathcal{T}}_2)/H. \end{align*}$$

C’est un revêtement de $X\times _L Y$ dont la classe s’identifie à $[{\mathcal {T}}_1\times _L Y]+[X\times {\mathcal {T}}_2]$ . Comme ${\mathcal {T}}_1\times _L {\mathcal {T}}_2$ est un revêtement de ${\mathcal {T}}_3$ étale de groupe de Galois H, on a

Proposition 2.1. On a des isomorphismes naturels

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{T}}_3)=\mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{T}}_1\times_L {\mathcal{T}}_2)^H=\bigoplus\limits_{{\substack{ q_1 +q_2=q}}}^{}{\bigoplus\limits_{{\substack{\chi\in \mu_n^\lor }}}^{}{\mathrm{H}^{q_1}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}_1)[ \chi]\otimes \mathrm{H}^{q_2}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}_2)[ \chi] }} , \end{align*}$$

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{T}}_3)[\chi]=\bigoplus\limits_{{\substack{ q_1 +q_2=q}}}^{}{\mathrm{ H}^{q_1}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}_1)[ \chi]\otimes \mathrm{H}^{q_2}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}_2)[ \chi] } \end{align*}$$

idem pour la cohomologie de de Rham surconvergente.

2.4 Cohomologie rigide

La cohomologie rigide d’un schéma algébrique Y sur le corps résiduel $\kappa $ de L sera notée $\mathrm { H}^{*}_{\mathrm {rig}} (Y/L)$ . On rappelle la dualité de Poincaré :

Le théorème de comparaison suivant nous sera très utile:

Théorème 2.3. Soit ${\mathcal {X}}$ un schéma formel lisse sur $\operatorname {\mathrm {Spf}} ({\mathcal {O}}_L)$ , de fibre spéciale ${\mathcal {X}}_s$ et de fibre générique ${\mathcal {X}}_\eta $ , on a un isomorphisme naturel

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{X}}_\eta^\dagger)\cong \mathrm{H}^{*}_{\mathrm{rig}}({\mathcal{X}}_s).\end{align*}$$

3.1 L’immeuble de Bruhat-Tits

Notons ${\mathcal {B}}{\mathcal {T}}$ l’immeuble de Bruhat-Tits associé au groupe $\operatorname {\mathrm {PGL}}_{d+1}(K)$ . Le $0$ -squelette ${\mathcal {B}}{\mathcal {T}}_0$ de l’immeuble est l’ensemble des réseaux de $K^{d+1}$ à homothétie près (i.e., ${\mathcal {B}}{\mathcal {T}}_0$ s’identifie à $G/K^{*}\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}({\mathcal {O}}_K)$ ). Un $(k+1)$ -uplet de sommets $\sigma =\{s_0,\cdots , s_k\}\subset {\mathcal {B}}{\mathcal {T}}_{0} $ est un k-simplexe de ${\mathcal {B}}{\mathcal {T}}_k$ si et seulement si, quitte à permuter les sommets $s_i$ , on peut trouver pour tout i des réseaux $M_i$ avec $s_i=[M_i]$ tels que

$$\begin{align*}M_{-1}=\varpi M_k\subsetneq M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_k. \end{align*}$$

En posant

$$ \begin{align*}\overline{M}_i=M_i/ M_{-1},\end{align*} $$

on obtient un drapeau $0\subsetneq \overline {M}_0\subsetneq \overline {M}_1\subsetneq \cdots \subsetneq \overline {M}_k\cong {\mathbb {F}}^{d+1}$ . On note $d_i=\mathrm {dim}_{{\mathbb {F}}} (\overline {M}_i)-1$ et $e_i=d_{i}-d_{i-1}.$ Nous dirons que le simplexe $\sigma $ est de type $(e_0, e_1,\cdots , e_k)$ .

Considérons une base $(\overline {f}_0,\cdots , \overline {f}_d)$ adaptée au drapeau (i.e., telle que $\overline {M}_i=\left \langle \overline {f}_0,\cdots , \overline {f}_{d_i}\right \rangle $ pour tout i). Pour tout choix de relevés $(f_0,\cdots ,f_d)$ de $(\overline {f}_0,\cdots ,\overline {f}_d)$ dans $M_0$ , on a

$$ \begin{align*}M_i=\left\langle f_0,\cdots, f_{d_i }, \varpi f_{d_i+1},\cdots, \varpi f_d \right\rangle=N_0\oplus \cdots \oplus N_i\oplus \varpi (N_{i+1} \oplus \cdots\oplus N_k),\end{align*} $$

où

$$ \begin{align*}N_i=\left\langle f_{d_{i-1}+1},\cdots, f_{d_{i}} \right\rangle\end{align*} $$

avec $d_{-1}=-1$ . Si $(f_0,\cdots ,f_d)$ est la base canonique de $K^{d+1}$ , nous dirons que $ \sigma $ est le simplexe standard de type $(e_0, e_1,\cdots , e_k)$ .

La réalisation topologique de l’immeuble sera notée $|{\mathcal {B}}{\mathcal {T}}|$ . Nous confondrons les simplexes avec leur réalisation topologique de telle manière que $|{\mathcal {B}}{\mathcal {T}}|=\bigcup \limits _{{\substack {\sigma \in {\mathcal {B}}{\mathcal {T}}}}}^{}{\sigma }$ . Les différents k-simplexes, vus comme des compacts de la réalisation topologique, seront appelés faces. L’intérieur d’une face $\sigma $ sera noté $\mathring {\sigma }=\sigma \backslash \bigcup \limits _{{\substack {\sigma '\subsetneq \sigma }}}^{}{\sigma '}$ et sera appelé cellule.

3.2 L’espace des hyperplans K-rationnels

On note ${\mathcal {H}}$ l’ensemble des hyperplans K-rationnels dans ${\mathbb {P}}^d$ . Si $a=(a_0,\dots , a_d)\in C^{d+1}\backslash \{0\}$ , $l_a$ désignera l’application

$$\begin{align*}b=(b_0,\dots, b_d)\in C^{d+1} \mapsto \left\langle a,b\right\rangle := \sum\limits_{{\substack{0\leq i\leq d}}}^{}{a_i b_i}.\end{align*}$$

Ainsi ${\mathcal {H}}$ s’identifie à $\{\ker (l_a),\; a\in K^{d+1}\backslash \{0\} \}$ et à ${\mathbb {P}}^d (K)$ .

Le vecteur $a=(a_i)_{i}\in C^{d+1}$ est dit unimodulaire si $|a|_{\infty }(:=\max (|a_i|))=1$ . L’application $a\mapsto H_a:=\ker (l_a)$ induit une bijection entre le quotient de l’ensemble des vecteurs unimodulaires $a\in K^{d+1}$ par l’action évidente de ${\mathcal {O}}_K^{*}$ et l’ensemble $\mathcal {H}$ .

Pour $a\in K^{d+1}$ unimodulaire et $n\geq 1$ , on considère l’application $l_a^{(n)} $

$$\begin{align*}b\in ({\mathcal{O}}_{C}/\varpi^n)^{d+1}\mapsto \left\langle a,b\right\rangle\in {\mathcal{O}}_{C}/\varpi^n\end{align*}$$

et on note

$$ \begin{align*}{\mathcal{H}}_n =\{\ker (l_a^{(n)}),\; a\in K^{d+1}\backslash \{0\} \; \mathrm{unimodulaire} \}\simeq{\mathbb{P}}^d({\mathcal{O}}_K/\varpi^n).\end{align*} $$

Alors ${\mathcal {H}} = \varprojlim _n {\mathcal {H}}_n$ et chaque ${\mathcal {H}}_n$ est fini.

3.3 Géométrie de l’espace symétrique de Drinfeld

Nous allons maintenant décrire l’espace symétrique de Drinfeld ${\mathbb {H}}_K^d$ . Il s’agit de l’espace analytique sur K dont les C-points sont

$$\begin{align*}{\mathbb{H}}_K^d (C)={\mathbb{P}}^d (C)\backslash \bigcup\limits_{{\substack{H\in {\mathcal{H}}}}}^{}{H}.\end{align*}$$

On dispose d’une application G-équivariante

$$\begin{align*}\tau : {\mathbb{H}}^d_K(C)\to \{\text{normes sur } K^{d+1}\}/\{\text{homotheties}\} \end{align*}$$

donnée par

$$ \begin{align*}\tau (z): v\mapsto |\sum\limits_{{\substack{i=0}}}^{d}{z_i v_i}|\end{align*} $$

si $z=[z_0,\cdots , z_d] \in {\mathbb {H}}_K^d (C)$ . L’image $\tau (z)$ ne dépend pas du représentant de z car les normes sont vues à homothétie près. Le fait de prendre le complémentaire des hyperplans K-rationnels assure que $\tau (z)$ est séparée et donc une norme sur $K^{d+1}$ . D’après un résultat classique de Iwahori-Goldmann [Reference Goldman and Iwahori18], l’espace des normes sur $K^{d+1}$ à homothétie près s’identifie bijectivement (et de manière G-équivariante) à l’espace topologique $|{\mathcal {B}}{\mathcal {T}}|$ , ce qui permet de voir $\tau $ comme une application

$$ \begin{align*}\tau: {\mathbb{H}}_K^d(C)\to |{\mathcal{B}}{\mathcal{T}}|.\end{align*} $$

Nous renvoyons à [Reference Boutot and Carayol4, §I.4] quand $d=1$ ou [Reference Wang32, §2.1] pour la justification des faits suivants. Soit $\sigma \in {\mathcal {B}}{\mathcal {T}}_{k}$ un simplexe de type $(e_0, e_1,\cdots , e_k)$ et posons

$$ \begin{align*}{\mathbb{H}}_{K,\sigma}^d:=\tau^{-1} (\sigma), \,\, {\mathbb{H}}_{K,\mathring{\sigma}}^d:=\tau^{-1} (\mathring{\sigma}).\end{align*} $$

L’ouvert ${\mathbb {H}}_{K,\sigma }^d$ est un affinoïde, admettant un modèle entier ${\mathbb {H}}_{{\mathcal {O}}_K,\sigma }^d =\operatorname {\mathrm {Spf}} (\hat {A}_\sigma )$ où $\hat {A}_\sigma $ est le complété p-adique de ${\mathcal {O}}_K [X_0,\cdots , X_d,\frac {1}{P_\sigma }]/(\prod \limits _{{\substack {i=0}}}^{k}{X_{d_{i}}}-\varpi ),$ pour un certain polynôme $P_{\sigma }\in {\mathcal {O}}_K[X_0,...,X_d]$ qui est décrit dans [Reference Wang32, §2.1] ou dans [Reference Junger26, §1.5]. Tous ces modèles locaux ${\mathbb {H}}_{{\mathcal {O}}_K,{\sigma }}^d$ se recollent pour donner lieu à un modèle global ${\mathbb {H}}_{{\mathcal {O}}_K}^d=\bigcup _\sigma {\mathbb {H}}_{{\mathcal {O}}_K,{\sigma }}^d$ de ${\mathbb {H}}_{K}^d$ . La fibre spéciale ${\mathbb {H}}_{\mathbb {F}}^{d}$ de ce modèle admet une décomposition similaire $\mathrm{idem} =\bigcup _\sigma {\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},{\sigma }}^d$ qui vérifie ${\mathbb {H}}_{K,{\sigma }}^d=]{\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},{\sigma }}^d[$ . Nous ne nous servirons ici que du cas où $\sigma =s$ est un sommet. L’algèbre $\hat {A}_s$ est alors le complété p-adique de

(1) $$ \begin{align} {\mathcal{O}}_K [X_0,\cdots, X_{d-1},\frac{1}{\prod_{a=(a_i)_i\in {\mathbb{F}}^{d+1}\backslash \{0\}} (\tilde{a}_0 X_0+\cdots \tilde{a}_{d-1}X_{d-1}+ \tilde{a}_d)}] \end{align} $$

avec $\tilde {a}=(\tilde {a}_i)_i $ un relevé de a dans ${\mathcal {O}}_K$ . Pour ${\mathbb {H}}_{K,\mathring {\sigma }}^d$ , il s’agit de l’ouvert (dans une base adaptée)

$$\begin{align*}\{z\in{\mathbb{P}}^d_K : \forall 0\le i\le k, \forall a,b\in M_i\backslash M_{i-1},\forall c\in M_{i-1},|\left\langle c,z\right\rangle|<|\left\langle a,z\right\rangle|=|\left\langle b,z\right\rangle|\}\end{align*}$$

avec $M_{-1}=\varpi M_k$ . Considérons les ouverts

$$\begin{align*}C_r&= \{x=(x_1,\cdots, x_r)\in {\mathbb{B}}^r_K|\, \forall a\in {\mathcal{O}}^{r+1}_K\backslash \varpi {\mathcal{O}}^{r+1}_K, \ 1=|\left\langle (1, x),a \right\rangle| \},\\A_k&=\{y=(y_0,\cdots, y_{k-1})\in {\mathbb{B}}^k_K|\, 1>|y_{k-1}|>\cdots>|y_0|>|\varpi|\}\end{align*}$$

et les morphismes

$$ \begin{align*}{\mathbb{H}}_{K,\mathring{\sigma}}^d &\rightarrow C_{e_i -1}, \,\, [z_0,\cdots, z_d] \mapsto (\frac{ z_{d_{i-1}+1} }{ z_{d_{i-1}} },\frac{ z_{d_{i-1}+2} }{ z_{d_{i-1}} },\cdots, \frac{ z_{d_{i}-1} }{ z_{d_{i-1}} })\text{ et }\\{\mathbb{H}}_{K,\mathring{\sigma}}^d &\rightarrow A_k,\,\, [z_0,\cdots, z_d] \mapsto (\frac{ z_{d_{0}} }{ z_{d} },\frac{ z_{d_{1}} }{ z_{d} },\cdots, \frac{ z_{d_{k-1}} }{ z_{d} }).\end{align*} $$

Il est montré dans [Reference De Shalit10, 6.4] que les morphismes ci-dessus induisent un isomorphisme

$$\begin{align*}{\mathbb{H}}_{K,\mathring{\sigma}}^d \cong A_k \times \prod\limits_{{\substack{i=0}}}^{k}{C_{e_i-1}}\cong A_k \times C_\sigma.\end{align*}$$

De même, on peut définir des ouverts en fibre spéciale ${\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},\mathring {\sigma }}^d={\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},{\sigma }}^d\setminus \bigcup _{\sigma '\subsetneq \sigma }{\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},{\sigma '}}^d$ telle que ${\mathbb {H}}_{K,\mathring {\sigma }}^d=]{\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},\mathring {\sigma }}^d[$ .

Remarque 3.1. Nous avons introduit précédemment une décomposition en somme adapté au simplexe:

$$\begin{align*}M_k =N_0\oplus \cdots\oplus N_k\end{align*}$$

avec $N_i=\left \langle f_{d_{i-1}+1},\cdots , f_{d_{i}} \right \rangle $ . En particulier, un vecteur unimodulaire a est dans $M_i$ si et seulement si la projection sur $ N_{i+1} \oplus \cdots \oplus N_k$ est divisible par $\varpi $ . Ainsi tout vecteur a de $M_i$ peut s’écrire sous la forme $a=a_1+a_2$ avec $a_1\in N_i$ , $a_2\in M_{i-1}$ et on a d’après la description des morphismes ci-dessus:

$$\begin{align*}\frac{l_{a_1}}{z_{d_i}}\in {\mathscr{O}}^{*}(C_{e_i-1}).\end{align*}$$

3.4 Géométrie de la fibre spéciale de ${\mathbb {H}}_{{\mathcal {O}}_K}^d$

Si s est un sommet de ${\mathcal {B}}{\mathcal {T}}$ on note

$$ \begin{align*}\operatorname{\mathrm{Ost}}(s)=\bigcup\limits_{{\substack{\sigma\ni s }}}^{}{\mathring{\sigma}},\,\, \operatorname{\mathrm{Fst}}(s)= \bigcup\limits_{{\substack{\sigma\ni s }}}^{}{\sigma}\end{align*} $$

l’étoile ouverte, respectivement fermée de s. Pour un simplexe $\sigma $ , on note

$$ \begin{align*}\operatorname{\mathrm{Ost}}(\sigma)=\bigcap\limits_{{\substack{s\in \sigma}}}^{}{\operatorname{\mathrm{Ost}}(s)},\,\, \operatorname{\mathrm{Fst}}(\sigma)=\bigcap\limits_{{\substack{s\in \sigma}}}^{}{\operatorname{\mathrm{Fst}}(s)}.\end{align*} $$

En prenant des intersections, des unions et des complémentaires d’espaces de la forme ${\mathbb {H}}_{K,{\sigma }}^d$ , ${\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},{\sigma }}^d$ , on peut encore définir des espaces ${\mathbb {H}}_{K,\operatorname {\mathrm {Ost}}(\sigma )}^d$ , ${\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},\operatorname {\mathrm {Ost}}(\sigma )}^d$ (idem pour $\operatorname {\mathrm {Fst}}$ ) tels que ${\mathbb {H}}_{K,\operatorname {\mathrm {Ost}}(\sigma )}^d=]{\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},\operatorname {\mathrm {Ost}}(\sigma )}^d[$ .

Les composantes irréductibles de la fibre spéciale de ${\mathbb {H}}_{{\mathcal {O}}_K}^d$ sont les fermés ${\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},\operatorname {\mathrm {Ost}}(s)}^d$ et sont donc indexées par l’ensemble des sommets de ${\mathcal {B}}{\mathcal {T}}_0$ . On obtient ainsi un recouvrement admissible $({\mathbb {H}}_{K,\operatorname {\mathrm {Ost}}(s)}^d)_{s\in {\mathcal {B}}{\mathcal {T}}_0}=(]{\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},\operatorname {\mathrm {Ost}}(s)}^d[)_{s\in {\mathcal {B}}{\mathcal {T}}_0}$ de ${\mathbb {H}}_K^d$ dont les intersections d’ouverts sont de la forme ${\mathbb {H}}_{K,\operatorname {\mathrm {Ost}}(\sigma )}^d$ pour $\sigma \subset {\mathcal {B}}{\mathcal {T}}$ un simplexe. En fibre spéciale, le lieu lisse de cette intersection est l’ouvert

$$\begin{align*}{\mathbb{H}}_{{\mathbb{F}},\operatorname{\mathrm{Ost}}(\sigma)}^d\backslash \bigcup\limits_{{\substack{s\notin \sigma}}}^{}{{\mathbb{H}}_{{\mathbb{F}},\operatorname{\mathrm{Ost}}(s)}^d}={\mathbb{H}}_{{\mathbb{F}},\mathring\sigma}^d \end{align*}$$

car $\mathring {\sigma }=\sigma \backslash \bigcup \limits _{{\substack {\sigma '\subsetneq \sigma }}}^{}{\sigma '}$ . En particulier, le lieu lisse d’une composante irréductible est

$$\begin{align*}{\mathbb{H}}_{{\mathbb{F}},s}^d\cong{\mathbb{P}}_{ {\mathbb{F}}}^d\backslash \bigcup\limits_{{\substack{H}}}^{}{H}\end{align*}$$

où H parcourt l’ensemble des hyperplans ${\mathbb {F}}$ -rationnels (cf (1)). De plus, ${\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},\operatorname {\mathrm {Ost}}(s)}^d$ est une compactification qui s’obtient comme suit ([Reference Genestier17, sous-section III.1.] ou [Reference Wang33, 4.1.2]). Posons $Y_0 ={\mathbb {P}}_{{\mathbb {F}}}^d$ et construisons par éclatements successifs une suite d’espaces

$$\begin{align*}Y_d\to Y_{d-1}\to \cdots \to Y_0.\end{align*}$$

Supposons que l’on ait préalablement construit $Y_0 , \cdots , Y_i$ . On a des morphismes $p_i :Y_i \to Y_{i-1}$ et $\tilde {p}_i =p_i\circ \cdots \circ p_1 : Y_i \to Y_{0}$ . On pose $Z_i$ le transformé strict par $\tilde {p}_i$ de l’union des espaces de codimension $i + 1$ dans $Y_0$ . On définit $Y_{i+1}$ comme l’éclaté de $Y_i$ suivant $Z_i$ . Alors, on a $Y_d\cong {\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},\operatorname {\mathrm {Ost}}(s)}^d$ .

3.5 Interprétation modulaire de l’espace de Drinfeld

Pour construire le premier revêtement de l’espace de Drinfeld, nous avons besoin d’une interprétation modulaire de cet espace, ce qui demande quelques notions et notations.

Rappelons que D est une K-algèbre centrale à division, de dimension $(d+1)^2$ et d’invariant $\frac {1}{d+1}$ et considérons ${\mathcal {O}}_{(d+1)}$ l’anneau des entiers d’une extension non-ramifiée de K, de degré $d+1$ contenue dans D. Si A est une ${\mathcal {O}}_K$ -algèbre, un ${\mathcal {O}}_D$ -module formel sur $\mathrm {Spec}(A)$ (ou, plus simplement, sur A) est un groupe formel X sur A muni d’une action de ${\mathcal {O}}_D$ , notée $\iota : {\mathcal {O}}_D \to \mathrm {End}(X)$ , qui est compatible avec l’action naturelle de ${\mathcal {O}}_K$ sur l’espace tangent $\mathrm {Lie}(F)$ (i.e., pour a dans ${\mathcal {O}}_K$ $d\iota (a)$ est la multiplication par a dans $\mathrm {Lie}(F)$ ). Le ${\mathcal {O}}_D$ -module formel X est dit spécial si $\mathrm {Lie}(X)$ est un ${\mathcal {O}}_{(d+1)}\otimes _{{\mathcal {O}}_K} A$ -module localement libre de rang $1$ . On a le résultat classique suivant:

On notera $\Phi _{\overline {{\mathbb {F}}}}$ l’unique (à isogénie près) ${\mathcal {O}}_D$ -module formel spécial sur $\overline {{\mathbb {F}}}$ de dimension $d+1$ et hauteur $(d+1)^2$ (l’entier d étant fixé par la suite, nous ne le faisons pas apparaître dans la notation $\Phi _{\overline {{\mathbb {F}}}}$ ).

Soit $\mathrm {Nilp}_{{\mathcal {O}}_{\breve {K}}}$ la catégorie des ${\mathcal {O}}_{\breve {K}}$ -algèbres sur lesquelles $\varpi $ est nilpotent. Considérons le foncteur ${\mathcal {G}}^{Dr} : \mathrm {Nilp}_{{\mathcal {O}}_{\breve {K}}} \to \mathrm {Ens}$ envoyant $A\in \mathrm {Nilp}_{{\mathcal {O}}_{\breve {K}}}$ sur l’ensemble des classes d’isomorphisme de triplets $(\psi , X, \rho )$ avec:

• • $\psi : \overline {{\mathbb {F}}} \to A/ \varpi A$ est un ${\mathbb {F}}$ -morphisme,

• • X est un ${\mathcal {O}}_D$ -module formel spécial de dimension $d+1$ et de hauteur $(d+1)^2$ sur A,

• • $\rho : \Phi _{\overline {{\mathbb {F}}}} \otimes _{\overline {{\mathbb {F}}}, \psi } A/ \varpi A \to X_{A/ \varpi A}$ est une quasi-isogénie de hauteur zéro.

Le théorème fondamental suivant, à la base de toute la théorie, est dû à Drinfeld:

Remarque 3.4. On définit le foncteur $\tilde {{\mathcal {G}}}^{Dr}$ de la même manière que ${\mathcal {G}}^{Dr}$ mais en ne fixant plus la hauteur de la quasi-isogénie $\rho $ . Alors $\tilde {{\mathcal {G}}}^{Dr}$ est, lui aussi, représentable par un schéma formel $\widehat {{\mathcal {M}}}^0_{Dr}$ sur $ \operatorname {\mathrm {Spf}} ({\mathcal {O}}_K)$ , qui se décompose

$$ \begin{align*}\tilde{{\mathcal{G}}}^{Dr}= \coprod_{h \in {\mathbb{Z}}} {\mathcal{G}}^{Dr,(h)},\end{align*} $$

où ${\mathcal {G}}^{Dr,(h)}$ est défini comme précédemment en imposant que la quasi-isogénie $\rho $ soit de hauteur $(d+1)h$ . Chacun des ${\mathcal {G}}^{Dr,(h)}$ est alors isomorphe (non canoniquement) au foncteur ${\mathcal {G}}^{Dr}$ , ce qui induit un isomorphisme non-canonique

$$ \begin{align*}\widehat{{\mathcal{M}}}^0_{Dr}\cong {\mathbb{H}}^d_{{\mathcal{O}}_{\breve{K}}}\times {\mathbb{Z}}.\end{align*} $$

3.6 La tour de Drinfeld

On note $\mathfrak {X}$ le ${\mathcal {O}}_D$ -module formel spécial universel sur ${\mathbb {H}}_{{\mathcal {O}}_{\breve {K}}}^d$ (cf. th. 3.3) et $\tilde {{\mathfrak {X}}}$ le module formel spécial universel déduit de la représentabilité de $\tilde {{\mathcal {G}}}^{Dr}$ . Pour tout entier $n\geq 1$ , l’action de $\Pi _D^n$ induit une isogénie de ${\mathfrak {X}}$ et de $\tilde {{\mathfrak {X}}}$ . Le schéma en groupes $\mathfrak {X}[ \Pi _D^n] = \ker ( \mathfrak {X} \xrightarrow {\Pi _D^n} \mathfrak {X})$ (resp. $\tilde {{\mathfrak {X}}}[\Pi _D^n]$ ) est fini plat, de rang $q^{n(d+1)}$ sur ${\mathbb {H}}_{{\mathcal {O}}_{\breve {K}}}^d$ (resp. $\widehat {{\mathcal {M}}}^0_{Dr}$ ).

On note $\Sigma ^0={\mathbb {H}}^d_{\breve {K}}$ et ${\mathcal {M}}^0_{Dr}=(\widehat {{\mathcal {M}}}^0_{Dr})^{\mathrm { rig}}\cong {\mathbb {H}}^d_{\breve {K}}\times {\mathbb {Z}}$ . Pour $n\geq 1$ on définit

$$\begin{align*}\Sigma^n := (\mathfrak{X}[\Pi_D^n] \backslash \mathfrak{X}[ \Pi_D^{n-1} ])^{\text{rig}},\ {\mathcal{M}}^n_{Dr}:= (\tilde{{\mathfrak{X}}}[\Pi^n_D]\backslash\tilde{{\mathfrak{X}}}[\Pi_D^{n-1}])^{\mathrm{rig}}.\end{align*}$$

Les morphismes d’oubli $\Sigma ^n \to \Sigma ^0$ et ${\mathcal {M}}^n_{Dr}\to {\mathcal {M}}^0_{Dr}$ définissent des revêtements finis étales de groupe de GaloisFootnote ² ${\mathcal {O}}_D^{*}/(1+ \Pi ^n_D {\mathcal {O}}_D)$ . On a encore des isomorphismes non-canoniques ${\mathcal {M}}^n_{Dr}\cong \Sigma ^n\times {\mathbb {Z}}$ et les revêtements respectent ces décompositions.

Le groupe G s’identifie au groupe des quasi-isogénies de ${\mathfrak {X}}$ , il agit donc naturellement sur chaque niveau de la tour $({\mathcal {M}}^n_{Dr})_{n\geq 0}$ . De même, le groupe ${\mathcal {O}}_D^{*}$ permute les points de $\Pi ^n_D $ -torsion et ${\mathcal {O}}_D^{*}$ agit sur ${\mathcal {M}}^n_{Dr}$ à travers son quotient ${\mathcal {O}}_D^{*}/(1+ \Pi ^n_D {\mathcal {O}}_D)\simeq \mathrm { Gal}({\mathcal {M}}^n_{Dr}/{\mathcal {M}}^0_{Dr})$ . Ces deux actions commutent entre elle et les revêtements ${\mathcal {M}}^n_{Dr}\to {\mathcal {M}}^0_{Dr}$ sont G-équivariants. En revanche, le revêtement $\Sigma ^n\to \Sigma ^{0}$ est seulement $\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}({\mathcal {O}}_K)$ -équivariant.Footnote ³

3.7 Le premier revêtement

Nous nous intéressons désormais au cas $n=1$ . On peut encore définir une flèche de réduction $\nu $ de $\Sigma ^1$ vers l’immeuble de Bruhat-Tits ${\mathcal {B}}{\mathcal {T}}$ s’inscrivant dans le diagramme:

Pour tout sous-complexe simplicial $T \subseteq {\mathcal {B}} {\mathcal {T}}$ , on note

$$ \begin{align*}\Sigma^1_{T}= \nu^{-1}(T),\,\,\Sigma^1_{L,T}= \Sigma^1_{T}\otimes_{\breve{K}} L.\end{align*} $$

Le groupe de Galois de $\Sigma ^1$ est ${\mathbb {F}}_{q^{d+1}}^{*}$ . Ce groupe est cyclique et son cardinal

$$ \begin{align*}N=q^{d+1}-1\end{align*} $$

est premier à p. C’est un revêtement modérément ramifié et ces deux propriétés joueront un rôle central dans la suite. Le schéma $\mathfrak {X}[ \Pi _D]$ est, en particulier, un schéma en ${\mathbb {F}}_p$ -espaces vectoriels et la condition que $\mathfrak {X}$ soit spécial entraîne que $\mathfrak {X}[ \Pi _D]$ est un schéma de Raynaud. Pour énoncer les conséquences de cette observation, introduisons quelques notations.

Écrivons

$$ \begin{align*}\tilde{u}_1(z)=(-1)^{d}\prod_{a \in ({\mathbb{F}})^{d+1} \backslash \{ 0 \}}a_0z_0 +\cdots +a_d z_d\in {\mathscr{O}}({\mathbb{A}}^{d+1}_{{\mathbb{F}}}\backslash\{0\}).\end{align*} $$

Si on fixe $b\in ({\mathbb {F}})^{d+1} \backslash \{ 0 \}$ , on construit $u_1(z)=(b_0z_0 +\cdots +b_d z_d)^{-N}\tilde {u}_1$ une fonction inversible de ${\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},s}^d\cong {\mathbb {P}}_{ {\mathbb {F}}}^d\backslash \bigcup _{H\in {\mathcal {H}}_1} H$ pour s le sommet standard de ${\mathcal {B}}{\mathcal {T}}$ . Notons que la projection de $u_1$ dans ${\mathscr {O}}^{*}({\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},s}^d)/ ({\mathscr {O}}^{*}({\mathbb {H}}_{{\mathbb {F}},s}^d))^N$ ne dépends pas du choix de b et celui-ci n’aura donc pas d’incidence sur les résultats à suivre. Pour simplifier, nous pourrons prendre $b=(0,\cdots ,0,1)$ . On peut aussi relever $u_1$ en une fonction inversible dans ${\mathscr {O}}^{*}({\mathbb {H}}_{{\mathcal {O}}_{\breve {K}},s}^d)$ voire même dans ${\mathscr {O}}^{*}({\mathbb {H}}^d_{\breve {K},\operatorname {\mathrm {Ost}}(s)})$ que l’on notera encore $u_1$ .

En utilisant la classification des schémas de Raynaud, on a d’après [Reference Junger26, Théorème 4.9 et Remarque 4.10]Footnote ⁴ (cet énoncé étend les résultats de Teitelbaum [Reference Teitelbaum30, Théorème 5] pour $d=1$ et de Wang [Reference Wang32, Lemme 2.3.7.] pour d quelconque):

Théorème 3.5. Il existe $u\in {\mathscr {O}}^{*}({\mathbb {H}}^d_{\breve {K}})$ vérifiant $u\equiv u_1 \pmod {{\mathscr {O}}^{*}({\mathbb {H}}^d_{\breve {K},\operatorname {\mathrm {Ost}}(s)})^N}$ telle que

$$\begin{align*}\Sigma^1\cong {\mathbb{H}}^d_{\breve{K}}((\varpi u)^{\frac{1}{N}}).\end{align*}$$

En particulier, $\Sigma ^1_{\operatorname {\mathrm {Ost}}(s)}\cong {\mathbb {H}}^d_{\breve {K},\operatorname {\mathrm {Ost}}(s)}((\varpi u_1)^{\frac {1}{N}})$ .

Remarque 3.6. Notons que le résultat précédent ne décrit pas l’action de $\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}({\mathcal {O}}_K)\varpi ^{{\mathbb {Z}}}=\operatorname {\mathrm {Stab}}_{G}(\operatorname {\mathrm {Ost}}(s))$ . Toutefois, d’après [Reference Junger26, Remarque 4.12], toutes les actions possibles sur $\Sigma ^1$ commutant avec le revêtement se déduisent l’une de l’autre en tordant par un caractère

$$\begin{align*}\chi \in \operatorname{\mathrm{Hom}} (\operatorname{\mathrm{GL}}_{d+1}({\mathcal{O}}_K),\mu_N({\mathbb{H}}^d_{\breve{K},\operatorname{\mathrm{Ost}}(s)}))\cong{\mathbb{F}}^{*}.\end{align*}$$

Nous déterminerons l’action provenant de l’interprétation modulaire dans 6.3.

4.1 Variétés de Deligne-Lusztig

Considérons les groupes algébriques $G=\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1, \overline {{\mathbb {F}}}}$ et $G_0=\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1,{\mathbb {F}}}$ , ainsi que le morphisme de Frobenius F défini par $(a_{i,j})_{i,j} \mapsto (a_{i,j}^q)_{i,j}$ . Soit B le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures, T le tore des matrices diagonales, U le sous-groupe de B des matrices unipotentes.

On identifie le groupe de Weyl $W=N_G(T)/T$ à ${\mathfrak {S}}_{d+1}$ par le biais des matrices de permutation. Soit w la matrice de permutation associée au cycle $(0, 1, \dots , d) \in {\mathfrak {S}}_{d+1}$ . On définit

$$\begin{align*}Y(w)&:= \{ gU \in G/U |\,\, g^{-1}F(g) \in U w U \} \text{ et }\\X(w)&:= \{ gB \in G/B |\,\, g^{-1}F(g) \in B w B \}. \end{align*}$$

On a un diagramme commutatif:

Le groupe $\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}({\mathbb {F}})=G(\overline {{\mathbb {F}}})^{F=1}$ agit sur $Y(w)$ et $X(w)$ par multiplication à gauche. Le groupe fini commutatif

$$ \begin{align*}T^{wF}:= \{ t \in T |\,\, wF(t)w^{-1} =t \}\end{align*} $$

agit librement (par multiplication à droite) sur $Y(w)$ . La flèche $\pi $ est un revêtement fini étale qui induit un isomorphisme $\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}({\mathbb {F}})$ -équivariant

$$ \begin{align*}Y(w)/T^{wF} \xrightarrow{\sim} X(w).\end{align*} $$

On peut rendre ces objets plus explicites comme suit [Reference Deligne and Lusztig11, 2.2]. D’une part $T^{wF}$ s’identifie à ${\mathbb {F}}_{q^{d+1}}^{*}$ via l’application $x \in {\mathbb {F}}_{q^{d+1}}^{*} \mapsto \mathrm {diag}(x, Fx, \dots , F^dx)$ . D’autre part, considérons la variété

$$ \begin{align*}\Omega^d_{{\mathbb{F}}}:={\mathbb{P}}_{{\mathbb{F}}}^d \backslash \bigcup_H H,\end{align*} $$

où H parcourt l’ensemble des hyperplans ${\mathbb {F}}$ -rationnels. Elle possède une action naturelle de $\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}({\mathbb {F}})$ . On rappelle que l’on a aussi construit dans la section précédente deux applications $\tilde {u}_1(z)\in {\mathscr {O}}({\mathbb {A}}^{d+1}_{{\mathbb {F}}}\backslash \{0\})$ et $u_1(z)=\tilde {u}_1(z)/z_d^N\in {\mathscr {O}}^{*}(\Omega ^d_{{\mathbb {F}}})$ .

Proposition 4.1. On a des identifications $\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}({\mathbb {F}})$ -équivariantes entre $X(w)$ et $\Omega ^d_{{\mathbb {F}}}$ et entre $Y(w)$ et

$$ \begin{align*}\{z \in {\mathbb{A}}_{{\mathbb{F}}}^{d+1} \backslash \{ 0 \} :\tilde{u}_1(z)=1\}=:\operatorname{\mathrm{DL}}^d_{{\mathbb{F}}}.\end{align*} $$

De plus, $\pi $ est induite par la projection naturelle ${\mathbb {A}}_{{\mathbb {F}}}^{d+1} \backslash \{ 0 \}\to {\mathbb {P}}_{{\mathbb {F}}}^{d}$

Démonstration. On identifie $G/B$ à la variété des drapeaux complets de $(\overline {{\mathbb {F}}})^{d+1}$ . On vérifie facilement qu’un drapeau $\{ 0 \} \subsetneq D_0 \subsetneq \dots \subsetneq D_{d}=(\overline {{\mathbb {F}}})^{d+1} $ est dans $X(w)$ si et seulement si pour tout i on a

$$ \begin{align*}D_i=D_0 \oplus FD_0 \oplus \dots \oplus F^{i} D_0.\end{align*} $$

On obtient un plongement $X(w) \to {\mathbb {P}}_{{\mathbb {F}}}^{d}, (D_i) \mapsto D_0$ . La projection d’un point $z=(z_0, \dots , z_d) \in (\overline {{\mathbb {F}}})^{d+1} \backslash \{ 0 \}$ est dans l’image de ce morphisme si et seulement si $(z, Fz, \dots , F^d z)$ est une base de $(\overline {{\mathbb {F}}})^{d+1}$ , ce qui revient à dire que $\det ((z_i^{q^j})_{0\le i,j\le d})$ est non nul. Mais

$$\begin{align*}\det((z_i^{q^j})_{i,j})^{q-1}= \prod_{a \in ({\mathbb{F}})^{d+1} \backslash \{ 0 \}} l_{a}(z) =(-1)^{d}\tilde{u}_1(z).\end{align*}$$

On en déduit alors un isomorphisme

$$ \begin{align*}X(w) \xrightarrow{\sim} {\mathbb{P}}_{{\mathbb{F}}}^d \backslash \bigcup_{H \in {\mathbb{P}}^d({\mathbb{F}})} H= \Omega^d_{{\mathbb{F}}}. \end{align*} $$

La variété $ G/U$ classifie les paires $((D_i)_i, (e_i)_i)$ avec $(D_i)_i$ un drapeau et $e_i\in D_i/ D_{i-1}$ . Une paire $((D_i)_i, (e_i)_i)$ est dans $Y(w)$ si et seulement si $(D_i)_i\in X(w)$ et

$$\begin{align*}\forall i< d, F^{i}e_0\equiv e_{i}\ \pmod{D_{i-1}} \text{ et } F^{d+1}e_0\equiv e_{0}\ \pmod{\mathrm{Vect}(e_1,\cdots,e_d)}.\end{align*}$$

Ainsi la flèche $((D_i)_i, (e_i)_i)\mapsto e_0$ induit un plongement $Y(w)\to {\mathbb {A}}_{{\mathbb {F}}}^{d+1} \backslash \{ 0 \}$ rendant le diagramme suivant commutatif:

Un point $x=(z_0, \dots , z_d) \in {\mathbb {A}}_{ {\mathbb {F}}}^{d+1} \backslash \{ 0 \}$ est dans l’image de ce morphisme si et seulement si $\det ((z_i^{q^j})_{0\le i,j\le d})=(-1)^d \det (F\cdot (z_i^{q^j})_{0\le i,j\le d})$ . Cela revient à écrire

$$\begin{align*}\iota: Y(w)\xrightarrow{\sim} \{z \in {\mathbb{A}}_{{\mathbb{F}}}^{d+1} \backslash \{ 0 \} :\tilde{u}_1 (z)=1\}. \end{align*}$$

4.2 Cohomologie étale des variétés de Deligne-Lusztig

On note $\operatorname {\mathrm {DL}}^d_{\overline {{\mathbb {F}}}}$ l’extension des scalaires de $\operatorname {\mathrm {DL}}_{{\mathbb {F}}}^d$ à $\overline {{\mathbb {F}}}$ . Soit $l\ne p$ un nombre premier, nous allons rappeler la description de la partie cuspidale de la cohomologie l-adique à support compact de $\operatorname {\mathrm {DL}}^d_{\overline {{\mathbb {F}}}}$ .

Soit $\theta : {\mathbb {F}}_{q^{d+1}}^{*}\to \overline {{\mathbb {Q}}}_l^{*}$ un caractère, on dit que $\theta $ est primitif s’il ne se factorise pas par la norme ${\mathbb {F}}_{q^{d+1}}^{*}\to {\mathbb {F}}_{q^e}^{*}$ pour tout diviseur propre e de $d+1$ . Si M est un $ \overline {\mathbb {Q}}_l[{\mathbb {F}}_{q^{d+1}}^{*}]$ -module on note

$$ \begin{align*}M[\theta]=\mathrm{Hom}_{{\mathbb{F}}_{q^{d+1}}^{*}}(\theta, M).\end{align*} $$

Si $\pi $ est une représentation de $\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}({\mathbb {F}})$ , on dit que $\pi $ est cuspidale si $\pi ^{N({\mathbb {F}})}=0$ pour tout radical unipotent N d’un parabolique propre de $\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}$ . La théorie de Deligne-Lusztig (ou celle de Green dans notre cas particulier) fournit:

Théorème 4.3. Soit $\theta : {\mathbb {F}}_{q^{d+1}}^{*}\to \overline {{\mathbb {Q}}}_l^{*}$ un caractère.

a) Si $\theta $ est primitif, alors $\mathrm {H}^{i}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t},c}(DL_{\bar{\mathbb{F}}}^d, \bar{\mathbb{Q}}_l)[\theta]$ est nul pour $i\ne d$ et

$$ \begin{align*}\overline{\pi}_{\theta,l}:=\mathrm{H}^{d}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},c}(\operatorname{\mathrm{DL}}_{\overline{{\mathbb{F}}}}^d, \overline{{\mathbb{Q}}}_l)[\theta]\end{align*} $$

est une $\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}( {\mathbb {F}})$ -représentation irréductible, cuspidale, de dimension $(q-1)(q^2-1) \dots (q^d-1)$ . Toutes les représentations cuspidales sont ainsi obtenues.

b) Si $\theta $ n’est pas primitif, aucune représentation cuspidale n’intervient dans $\bigoplus _{i}\mathrm { H}^{i}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t},c}(\operatorname {\mathrm {DL}}_{\overline {{\mathbb {F}}}}^d, \overline {{\mathbb {Q}}}_l)[\theta ]$ .

Ainsi, la partie cuspidale $\mathrm {H}^{*}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t},c}(\operatorname {\mathrm {DL}}_{\overline {{\mathbb {F}}}}^d, \overline {{\mathbb {Q}}}_l)_{\mathrm {cusp}}$ de $\mathrm {H}^{*}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t},c}(\operatorname {\mathrm {DL}}_{\overline {{\mathbb {F}}}}^d, \overline {{\mathbb {Q}}}_l)$ est concentrée en degré d, où elle est donnée par $\bigoplus _{\theta } \overline {\pi }_{\theta ,l}\otimes \theta $ , la somme directe portant sur tous les caractères primitifs.

4.3 Cohomologie rigide des variétés de Deligne-Lusztig

Nous aurons besoin d’un analogue des résultats présentés dans le paragraphe précédent pour la cohomologie rigide. Cela a été fait par Grosse-Klönne dans [Reference Grosse-Klönne22]. Si $\theta : {\mathbb {F}}^{*}_{q^{d+1}}\to \overline {K}^{*}$ est un caractère, posons

$$ \begin{align*}\overline{\pi}_{\theta}=\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{rig},c}(\operatorname{\mathrm{DL}}_{{\mathbb{F}}}^d/ \overline{K})[ \theta]:=\bigoplus_{i}\mathrm{H}^{i}_{\mathrm{rig},c}(\operatorname{\mathrm{DL}}_{{\mathbb{F}}}^d/ \overline{K})[ \theta],\end{align*} $$

où

$$ \begin{align*}\mathrm{H}^{i}_{\mathrm{rig},c}(\operatorname{\mathrm{DL}}_{{\mathbb{F}}}^d/ \overline{K}):=\mathrm{H}^{i}_{\mathrm{ rig},c}(\operatorname{\mathrm{DL}}_{{\mathbb{F}}}^d)\otimes_{W({\mathbb{F}})[1/p]} \overline{K}\end{align*} $$

et où $M[\theta ]$ désigne comme avant la composante $\theta $ -isotypique de M.

Théorème 4.5. Fixons un premier $l\ne p$ et un isomorphisme $\overline {K} \cong \overline {{\mathbb {Q}}}_l$ . Si $\theta $ est un caractère primitif, alors

$$ \begin{align*}\overline{\pi}_{\theta}:=\mathrm{H}^{d}_{\mathrm{ rig},c}(\operatorname{\mathrm{DL}}_{{\mathbb{F}}}^d/ \overline{K})[ \theta]\end{align*} $$

est isomorphe en tant que $\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}({\mathbb {F}})$ -module à $\overline {\pi }_{\theta ,l}$ , en particulier c’est une représentation irréductible cuspidale.

Démonstration. Cela se fait en trois étapes; cf. [Reference Grosse-Klönne22, 4.5]. Dans un premier temps, on montre [Reference Grosse-Klönne22, 3.1] que les $\overline {K}[\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}({\mathbb {F}}) \times {\mathbb {F}}^{*}_{q^{d+1}}]$ -modules virtuels

$$\begin{align*}\sum_i (-1)^i \mathrm{H}^{i}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},c}(\operatorname{\mathrm{DL}}_{\overline{{\mathbb{F}}}}^d, \overline{{\mathbb{Q}}}_l) \text{ et } \sum_i (-1)^i \mathrm{H}^{i}_{\mathrm{rig},c}(\operatorname{\mathrm{DL}}_{{\mathbb{F}}}^d/ \overline{K}) \end{align*}$$

coïncident. Il s’agit d’une comparaison standard des formules des traces de Lefschetz en cohomologies étale l-adique et rigide. Dans un deuxième temps (et c’est bien la partie délicate du résultat), on montre que $\bigoplus _{i}\mathrm {H}^{i}_{\mathrm {rig},c}(\operatorname {\mathrm {DL}}_{{\mathbb {F}}}^d/ \overline {K})[ \theta ]$ est bien concentré en degré d; cf. [Reference Grosse-Klönne22, th. 2.3]. On peut alors conclure en utilisant le théorème 4.3.

5.1 Réduction semi-stable généralisée

Soit ${\mathcal {X}}$ un schéma formel topologiquement de type fini sur $\operatorname {\mathrm {Spf}} ({\mathcal {O}}_L)$ , de fibre générique ${\mathcal {X}}_\eta $ et de fibre spéciale ${\mathcal {X}}_s$ . On a une flèche de spécialisation $\operatorname {\mathrm {Sp}}: {\mathcal {X}}_\eta \rightarrow {\mathcal {X}}_s$ . Pour tout sous-schéma $Z\subset {\mathcal {X}}_s$ on note $]Z[_{{\mathcal {X}}}$ le tube de Z dans ${\mathcal {X}}_\eta $ (i.e., l’espace analytique

$$ \begin{align*}]Z[_{{\mathcal{X}}}=\operatorname{\mathrm{Sp}}^{-1} (Z)\subset {\mathcal{X}}_\eta).\end{align*} $$

On dit que ${\mathcal {X}}$ est de réduction semi-stable généralisée s’il existe un recouvrement ouvert (Zariski) ${\mathcal {X}}=\bigcup \limits _{{\substack {t\in T}}}^{}{U_t}$ et un jeu de morphismes étales (pour certains $r\leq d$ et $\alpha _i\geq 1$ )

$$\begin{align*}\varphi_t : U_t\to \operatorname{\mathrm{Spf}} ({\mathcal{O}}_L\left\langle x_1,\cdots , x_d\right\rangle/(x_1^{\alpha_1}\cdots x_r^{\alpha_r}-\varpi )).\end{align*}$$

Dans ce cas, quitte à rétrécir les ouverts $U_t$ et à prendre r minimal, on peut supposer que les composantes irréductibles de la fibre spéciale $\overline {U}_t$ de $U_t$ sont les $V(\overline {x}^{*}_i)$ pour $i\leq r$ avec $\overline {x}^{*}_i =\overline {\varphi }_t (\overline {x}_i)$ . Elles ont les multiplicités $\alpha _i$ . On dit que ${\mathcal {X}}$ est de réduction semi-stable si de plus tous les $\alpha _i$ valent $1$ . Dans ce cas, les fibres spéciales $\overline {U}_t$ sont réduites.

5.2 Enoncé du résultat principal

Soit ${\mathcal {X}}$ un schéma formel sur $\operatorname {\mathrm {Spf}} ({\mathcal {O}}_L)$ , de réduction semi-stable généralisée, de fibre générique ${\mathcal {X}}_\eta $ et de fibre spéciale ${\mathcal {X}}_s$ . On note $(Y_i)_{i\in I}$ l’ensemble des composantes irréductibles de ${\mathcal {X}}_s$ . On suppose que le recouvrement ${\mathcal {X}}_s=\bigcup \limits _{{\substack {i\in I}}}^{}{Y_i}$ est localement fini (i.e., pour toute partie finie J de I, les composantes $Y_j$ pour $j\in J$ n’intersectent qu’un nombre fini de composantes irréductibles de ${\mathcal {X}}_s$ ). Si J est un sous-ensemble de I, on note

$$ \begin{align*}Y_J=\bigcap\limits_{{\substack{j\in J}}}^{}{Y_j}.\end{align*} $$

Le but de cette section est de prouver le théorème suivant:

Théorème 5.1. Soient ${\mathcal {X}}$ semi-stable généralisé et $(Y_i)_{i\in I}$ comme ci-dessus, et soit $\pi : {\mathcal {T}}\rightarrow {\mathcal {X}}_\eta $ un revêtement étale de groupe de Galois $\mu _n$ avec n premier à p. Pour toute partie finie J de I la flèche de restriction induit un isomorphisme

$$\begin{align*}\mathrm{ H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]Y_J[_{\mathcal{X}}))\xrightarrow[]{\sim} \mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]Y_{J}\backslash \bigcup_{i\notin J}Y_i[_{\mathcal{X}})).\end{align*}$$

si ${\mathcal {X}}$ est de réduction semi-stable (non généralisée) ou $n=1$ (i.e., ${\mathcal {T}}={\mathcal {X}}_\eta $ ).

Comme dans la preuve originale, on procède en deux étapes. On applique dans un premier temps un certain nombre de réductions assez techniques (cf. 5.5 et 5.6) pour se ramener à l’étude des revêtements de couronnes. Ces étapes sont similaires à la démonstration de Grosse-Klönne, qui utilise des recouvrements bien choisis et la suite spectrale de Cech. Dans notre cas, on reprend les mêmes recouvrements de ${\mathcal {X}}_\eta $ puis on les tire en arrière par $\pi $ pour étudier l’espace ${\mathcal {T}}$ . Le seul point technique à adapter dans ces réductions est la vérification que l’espace final obtenu est bien décrit par un revêtement de couronnes (voir 5.16).

La deuxième étape de la preuve est le calcul de la cohomologie de de Rham d’un revêtement cyclique modéré d’une couronne. Cela se fait par des calculs directs sur le complexe de de Rham, et fournit une description très explicite de ces groupes de cohomologie. Pour énoncer le résultat nous avons besoin de quelques notations. Considérons la couronne

$$ \begin{align*} X=\mathbb{A}^d_{rig, L}(\frac{x_i}{r_i},\frac{s_i}{x_i})_{1\le i\le d}=\{(x_1,\ldots,x_d)\in\mathbb{A}^d_{rig, L} |\, s_i\leq |x_i|\leq r_i\} \end{align*} $$

avec $s_1,\ldots,s_d,r_1,\ldots,r_d\in |\bar{K}^*|$ tels que $s_i\leq r_i$ pour tout i et un revêtement de Kummer de la forme $\mathcal{T}=X((\lambda x^\beta)^{1/n})$ avec n premier à p, $\lambda\in L^*$ et $\beta\in\mathbb{Z}^d$ . Les hypothéses sur $\mathcal{T}$ sont loisibles, puisque nous allons voir que tout revêtement $\pi : {\mathcal {T}}\to X$ galoisien cyclique d’ordre n est de cette forme. On dispose donc sur ${\mathcal {T}}$ d’une racine n-ième t de $\lambda x^\beta $ . On définit enfin

$$ \begin{align*}\pi_0 =\mathrm{PGCD}(n,\beta_1, \cdots, \beta_d), \, \tilde{n}=\frac{n}{\pi_0}, \,\tilde{\beta}=\frac{\beta}{\pi_0}, \, t_0=\frac{t^{\tilde{n}}}{x^{\tilde{\beta}}}.\end{align*} $$

Enfin, si $q\ge 1$ et $I=\left \lbrace i_1<\cdots < i_q\right \rbrace $ on pose

$$ \begin{align*}d\log (x_I)=d\log(x_{i_1})\wedge\cdots\wedge d\log(x_{i_q}).\end{align*} $$

Théorème 5.3. Avec les notations ci-dessus, on a des isomorphismes naturels

$$ \begin{align*}\mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}}(X)\simeq \bigoplus\limits_{{\substack{I}}}^{}{L\cdot d\log (x_I)}\end{align*} $$

et

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}})\simeq \bigoplus\limits_{{\substack{i=0}}}^{\pi_0 -1}{t_0^i\bigoplus\limits_{{\substack{I}}}^{}{L\cdot d\log (x_I)}} \cong\bigoplus\limits_{{\substack{i=0}}}^{\pi_0 -1}{t_0^i\mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}}(X)}\end{align*}$$

où I parcours les parties de de cardinal q dans les sommes précédentes.

5.3 Tores monômiaux et leurs revêtements cycliques modérés

Définition 5.5. On appellera tore monômial de dimension d un L-espace analytique X de la formeFootnote ⁵

$$\begin{align*}X=\{x=(x_1,\cdots, x_d) \in {\mathbb{A}}^d_{rig, L} : s_i\le |x_i|\le r_i \text{ et } \rho\le |x^\alpha|\le \mu\}\end{align*}$$

pour $s_i\leq r_i\in |\overline {K}^{*}|$ , $\alpha =(\alpha _1,...,\alpha _d)\in {\mathbb {N}}^d$ et $\rho \le \mu \in [s^{\alpha }, r^{\alpha }]\cap |\overline {K}^{*}|$ ).

On appelle tore monômial semi-ouvert un espace défini par les mêmes inégalités qu’un tore monômial, mais potentiellement strictes. Nous souhaitons étendre un résultat de Berkovich [Reference Berkovich1, Lemma 3.3] au cas des tores monômiaux.

Proposition 5.6. Soit X un tore monômial de dimension d (semi-ouvert), S un espace K-analytique, n un entier premier à p. La projection canonique $\varphi : X_S:=X\times S \to S$ induit un isomorphisme

$$\begin{align*}R^q \varphi_* \mu_n\simeq\mu_n (-q)^{\binom{d}{q}}.\end{align*}$$

Démonstration. Soit X un tore monômial et $s,r,\alpha ,\rho ,\mu $ les données associées. Nous allons montrer le résultat par récurrence sur la dimension d. Si $d=1$ , tous les tores monômiaux sont des couronnes qui ont été traitées dans [Reference Berkovich1, Lemma 3.3] (on peut aussi appliquer [Reference Junger25, Lemme 4.4.] puis la suite exacte de Kummer).

Soit $d>1$ , en projetant sur les $d-1$ premières coordonnées, on obtient un morphisme $\psi : X\to Y$ vers le tore monômial:

$$\begin{align*}Y=\{x=(x_1,\cdots, x_{d-1}) \in {\mathbb{A}}^{d-1}_{rig, L} : s_i\le |x_i|\le r_i \text{ et } \rho r_d^{-\alpha_d}\le |x^{\bar{\alpha}}|\le \mu s_d^{-\alpha_d}\}\end{align*}$$

avec $\overline {\alpha }=(\alpha _1 ,\cdots , \alpha _{d-1}) $ . Soient $u: Y_S\to S$ les projections naturelles, alors $u\circ \psi =\varphi $ , donc

$$ \begin{align*}R \varphi_* \mu_n\simeq Ru_*R\psi_*\mu_n.\end{align*} $$

Par hypothèse de récurrence et la suite spectrale de Leray il suffit d’établir les isomorphismes

$$\begin{align*}R^q \psi_* \mu_n=\begin{cases} \mu_n & \mathrm{si}\ q=0\\ \mu_n (-1) & \mathrm{si}\ q=1\\ 0 & \mathrm{si}\ q>1\end{cases}.\end{align*}$$

Notons que $R^q\psi _* \mu _n$ est un faisceau surconvergent (puisque les faisceaux constants le sont et que cette propriété est stable par image directe et twist à la Tate), on peut donc tester les isomorphismes ci-dessus fibre à fibre. Les tiges du faisceau $R^q\psi _* \mu _n$ se calculent grâce au théorème de changement de base [Reference de Jong and van der Put9, TH 3.7.3] et font intervenir la cohomologie du faisceau $\mu _n$ sur les fibres de $\psi $ . Ces fibres sont des couronnes de dimension $1$ (sur le corps de définition du point considéré), et on a déjà vu le calcul de ces groupes de cohomologie, ce qui permet de conclure.

Pour le cas semi-ouvert, on peut trouver un recouvrement croissant de X par des tores monômiaux fermés $X_k$ . Pour $\varphi _k :X_k \times S\to S$ la projection sur le second facteur, on a d’après la discussion précédente un système projectif constant de complexe $(\operatorname {\mathrm {R}}\varphi _{k,*}\mu _n)_k$ et on en déduit le calcul de $\operatorname {\mathrm {R}}\varphi _{*}\mu _n$ du cas fermé.

Remarque 5.7. Si X est un tore monômial sur un corps complet $S=\operatorname {\mathrm {Sp}}(L)$ et une couronne Y qui le contient, alors, en reprenant le raisonnement par récurrence précédent sur Y, on montre la bijectivité du morphisme naturel de restriction $\mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(Y,\mu _n)\stackrel {\sim }{\rightarrow }\mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(X,\mu _n) $ . Par suite exacte de Kummer sur Y (voir [Reference Van der Put31, th. 3.25] pour l’annulation du groupe de Picard de Y et [Reference Junger25, Lemme 4.4.] pour le calcul des fonctions inversibles),

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{1}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\mu_n)\cong L^{*}/(L^{*})^n\times\prod\limits_{{\substack{i\le d}}}^{}{(x_i^{\mathbb{Z}}/x_i^{n{\mathbb{Z}}})}.\end{align*}$$

En particulier, tout revêtement étale de groupe de Galois $\mu _n$ de $X_L$ est un revêtement de Kummer de la forme $X((\lambda x^\beta )^{1/n})$ pour $\beta $ dans ${\mathbb {Z}}^d$ et $\lambda $ dans $L^{*}$ .

5.4 Cohomologie de de Rham d’un revêtement cyclique modéré d’un tore monomial

Le but de ce paragraphe est de calculer la cohomologie de de Rham d’un revêtement cyclique ${\mathcal {T}} = X((\lambda x^\beta )^{1/n})$ (avec $\beta \in {\mathbb {Z}}^d$ et $\lambda \in L^{*}$ ) d’un tore monômial

$$\begin{align*}X=\{x=(x_1,\cdots, x_d) \in {\mathbb{A}}^d_{rig, L} : s_i\le |x_i|\le r_i \text{ et } \rho\le |x^\alpha|\le\mu\}.\end{align*}$$

Posons

$$ \begin{align*}\pi_0 =\mathrm{PGCD}(n,\beta_1, \cdots, \beta_d), \, \tilde{n}=\frac{n}{\pi_0}, \, \tilde{\beta}=\frac{\beta}{\pi_0}, \, t_0=\frac{t^{\tilde{n}}}{x^{\tilde{\beta}}}.\end{align*} $$

Théorème 5.8. On dispose d’isomorphismes naturels

et

$$ \begin{align*}\mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}})\cong\bigoplus\limits_{{\substack{i=0}}}^{\pi_0 -1}{t_0^i\mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}}(X)}.\end{align*} $$

Remarque 5.9. Pour comprendre l’enoncé du théorème, il est intéressant d’étudier le cas analytique complexe. Si l’on prend un espace X de ${\mathbb {C}}^d$ défini par les mêmes inégalités qu’un tore monômial (i.e.

$$\begin{align*}X=\{x=(x_1,\cdots, x_d) \in \mathbb{C}^d : s_i\le |x_i|\le r_i \text{ et } \rho\le |x^\alpha| \le \mu\}),\end{align*}$$

alors X a le type d'homotopie d'un tore.

La cohomologie de de Rham est donc donnée par Künneth:

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}}(X)=\underset{|I|=q}{\bigoplus} {\mathbb{C}} \cdot d\log( x_I). \end{align*}$$

D’après la correspondance de Galois entre les revêtements et les sous-groupes de $\pi _1(X)$ , un revêtement cyclique ${\mathcal {T}}$ de X a le type d’homotopie d’une union disjointe de tores. Cette union s’écrit:

$$\begin{align*}\{ (x, t)\in {\mathbb{C}}^d/ {\mathbb{Z}}^d\times {\mathbb{C}} || t^n=x^\beta \}. \end{align*}$$

Le nombre de composantes connexes est la constante $\pi _0$ introduite dans l’énoncé du théorème. Comme $t_0^{\pi _0}=1$ , la famille $\{t_0^i\}_i$ engendre le même ${\mathbb {C}}$ -espace vectoriel que l’ensemble des idempotents pour les différentes composantes connexes, et on obtient

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{T}})= \underset{0\le i\le \pi_0-1}{\bigoplus}t_0^i \mathrm{H}^{q}_{\mathrm{ dR}}(X) .\end{align*}$$

Avant de passer à la preuve, mentionnons quelques conséquences utiles:

Démonstration. On écrit $X=\bigcup _i X_i$ comme une réunion croissante de tores monômiaux. On a alors ${\mathcal {T}}=\bigcup _i {\mathcal {T}}\times _X X_i = \bigcup _i {\mathcal {T}}_i$ . Fixons $i_0\in {\mathbb {N}}$ , d’après ce qui précède, on a

$$\begin{align*}\varprojlim_i\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}_i)[\chi]=\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}_{i_0})[\chi]\text{ et }\operatorname{\mathrm{R}}^1\varprojlim_i\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}_i)[\chi]=0\end{align*}$$

d’où $\mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}} ({\mathcal {T}})[\chi ]\cong \mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}} ({\mathcal {T}}_{i_0})[\chi ]$ .

Passons à la preuve de 5.8. Nous commençons par traiter le cas des tores monomiaux (i.e., $\pi = \operatorname {\mathrm {Id}}$ et ${\mathcal {T}}=X$ ). Comme dans la définition, on se donne $r, s, \alpha , \rho , \mu $ définissant X et on choisit des constantes $u=(u_i)_i$ , $v=(v_i)_i$ et $w_1$ , $w_2$ dans L telles que

$$\begin{align*}|u_i|=r_i,\ |v_i|=s_i,\ |w_1|= \rho,\ |w_2| = \mu. \end{align*}$$

Si $x=(x_i)_i$ désigne la variable sur X, alors

$$\begin{align*}X= \operatorname{\mathrm{Sp}}(L \langle \frac{x}{u}, \frac{v}{x}, \frac{x^{\alpha}}{w_1}, \frac{w_2}{x^{\alpha}} \rangle). \end{align*}$$

En particulier, toute fonction f appartient à ${\mathscr {O}}(X^{\dagger })$ admet un développement unique $f= \sum _{\nu \in {\mathbb {Z}}^d} a_{\nu } x^{\nu }$ . Nous aurons besoin du résultat technique suivant:

Démonstration. Réécrivons f sous la forme

$$\begin{align*}\sum_{ (\beta, \gamma, \delta_1, \delta_2) \in {\mathbb{N}}^d \times {\mathbb{N}}^d \times {\mathbb{N}} \times {\mathbb{N}}} m_{\beta, \gamma, \delta_1, \delta_2} (\frac{x}{u})^{\beta} (\frac{v}{x})^{\gamma} (\frac{x^{\alpha}}{w_1})^{\delta_1} (\frac{w_2}{x^{\alpha}})^{\delta_2} \end{align*}$$

tel qu'il existe $h>1$ tel que $h^{e(\beta , \gamma , \delta _1, \delta _2)} | m_{\beta , \gamma , \delta _1, \delta _2} | \to 0$ avec $e(\beta , \gamma , \delta _1, \delta _2)= \sum _{1 \le k \le d} \beta _k + \sum _{1 \le k \le d} \gamma _k + \delta _1 + \delta _2$ . Nous voulons montrer que le développement suivant définit bien une section surconvergente:

$$\begin{align*}\sum_{ (\beta, \gamma, \delta_1, \delta_2) } \frac{m_{\beta, \gamma, \delta_1, \delta_2}}{\beta_i - \gamma_i + \alpha_i(\delta_1- \delta_2)} (\frac{x}{u})^{\beta} (\frac{v}{x})^{\gamma} (\frac{x^{\alpha}}{w_1})^{\delta_1} (\frac{w_2}{x^{\alpha}})^{\delta_2}\end{align*}$$

où $(\beta , \gamma , \delta _1, \delta _2)$ parcourt les termes tels que $\beta _i - \gamma _i + \alpha _i(\delta _1- \delta _2)\neq 0$ .

Pour tout $h_1 \in ] 1, h[$ , on a $(\frac {h_1}{h})^{e(\beta , \gamma , \delta _1, \delta _2)} | \frac {1}{ \beta _i - \gamma _i + \alpha _i (\delta _1- \delta _2)} | \to 0$ pour le filtre des parties finies et donc

$$\begin{align*}h_1^{e(\beta, \gamma, \delta_1, \delta_2)} | \frac{m_{\beta, \gamma, \delta_1, \delta_2}}{\beta_i - \gamma_i + \alpha_i(\delta_1- \delta_2)} | = h^{e(\beta, \gamma, \delta_1, \delta_2)} | m_{\beta, \gamma, \delta_1, \delta_2} | \frac{(h_1/h)^{e(\beta, \gamma, \delta_1, \delta_2)}}{| \beta_i- \gamma_i+ \alpha_i(\delta_1- \delta_2)| } \to 0 \end{align*}$$

et on obtient bien une section surconvergente sur X de développement $\sum _{\nu :\nu _i\neq 0} \frac {1}{\nu _i} a_{\nu } x^\nu $ .

Une q-forme surconvergente admet un unique développement . Nous dirons que $\omega $ contient un terme en $x_i$ (resp. un terme en $d\log (x_i)$ ) s’il existe $a_{\nu , I} \neq 0$ avec $\nu _i \neq 0$ (resp. avec $i \in I$ ). On appelle $\Omega ^q_{X^{\dagger }/L} [r] $ le sous-module des formes qui ne contiennent aucun terme en $x_i$ ou $d \log (x_i)$ pour $i>r$ . On observe l’inclusion $d(\Omega ^q_{X^{\dagger }/L} [r] ) \subset \Omega ^{q+1}_{X^{\dagger }/L} [r] $ .

On impose l’ordre lexicographique sur les couples $(q,r)$ et on montre par récurrence sur $(q,r)$ l’égalité suivante:Footnote ⁶

Il est aisé de voir que les modules apparaissant dans le terme de droite sont en somme directe et nous laissons la vérification de ce fait au lecteur. Nous allons seulement prouver que ces modules engendrent bien le sous-ensemble des q-formes fermées.

Si $q=0$ , comme X est géométriquement connexe, on a $\mathrm {H}^{0}_{\mathrm {dR}}(X)= L= L \cdot d\log (x_{\emptyset })$ .

Soit $q \ge 1$ , supposons le résultat vrai pour tout $(q',r') < (q,r)$ . Si $\omega \in (\Omega ^q_{X^{\dagger }/L}[r])^{d=0}$ , elle se décompose de manière unique de la formeFootnote ⁷

$$\begin{align*}\omega = \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} x_r^j \omega_j^{(0)}+ \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} x_r^j \omega_j^{(1)} \wedge d\log(x_r) \end{align*}$$

avec $\omega _j^{(i)} \in \Omega ^{q-i}_{X^{\dagger }/L}[r-1]$ . Par fermeture de $\omega $ ,

(2) $$ \begin{align} d\omega= \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} x_r^j d \omega_j^{(0)} + \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} x_r^j ((-1)^q j\omega_j^{(0)} + d \omega_j^{(1)}) \wedge d \log(x_r) =0 \end{align} $$

d’où $d\omega _j^{(0)} =0$ et $d\omega _j^{(1)}= (-1)^{q-1} j \omega _j^{(0)}$ toujours par unicité de la décomposition. En particulier, $d\omega _0^{(1)}=d\omega _0^{(0)}=0$ .

D’après 5.12, la somme suivante est une $(q-1)$ -forme surconvergente de X,

$$\begin{align*}\eta= \sum_{j \neq 0} (-1)^{q-1} \frac{1}{j} x_r^j \omega_j^{(1)}. \end{align*}$$

On vérifie par calcul direct, $\omega - d\eta = \omega _0^{(0)} + \omega _0^{(1)} \wedge d\log (x_r)$ (d’après (2)). On a montré que les formes $\omega _0^{(0)}$ et $\omega _0^{(1)}$ étaient fermés. On peut leur appliquer l’hypothèse de récurrence, ce qui permet de conclure.

On s’intéresse maintenant au cas général. Nous cherchons à calculer la cohomologie d’un revêtement sur X de la forme

$$\begin{align*}{\mathcal{T}}= X((\lambda x^{\beta})^{1/n})= \{ (x,t) \in X \times {\mathbb{A}}_{rig,L}^1 : t^n=\lambda x^{\beta} \}. \end{align*}$$

Quitte à étendre L, on suppose qu’il contient les racines $\pi _0$ -ièmes de l’unité et que $\lambda $ vaut $1$ . On a alors une décomposition

$$\begin{align*}{\mathcal{T}}= \coprod_{\zeta \in \mu_{\pi_0}(L)} X((\lambda x^{\tilde{\beta}})^{1/\tilde{n}}):= \coprod_{\zeta \in \mu_{\pi_0}(L)} {\mathcal{T}}_{\zeta}. \end{align*}$$

Appelons ${\mathscr {L}}_{\zeta }$ le polynôme interpolateur de Lagrange s’annulant sur $\mu _{\pi _0}(L) \setminus \{ \zeta \}$ et valant $1$ en $\zeta $ . Prenons $t \in {\mathscr {O}}^{*}({\mathcal {T}})$ une racine n-ième de $x^{\beta }$ et $t_0= \frac {t^{\tilde {n}}}{x^{\tilde {\beta }}}$ . Alors ${\mathscr {L}}_{\zeta }(t_0)$ est l’idempotent associé à ${\mathcal {T}}_{\zeta }$ . Supposons que ${\mathcal {T}}_{\zeta } \to X$ induise un isomorphisme $\mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}(X) \cong \mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}({\mathcal {T}}_{\zeta })$ , on obtient une suite d’isomorphismes

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{T}}) = \bigoplus_{\zeta} {\mathscr{L}}_{\zeta}(t_0) \mathrm{H}^{*}_{\mathrm{ dR}}({\mathcal{T}}_{\zeta}) \cong \sum_{j=0}^{\pi_0-1} t_0^j \mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}}(X) \end{align*}$$

car $\{ t_0^j \}_j$ et $\{ {\mathscr {L}}_{\zeta }(t_0) \}_{\zeta }$ engendrent le même L-espace vectoriel. Il suffit ainsi de raisonner sur chaque ${\mathcal {T}}_{\zeta }$ (i.e., on peut supposer $\pi _0=1$ ).

Considérons maintenant le revêtement de groupe de Galois $\mu _n^d$ suivant:

$$\begin{align*}\tilde{{\mathcal{T}}} = X(x_1^{1/n})(x_2^{1/n}) \cdots(x_d^{1/n})= \{ (x,t_1, \dots, t_d) \in X\times {\mathbb{A}}^d_{rig,L} : t_i^n= x_i \}. \end{align*}$$

Les flèches $((x_1, \dots , x_d), t_1, \dots , t_d) \mapsto (t_1, \dots , t_d)$ et $(t_1, \dots , t_d) \mapsto ((t_1^n , t_2^n,\dots , t_d^n), t_1, \dots , t_d)$ induisent une bijection

$$\begin{align*}\tilde{{\mathcal{T}}} \cong \{ (t_1, \dots, t_d) \in {\mathbb{A}}^d_{rig,L} : s_i^{1/n}\le |t_i|\le r_i^{1/n} \text{ et } \rho^{1/n}\le |t_1^{\alpha_1} t_2^{\alpha_2} \dots t_d^{\alpha_d}| \le \mu^{1/n} \}. \end{align*}$$

On en déduit la suite d’égalités:

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{i}_{\mathrm{dR}}(\tilde{{\mathcal{T}}})= \bigoplus_{|I|= i } L d\log(t_I) = \bigoplus_{|I|=i} L d\log(x_I) = \mathrm{H}^{i}_{\mathrm{dR}}(X). \end{align*}$$

On remarque aisément que $\tilde {{\mathcal {T}}}$ est un revêtement de ${\mathcal {T}}$ de groupe de Galois abélien $\operatorname {\mathrm {Fix}}_{\mu _n^d}({\mathcal {T}})=\{(\gamma _i)_i\in \mu _n^d : \sum _i \gamma _i\beta _i=0\}$ . La flèche naturelle $\mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}({\mathcal {T}}) \to \mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}(\tilde {{\mathcal {T}}})$ identifie $\mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}({\mathcal {T}})$ à $\mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}(\tilde {{\mathcal {T}}})^{\operatorname {\mathrm {Fix}}_{\mu _n^d}({\mathcal {T}})}$ et est donc injective. On obtient un diagramme commutatif:

Ainsi, $\mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}({\mathcal {T}}) \cong \mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}(X)$ .

5.5 Une première réduction

Revenons maintenant au contexte du théorème 5.1. En particulier, on dispose du schéma formel ${\mathcal {X}}$ semi-stable généralisé, d’un revêtement cyclique $\pi : {\mathcal {T}}\to {\mathcal {X}}_\eta $ d’ordre premier à p et on note $(Y_i)_{i\in I}$ les composantes irréductibles de sa fibre spéciale. Rappelons que l’on note $Y_J=\bigcap _{j\in J} Y_j$ pour $J\subset I$ . Notons que les deux résultats qui vont suivre seront valables dans les deux cas considérés dans 5.1. Nous spécialiserons au cas $\pi =\mathrm {Id}$ ou au cas ${\mathcal {X}}$ semi-stable (non généralisé) dans la section 5.7.

Lemme 5.13. Pour démontrer le théorème 5.1 il suffit de prouver la bijectivité de

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]Y_J[_{\mathcal{X}}))\xrightarrow[]{\sim}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]Y_J\backslash Y_I[_{\mathcal{X}}))\end{align*}$$

quand ${\mathcal {X}}=\operatorname {\mathrm {Spf}} (A)$ est affine formel, connexe et possède un morphisme étale

$$\begin{align*}\varphi: \operatorname{\mathrm{Spf}} (A)\rightarrow \operatorname{\mathrm{Spf}} ({\mathcal{O}}_L \left\langle x_1,\cdots,x_d\right\rangle /(x_1^{\alpha_1}\cdots x_r^{\alpha_r} -\varpi)).\end{align*}$$

Démonstration. On considère uniquement l’ensemble (fini) des composantes de I qui intersectent J, ce qui nous permet de supposer que I est fini. Pour $J\subset I$ et $M\subset J^c$ , on note

$$ \begin{align*}\mathring{Y}_{J,M} =Y_J\backslash \bigcup\limits_{{\substack{l\in M}}}^{}{Y_l}\end{align*} $$

(i.e., les points dans toutes les composantes irréductibles de J qui évitent celles de M). Si de plus $ m$ est un entier positif, on note

$$ \begin{align*}\mathring{Y}_{J,M}^{m}=\bigcup\limits_{{\substack{N\subset M\\ |N|=m}}}^{}{\mathring{Y}_{J,N}}\end{align*} $$

(i.e., les points dans toutes les composantes de J qui évitent au moins m composantes dans M). On remarque les égalités $Y_J = \mathring {Y}_{J,M}^{0}$ et $\mathring {Y}_{J,M}^{|M|}=\mathring {Y}_{J,M}$ .

On raisonne sur la chaîne d’inclusions

$$\begin{align*}{Y}_{J}\supset \mathring{Y}_{J,J^c}^{1}\supset \cdots \supset \mathring{Y}_{J,J^c},\end{align*}$$

il suffit donc de montrer (pour tout m) la bijectivité de la flèche naturelle

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]\mathring{Y}_{J,J^c}^{m}[_{\mathcal{X}}))\xrightarrow[]{\sim} \mathrm{ H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]\mathring{Y}_{J,J^c}^{m+1}[_{\mathcal{X}})).\end{align*}$$

Notons que $\mathring {Y}^1_{J,J^c}=Y_J\backslash Y_I$ . Nous allons construire un schéma formel auxiliaire $\tilde {{\mathcal {X}}}$ de réduction semi-stable généralisée pour déduire le cas m quelconque à partir du cas $m=0$ .

Chaque $]\mathring {Y}_{J,J^c}^{m}[$ admet par définition un recouvrement admissible par les ouverts suivants $(]\mathring {Y}_{J,N}[)_{N\subset J^c : |N|=m}$ . Les intersections finies de ces ouverts vérifientFootnote ⁸

$$\begin{align*}\bigcap\limits_{{\substack{N\in Q}}}^{}{\mathring{Y}_{J,N}}=\mathring{Y}_{J,M},\end{align*}$$

avec $M=\bigcup _{N\in Q} N$ . Lorsque Q varie, M parcourt l’ensemble des parties disjointes de J pour tout M de cardinal au moins m. On se ramène donc, grâce à la suite spectrale de Cech, à montrer l’isomorphisme

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]\mathring{Y}_{J,M}\cap\mathring{Y}_{J,J^c}^{m}[_{\mathcal{X}})) =\mathrm{ H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]\mathring{Y}_{J,M}[_{\mathcal{X}}))\xrightarrow[]{\sim} \mathrm{ H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]\mathring{Y}_{J,M}\cap\mathring{Y}_{J,J^c}^{m+1}[_{\mathcal{X}}))\end{align*}$$

pour tout M de cardinal au moins m. Quand M n’est pas de cardinal m, on a $\mathring {Y}_{J,M}=\mathring {Y}_{J,M}\cap \mathring {Y}_{J,J^c}^{m+1}$ et la bijectivité est triviale.

Quand M est de cardinal m, on se place dans la clôtureFootnote ⁹ $\tilde {{\mathcal {X}}}$ de $]{\mathcal {X}}_s\backslash \left (\bigcup \limits _{{\substack {i\in M}}}^{}{Y_i}\right )[$ dans $ {\mathcal {X}}$ . Les composantes irréductibles de $\tilde {{\mathcal {X}}}_s$ sont indexées par $I\backslash M$ . On reprend les notations $\tilde {Y}_J$ , $\mathring {\tilde {Y}}_{J,N}$ et $\mathring {\tilde {Y}}_{J,N}^m$ pour $J\subset M^c$ et $N\subset (M\cup J)^c$ . On observe

$$\begin{align*}\mathring{Y}_{J,M}=\tilde{Y}_{J}\text{ et } \mathring{Y}_{J,M}\cap\mathring{Y}_{J,J^c}^{m+1}=\mathring{\tilde{Y}}_{J,(J\cup M)^c}^{1}.\end{align*}$$

On s’est ramené à la condition suffisante du lemme par l’observation $\tilde {Y}_J\backslash \tilde {Y}_I=\mathring {\tilde {Y}}_{J,J^c}^1$ .

Il reste à expliquer pourquoi on peut supposer ${\mathcal {X}}$ affine formel. On se donne un recouvrement affine ${\mathcal {X}}=\bigcup \limits _{{\substack {s\in S}}}^{}{U_s}$ et un jeu de morphismes étales

$$\begin{align*}\varphi_s : U_s\to \operatorname{\mathrm{Spf}} ({\mathcal{O}}_L\left\langle x_1,\cdots , x_d\right\rangle/(x_1^{\alpha_1}\cdots x_r^{\alpha_r}-\varpi )).\end{align*}$$

On note $U_T=\bigcap \limits _{{\substack {t\in T}}}^{}{U_t}$ pour $T\subset S$ . On a un recouvrement admissible ${\mathcal {T}}=\bigcup \limits _{{\substack {s\in S}}}^{}{\pi ^{-1} (U_{s,\eta })}$ donc par une nouvelle application de la suite spectrale de Cech, il suffit de prouver la bijectivité de

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]Y_J[_{\mathcal{X}} \cap U_{T,\eta}))\xrightarrow[]{\sim}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]Y_J\backslash Y_I[_{\mathcal{X}}\cap U_{T,\eta}))\end{align*}$$

pour tout $T\subset S$ . On s’est donc ramené à ${\mathcal {X}}=U_T =\operatorname {\mathrm {Spf}} (A)$ affine formel, ${\mathcal {T}}=\pi ^{-1} (U_{T,\eta })$ affinoïde et $\varphi ={\varphi _s}_{|U_T}: {\mathcal {X}}\to \operatorname {\mathrm {Spf}} ({\mathcal {O}}_L\left \langle x_1,\cdots , x_d\right \rangle /(x_1^{\alpha _1}\cdots x_r^{\alpha _r}-\varpi ))$ pour un certain $s\in T$ . Quitte à réduire ${\mathcal {X}}$ , on peut supposer qu’il est connexe.

5.6 Une deuxième réduction

Nous supposons maintenant que nous sommes dans le contexte du lemme 5.13. En particulier, ${\mathcal {X}}=\operatorname {\mathrm {Spf}} (A)$ est affine et connexe et possède un morphisme étale $\varphi : \operatorname {\mathrm {Spf}} (A)\rightarrow \operatorname {\mathrm {Spf}} ({\mathcal {O}}_L \left \langle x_1,\cdots ,x_d\right \rangle /(x_1^{\alpha _1}\cdots x_r^{\alpha _r} -\varpi ))$ . Notons $x_i^{*} =\varphi ^{*} (x_i)\in A$ et $\overline {x}_i$ son image en fibre spéciale. Quitte à réduire ${\mathcal {X}}$ , on peut supposer , , $Y_i =V(\overline {x}_i)$ . Notons aussi que ${\mathcal {T}}$ est affinoide, disons ${\mathcal {T}}=\operatorname {\mathrm {Sp}}(B)$ .

Lemme 5.14. Pour montrer 5.13, il suffit de prouver que pour toute partition et tous $\lambda ,\beta \in ]0,1[\cap |\overline {K}^{*}|$ , les restrictions de ${\mathcal {T}}$ à $\tilde {C}$ et à $\tilde {C}'$ ont la même cohomologie de de Rham, où

$$\begin{align*}\tilde{C}&=\left\lbrace s\in {\mathcal{X}}_\eta : |x_{j_1}^{*} (s)|\leq \lambda, |x_{j_2}^{*} (s)|=\beta, |x_{j_3}^{*} (s)|\leq\beta, \, \forall j_k\in J_k\right\rbrace,\\\tilde{C}'&=\left\lbrace s\in {\mathcal{X}}_\eta : |x_{j_1}^{*} (s)|\leq \lambda, |x_{j_2}^{*} (s)|=\beta, |x_{j_3}^{*} (s)|=\beta, \, \forall j_k\in J_k\right\rbrace.\end{align*}$$

Démonstration. Rappelons que:

$$\begin{align*}]Y_J[_{\mathcal{X}}&=\{s\in {\mathcal{X}}_\eta |\, \forall j\in J\,, |x_j^{*}(s)| < 1\},\\]Y_J\backslash Y_I[_{\mathcal{X}}&=\{s\in ]Y_J[_{\mathcal{X}}|\, \exists i\in J^c, |x_i^{*}(s)| = 1\}.\end{align*}$$

Nous allons filtrer ces espaces par des ouverts plus simples. Pour $\lambda \in ]0,1[\cap |\overline {K}^{*}|$ posonsFootnote ¹⁰

$$\begin{align*}{\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda})=\{s\in {\mathcal{X}}_\eta|\, \forall j\in J, |x_j^{*}(s)|\le \lambda\}.\end{align*}$$

On définit $]Y_J\backslash Y_I[_{\mathcal {X}} (\frac {J}{\lambda })$ d’une manière semblable et on remarque que $\pi ^{-1}(]Y_J[_{\mathcal {X}})=\bigcup \limits _{{\substack {\lambda < 1}}}^{}{\pi ^{-1}({\mathcal {X}}_\eta (\frac {J}{\lambda })})$ est un recouvrement admissible (et la situation est similaire pour $\pi ^{-1}(]Y_J\backslash Y_I[_{\mathcal {X}})$ ). Il suffit donc de montrer la bijectivité de

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta(\frac{J}{\lambda})))\xrightarrow[]{\sim}\mathrm{ H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]Y_J\backslash Y_I[_{\mathcal{X}} (\frac{J}{\lambda})))\end{align*}$$

pour tout $\lambda $ comme ci-dessus.

Ensuite, intéressons-nous à l’espace

$$\begin{align*}\bigcup\limits_{{\substack{i\in J^c}}}^{}{{\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda},\frac{\beta}{\left\lbrace i \right\rbrace})}=\{s\in {\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda})|\,\exists i\in J^c,\,\, |x_i^{*}(s)|\ge \beta\}\end{align*}$$

pour $\beta \in ]0,1[\cap |\overline {K}^{*}|$ . On remarque la suite d’inclusion

$$ \begin{align*}\pi^{-1}(]Y_J\backslash Y_I[_{\mathcal{X}} (\frac{J}{\lambda})) \subset \pi^{-1}(\bigcup\limits_{{\substack{i\in J^c}}}^{}{{\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda},\frac{\beta}{\left\lbrace i \right\rbrace})}) \subset \pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta(\frac{J}{\lambda})).\end{align*} $$

Étudions d’abord la flèche en cohomologie induite par la première inclusion. On a un recouvrement admissible $(\pi ^{-1}({\mathcal {X}}_\eta (\frac {J}{\lambda },\frac {\beta }{\left \lbrace i \right \rbrace })))_{i\in J^c}$ de $\pi ^{-1}(\bigcup \limits _{{\substack {i\in J^c}}}^{}{{\mathcal {X}}_\eta (\frac {J}{\lambda },\frac {\beta }{\left \lbrace i \right \rbrace })})$ et les intersections sont de la forme $\pi ^{-1}({\mathcal {X}}_\eta (\frac {J}{\lambda },\frac {\beta }{M}))$ pour $M\subset J^c$ .

De plus, on a l’identité

$$\begin{align*}\pi^{-1}(]Y_J \backslash Y_I[_{\mathcal{X}} (\frac{J}{\lambda} ))^\dagger=\bigcap_{\beta < 1}\ \pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda},\frac{\beta}{M}))^\dagger\end{align*}$$

car chaque voisinage stricte de $\pi ^{-1}(]Y_J \backslash Y_I[_{\mathcal {X}} (\frac {J}{\lambda } ))$ contient un ouvert de la forme $\pi ^{-1}({\mathcal {X}}_\eta (\frac {J}{\lambda },\frac {\beta }{M}))$ pour un certain $\beta $ . En comparant les complexes de de Rham surconvergeant, on obtient la bijectivité de

$$\begin{align*}\varinjlim_{\beta < 1}\ \mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} ( \pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda},\frac{\beta}{M})))\xrightarrow[]{\sim}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]Y_J\backslash Y_I[_{\mathcal{X}} (\frac{J}{\lambda})))\end{align*}$$

puis celle de

$$\begin{align*}\varinjlim_{\beta < 1}\ \mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} ( \pi^{-1}(\bigcup\limits_{{\substack{i\in J^c}}}^{}{{\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda},\frac{\beta}{\left\lbrace i \right\rbrace})}))\xrightarrow[]{\sim}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(]Y_J\backslash Y_I[_{\mathcal{X}} (\frac{J}{\lambda})))\end{align*}$$

grâce à la suite spectrale de Cech.

Il suffit donc d’établir l’isomorphisme suivant pour tout $\beta $

(3) $$ \begin{align} \mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda})))\xrightarrow[]{\sim}\mathrm{ H}^{*}_{\mathrm{dR}} ( \pi^{-1}(\bigcup\limits_{{\substack{i\in J^c}}}^{}{{\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda},\frac{\beta}{\left\lbrace i \right\rbrace}}))) \end{align} $$

en montrant que cela découle de la condition imposée dans l’énoncé.

On a un recouvrement admissible à deux termes

$$ \begin{align*}\pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta(\frac{J}{\lambda}))=\pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda}, \frac{J^c}{\beta})) \cup \pi^{-1}(\bigcup\limits_{{\substack{i\in J^c}}}^{}{{\mathcal{X}}_\eta(\frac{J}{\lambda},\frac{\beta}{\left\lbrace i \right\rbrace})}).\end{align*} $$

En utilisant la suite exacte de Mayer-Vietoris qui en découle, il suffit d’établirFootnote ¹¹

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda}, \frac{J^c}{\beta})))\xrightarrow[]{\sim}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda}, \frac{J^c}{\beta}) \cap \bigcup\limits_{{\substack{i\in J^c}}}^{}{{\mathcal{X}}_\eta(\frac{J}{\lambda},\frac{\beta}{\left\lbrace i \right\rbrace})})).\end{align*}$$

On réécrit

$$ \begin{align*}\pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda}, \frac{J^c}{\beta}) \cap \bigcup\limits_{{\substack{i\in J^c}}}^{}{{\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda},\frac{\beta}{\left\lbrace i \right\rbrace})})=\pi^{-1}(\bigcup\limits_{{\substack{i\in J^c}}}^{}{{\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda},\frac{\beta}{\left\lbrace i \right\rbrace}, \frac{J^c}{\beta}))}).\end{align*} $$

Pour établir l’isomorphisme ci-dessus, comparons les deux espaces considérés avec $\pi ^{-1}({\mathcal {X}}_\eta (\frac {J}{\lambda }, (\frac {J^c}{\beta })^{\pm 1}))$ ie. prouvons la bijectivité des deux flèches

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda}, \frac{J^c}{\beta})))\xrightarrow[]{\sim}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda}, (\frac{J^c}{\beta})^{\pm 1}))),\\\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}(\bigcup\limits_{{\substack{i\in J^c}}}^{}{{\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda},\frac{\beta}{\left\lbrace i \right\rbrace}, \frac{J^c}{\beta}))}))\xrightarrow[]{\sim}\mathrm{ H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda}, (\frac{J^c}{\beta})^{\pm 1}))). \end{align*}$$

Pour la première, cela revient à comparer les deux couronnes de l’énoncé du lemme 5.14 pour la partition $I=J\cup \emptyset \cup J^c$ . D’après la suite spectrale de Cech pour le recouvrement $({\mathcal {X}}_\eta (\frac {J}{\lambda },\frac {\beta }{\left \lbrace i \right \rbrace }, \frac {J^c}{\beta }))_{i\in J^c}$ , on se ramène pour la deuxième à

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda}, \frac{I\backslash (J\cup M)}{\beta},(\frac{M}{\beta})^{\pm 1} )))\xrightarrow[]{\sim}\mathrm{H}^{*}_{\mathrm{dR}} (\pi^{-1}({\mathcal{X}}_\eta (\frac{J}{\lambda}, (\frac{J^c}{\beta})^{\pm 1})))\end{align*}$$

pour tout $M\subset J^c$ . Là encore, cela revient à établir la condition suffisante du lemme pour la partition $I=J\cup M\cup (I\backslash (J\cup M))$

5.7 Fin de la preuve du théorème 5.1

Fixons une partition et reprenons les notations introduites dans le lemme 5.14. Dans toute la suite, nous appellerons par abus ${\mathcal {T}}$ le revêtement sur $\tilde {C}$ et ${\mathcal {T}}'$ celui sur $\tilde {C}'$ . Nous devons comparer les cohomologies de de Rham de ${\mathcal {T}}$ et de ${\mathcal {T}}'$ . Pour cela, on considère les inclusions $\tilde {C}' \to \tilde {C} \to ]Y_I[_{\mathcal {X}} =\left \lbrace s \in {\mathcal {X}}_\eta , \forall i\in I, |x_i^{*}(s)|<1\right \rbrace $ . Nous allons commencer par une description plus simple de $ ]Y_I[_{\mathcal {X}}$ , fournie par:

Lemme 5.15. Il existe une ${\mathcal {O}}_L$ -algèbre $\varpi $ -adiquement complète et formellement lisse $\hat {B}$ et un isomorphisme

$$\begin{align*}]Y_I[_{\mathcal{X}} \cong \operatorname{\mathrm{Sp}}(\hat{B} \otimes_{{\mathcal{O}}_L} L) \times \{Z=(Z_1,\cdots, Z_r)\in \mathring{{\mathbb{B}}}^{r}_L :Z^{\alpha}=\varpi\} \end{align*}$$

envoyant $Z_i$ sur $x_i^{*}$ .

Démonstration. Le morphisme étale ${\mathcal {O}}_L\langle X_1,...,X_d\rangle / (X_1^{\alpha _1}... X_r^{\alpha _r}- \varpi ) \rightarrow A$ induit, en complétant $(X_1,...,X_r)$ -adiquement, un morphisme étale

D’après [Reference Berthelot2, (0.2.7)PROPOSITION], $]Y_I[_{\mathcal {X}}=\operatorname {\mathrm {Spf}}(\hat {A})^{rig}$ . Considérons le diagramme commutatif suivant,

dans lequel $\theta $ est la projection modulo $J=(X_1,...,X_r )$ et

$$ \begin{align*}\overline{B}:= \hat{A}/ \varpi \otimes_{R/\varpi} {\mathbb{F}}[X_{r+1},...,X_d]=\hat{A}/ (\varpi\hat{A}+J\hat{A}).\end{align*} $$

Observons que l’inclusion canonique $\iota : {\mathbb {F}}[X_{r+1},..., X_d]\hookrightarrow R/\varpi $ est une section de $\theta $ . Comme $R\rightarrow \hat {A}$ est étale, la section $\iota $ se relève en une section $s: \overline {B}\rightarrow \hat {A}/\varpi $ . En effet, $\overline {B}$ est lisse sur ${\mathbb {F}}$ car étale sur ${\mathbb {F}}[X_{r+1},...,X_d]$ par changement de base de $R/\varpi \to \hat {A}/\varpi $ . Ainsi, le morphisme naturel $\overline {B}\stackrel {\sim }{\rightarrow } \hat {A}/(\varpi \hat {A}+J\hat {A})$ se relève en un morphisme $\overline {B}\to \hat {A}/\varpi $ car $\hat {A}/\varpi $ est complet pour la topologie J-adique. Pour vérifier que l’on obtient bien la section recherchée, il suffit de montrer que ce morphisme est compatible à $\iota $ en le réduisant modulo J ce qui est vrai par construction.

Par le théorème d’Elkik [Reference Elkik16, THÉORÈME fin section II p568], on peut relever $\overline {B}$ en une ${\mathcal {O}}_K$ -algèbre lisse B. Ainsi, en reprenant les arguments de la construction de s, on voit que $B \to \hat {A}/ \varpi $ se relève en un morphisme $B \rightarrow \hat {A} $ puis en $\hat {B} \rightarrow \hat {A} $ , où $\hat {B}$ est la complétion $\varpi $ -adique de B. Le diagramme commutatif

fournit un morphisme envoyant $Z_i$ sur $x_i^{*}$ . Par Nakayama topologique, $\beta $ est un isomorphisme car il l’est modulo $(Z_1,...,Z_r,\varpi )$ par construction. On conclut en passant à la fibre génerique.

Notons $S=\operatorname {\mathrm {Sp}}(\hat {B} \otimes _{{\mathcal {O}}_L} L)$ et $X=\{Z=(Z_1,\cdots , Z_r)\in \mathring {{\mathbb {B}}}^{r}_L :Z^{\alpha }=\varpi \} $ . Le lemme ci-dessus fournit un diagramme commutatif

où C et $C'$ sont les espaces par

$$\begin{align*}C&=\left\lbrace s\in X |\, |Z_{j_1} (s)|\leq \lambda, |Z_{j_2} (s)|=\beta, |Z_{j_3} (s)|\leq\beta,\, \forall j_k\in J_k\right\rbrace ,\\C'&=\left\lbrace s\in X|\, |Z_{j_1} (s)|\leq \lambda, |Z_{j_2} (s)|=\beta, |Z_{j_3} (s)|=\beta,\, \forall j_k\in J_k\right\rbrace.\end{align*}$$

On se place maintenant dans le cas où ${\mathcal {X}}$ est semi-stable ie. $\forall i\in I, \alpha _i=1$ . Alors, en exprimant $Z_1$ en fonction des variables $Z_2, \cdots , Z_{r}$ , nous pourrons voir les espaces C, $C'$ comme des tores monomiaux géométriquement connexes. Comme on peut raisonner sur chaque composante de S, on suppose de même S connexe. Enfin, quitte à étendre les scalaires, on suppose le corps de base L complet algébriquement clos.

Démonstration. On raisonne sur C, l’argument sera le même pour $C'$ . Introduisons le diagramme

On se donne $c_0 \in C$ un point géométrique et on note $\iota : c_0 \times S \to C \times S$ . D’après la suite spectrale de Leray, on a une suite exacte:

$$\begin{align*}0 \to \operatorname{\mathrm{R}}^1\varphi_* \mu_{n,S}^{\pi_0(C)} \xrightarrow{\operatorname{\mathrm{R}}^1pr_1^{*}} \operatorname{\mathrm{R}}^1 \varphi_* \mu_{n,S \times C} \to \varphi_* \operatorname{\mathrm{R}}^1 pr_{1,*}\mu_{n,S \times C} \to \operatorname{\mathrm{R}}^2 \varphi_* \mu_{n,S}^{\pi_0(C)} \xrightarrow{\operatorname{\mathrm{R}}^2pr_1^{*}} \operatorname{\mathrm{R}}^2 \varphi_* \mu_{n,S\times C}. \end{align*}$$

Les morphismes induits $\operatorname {\mathrm {R}}^1 \iota ^{*}$ et $\operatorname {\mathrm {R}}^2 \iota ^{*}$ fournissent des inverses à droite de $\operatorname {\mathrm {R}}^1pr_{1}^{*}$ et $\operatorname {\mathrm {R}}^2 pr_{1}^{*}$ , d’où une suite exacte de faisceaux scindée:

$$\begin{align*}0 \to (\operatorname{\mathrm{R}}^1\varphi_* \mu_{n,S})^{\pi_0(C)} \xrightarrow{\operatorname{\mathrm{R}}^1pr_1^{*}} \operatorname{\mathrm{R}}^1 \varphi_* \mu_{n,S \times C} \to \varphi_* \operatorname{\mathrm{R}}^1 pr_{1,*}\mu_{n, S \times C} \to 0 \end{align*}$$

et une identification $\varphi _* \operatorname {\mathrm {R}}^1 pr_{1,*}\mu _{n,S \times C} \cong \ker (\operatorname {\mathrm {R}}^1 \iota ^{*})$ .

Les flèches naturelles compatibles $\mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(C, \mu _n)\to \mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(U\times C, \mu _n)$ induisent un morphisme entre le préfaisceau constant $\mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(C, \mu _n)|_S$ et le préfaisceau $U\mapsto \mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(U\times C, \mu _n)$ . En passant au faisceau associé, on obtient un morphisme naturel $\delta :\mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(C, \mu _n)|_S\to \operatorname {\mathrm {R}}^1 pr_{1,*}\mu _{n,S \times C}$ . Le faisceau $pr_{1,*} \mu _{n,S \times C}$ est surconvergent en tant qu’image directe d’un faisceau constant (à quelques twists à la Tate près), on a d’après [Reference de Jong and van der Put9, Th. 3.7.3] $(\operatorname {\mathrm {R}}^1 pr_{1,*}\mu _{n,S \times C})_s{\kern-1pt}\cong{\kern-1pt} \mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(C, \mu _n)$ pour tout point $s\in S$ et $\delta $ est un isomorphisme.

Comme S et C sont connexes, on a, en prenant les sections globales, une suite exacte scindée

$$\begin{align*}0 \to \mathrm{H}^{1}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(S, \mu_n) \to \mathrm{H}^{1}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(S \times C, \mu_n) \to \mathrm{ H}^{1}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(C, \mu_n) \to 0 \end{align*}$$

avec $\mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(C, \mu _n) \stackrel {\sim }{\rightarrow } \ker (\iota ^{*})$ . Mais, on a un morphisme injectif $\mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(C, \mu _n) \to \mathrm {H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(S \times C, \mu _n)$ induit par $pr_{2}^{*}$ . Il reste à prouver que $\ker (\iota ^{*})= \mathrm {im}(pr_{2}^{*})$ . Le morphisme $pr_2^{*}$ envoie un revêtement ${\mathcal {T}}$ sur $S \times {\mathcal {T}}$ et $\iota ^{*}$ envoie ${\mathcal {T}}'$ sur $S \times C$ vers sa restriction à $S \times c_0 \cong S$ . Il est aisé de voir que $\iota ^{*} \circ pr_2^{*}=0$ (i.e., $\mathrm { im}(pr_{2}^{*})\subset \ker (\iota ^{*})$ ). Mais ces deux groupes ont tous deux pour ordre $|\mathrm { H}^{1}_{\acute {\mathrm {e}}\mathrm {t}}(C, \mu _n)|<\infty $ (cf 5.6 et 5.7), ils sont donc confondus. On a donc la décomposition

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{1}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(S \times C, \mu_n) = \mathrm{im}(pr_{1}^{*}) \oplus \mathrm{im}(pr_{2}^{*}). \end{align*}$$

L’énoncé est une traduction en termes de torseurs de cette égalité.

L’espace ${\mathcal {T}}_1\times _L{\mathcal {T}}_2$ est un revêtement de ${\mathcal {T}}$ de groupe de Galois $H=\{(g,g^{-1}) : g\in \mu _n\}$ et un revêtement de $S\times C$ de groupe de Galois $\mu _n^2$ . On obtient l’égalité par Künneth:

$$ \begin{align*} \mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{T}}) = \mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{T}}_1\times_L{\mathcal{T}}_2)^H &= ( \bigoplus\limits_{{\substack{\chi_1, \chi_2\in \mu_n^\lor }}}^{}{\mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}_1\times {\mathcal{T}}_2)[ \chi_1, \chi_2] }))^H\\ &=\bigoplus\limits_{{\substack{ q_1 +q_2=q}}}^{}{\bigoplus\limits_{{\substack{\chi\in \mu_n^\lor }}}^{}{\mathrm{ H}^{q_1}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}_1)[ \chi]\otimes \mathrm{H}^{q_2}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}_2)[ \chi]. }} \end{align*} $$

De même pour ${\mathcal {T}}_1\times _L{\mathcal {T}}_2'$ par rapport à ${\mathcal {T}}'$ et $S\times C'$ , on a

$$ \begin{align*}\mathrm{H}^{q}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}') = \bigoplus\limits_{{\substack{ q_1 +q_2=q}}}^{}{\bigoplus\limits_{{\substack{\chi\in \mu_n^\lor }}}^{}{\mathrm{H}^{q_1}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}_1)[ \chi]\otimes \mathrm{H}^{q_2}_{\mathrm{dR}} ({\mathcal{T}}_2')[ \chi] }}.\end{align*} $$

On en déduit le diagramme commutatif

Mais d’après 5.10, la flèche $\iota ^{*}$ est un isomorphisme et les deux flèches verticales sont des bijections. On peut alors appliquer 5.14 pour prouver le théorème 5.1.

Supposons maintenant ${\mathcal {X}}$ semi-stable généralisé et $\pi =\mathrm {Id}$ . On considère le tore monomial

$$\begin{align*}Y=\{\tilde{Z}=(T, Z_1,\cdots, Z_d): T\prod_{i=0}^d Z_i^{\alpha_i}=\varpi \text{ et } |T|\le \lambda^{1/\alpha_0}, |Z_{j_1} (s)|\leq \lambda, |Z_{j_2} (s)|=\beta, |Z_{j_3} (s)|\leq\beta\, \forall j_k\in J_k\}\end{align*}$$

et on peut écrire $C=Y(T^{1/\alpha _0})$ . En raisonnant de même sur $C'$ , on observe l’isomorphisme $\mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}(C)\cong \mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}(C')$ d’après 5.10 et on en déduit $\mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}(S\times C)\cong \mathrm {H}^{*}_{\mathrm {dR}}(S\times C')$ par Künneth.

6.1 Le tube au-dessus d’une composante irréductible

Le but de ce paragraphe est de calculer la cohomologie de de Rham du tube au-dessus d’une composante irréductible (i.e., $\mathrm {H}^{r}_{\mathrm {dR}}(\Sigma ^1_{ \operatorname {\mathrm {Ost}}(s)})$ , plus précisément de démontrer le résultat suivant):

Proposition 6.2. Si $s\in {\mathcal {B}}{\mathcal {T}}_0$ est un sommet, il existe un isomorphisme n

$$ \begin{align*}\mathrm{ H}^{r}_{\mathrm{dR},c}(\Sigma^1_{\breve{K}_N, \operatorname{\mathrm{Ost}}(s)})[\theta] = \begin{cases} \mathrm{ H}^{d}_{\mathrm{rig},c}(\operatorname{\mathrm{DL}}_{{\mathbb{F}}}^d/\breve{K}_N )[\theta] & \text{si } r=d \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.\end{align*} $$

D’après le théorème 5.1 et la discussion dans le paragraphe précédent on a un isomorphisme naturel (induit par la restriction)

$$ \begin{align*}\mathrm{H}^{r}_{\mathrm{dR}}(\Sigma^1_{ \operatorname{\mathrm{Ost}}(s)})\simeq \mathrm{H}^{r}_{\mathrm{dR}}(\Sigma^1_{ s}).\end{align*} $$

Pour étudier $ \mathrm {H}^{r}_{\mathrm {dR}}(\Sigma ^1_{ s})$ , nous devons rendre explicite le lien entre $\Sigma ^1_s$ et la variété de Deligne-Lusztig $\operatorname {\mathrm {DL}}_{\overline {{\mathbb {F}}}}^d$ . Ce lien est établi dans [Reference Wang32, 2.3.8], mais nous allons donner l’argument pour le confort du lecteur.

Grâce au lemme précédent et à 2.3 on obtient des isomorphismes $\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}({\mathcal {O}}_K)\times {\mathcal {O}}_D^{*}/ (1+ \Pi _D {\mathcal {O}}_D)$ -équivariants

$$\begin{align*}\mathrm{H}^{r}_{\mathrm{dR}}( \Sigma^1_{\breve{K}_N, s}) \cong \mathrm{H}^{r}_{\mathrm{rig}}(\overline{\Sigma}^1_{s}/\breve{K}_N) \cong \mathrm{H}^{r}_{\mathrm{ rig}}(\operatorname{\mathrm{DL}}_{{\mathbb{F}}}^d/\breve{K}_N),\end{align*}$$

ce qui termine la preuve de la proposition 6.2.

Démonstration. On peut supposer que s est le sommet standard. L’énoncé du théorème 3.5 introduit une fonction inversible $u_1$ sur ${\mathbb {H}}_{\breve {K}_N,s}^d$ voire même sur ${\mathbb {H}}_{{\mathcal {O}}_{\breve {K}_N},s}^d$ telle que $\Sigma ^1_{\breve {K}_N,s}= {\mathbb {H}}_{\breve {K}_N,s}^d(u_1^{\frac {1}{N}})$ . La normalisation de ${\mathbb {H}}^d_{{\mathcal {O}}_{\breve {K}},s}$ dans $\Sigma ^1_{\breve {K}_N,s}$ fournit un modèle entier $\widehat {\Sigma }_{s}^{1}={\mathbb {H}}_{{\mathcal {O}}_{\breve {K}_N},s}^d(u_1^{\frac {1}{N}})$ de fibre spéciale

$$\begin{align*}\overline{\Sigma}^1_{s}= {\mathbb{H}}_{\overline{{\mathbb{F}}},s}^d(u_1^{\frac{1}{N}}). \end{align*}$$

D’après 4.1, le revêtement de type Kummer $ {\mathbb {H}}_{\overline {{\mathbb {F}}},s}^d(u_1^{\frac {1}{N}})$ admet un isomorphisme ${\mathbb {F}}_{q^{d+1}}^{*}$ -équivariant vers $\operatorname {\mathrm {DL}}_{\overline {{\mathbb {F}}}}^d$ . Le reste de la preuve consiste à montrer qu’il est de plus $G^{\circ }:=\operatorname {\mathrm {GL}}_{d+1}({\mathcal {O}}_K)$ -équivariant.

Rappelons que toutes les actions possibles de $G^{\circ }$ sur $ \overline {\Sigma }^1_s$ ou sur ${\Sigma }^1_s$ commutant avec le revêtement se déduisent l’une de l’autre en tordant par un caractère

$$\begin{align*}\chi \in \operatorname{\mathrm{Hom}} (G^{\circ},\mu_N(\overline{{\mathbb{F}}}))\cong{\mathbb{F}}^{*},\end{align*}$$

d’après [Reference Junger26, Remarque 4.12]. Plus précisément, pour T une racine N-ième de $u_1$ dans ${\mathscr {O}}(\overline {\Sigma }^1_s )={\mathscr {O}}(\operatorname {\mathrm {DL}}_{\overline {{\mathbb {F}}}}^d )$ ou dans ${\mathscr {O}}({\Sigma }^1_s )$ , le caractère $\chi $ associé à deux actions de $G^{\circ }$ notées $g\mapsto [g]_1$ et $g\mapsto [g]_2$ est donné par $\chi (g)=[g]_1\cdot T / [g]_2 \cdot T $ . On en déduit aussi que l’on a une bijection entre les actions de $G^{\circ }$ sur $ \overline {\Sigma }^1_s$ et celles sur ${\Sigma }^1_s$ qui préserve les caractères $\chi $ .

Nous étudions maintenant le cas où $g\mapsto [g]_1$ (resp. $g\mapsto [g]_2$ ) est l’action provenant de $\Sigma ^1$ (resp. de $\operatorname {\mathrm {DL}}_{{\mathbb {F}}}^d$ ). Il s’agit de prouver que le caractère obtenu est trivial. On voit aisément que ce dernier se factorise via la flèche $G^{\circ } \xrightarrow []{\det } {\mathcal {O}}_{K}^{*} \to {\mathbb {F}}^{*}$ car $1+\varpi {\mathcal {O}}_K$ est N-divisible. Comme ${\mathbb {F}}^{*}$ est cyclique, il suffit de raisonner sur une matrice $g\in G^{\circ }$ telle que $\det g$ engendre ${\mathbb {F}}^{*}$ et sur la fibre d’un point $y\in {\mathbb {H}}_{{\mathcal {O}}_{\breve {K}}}^d( {\mathcal {O}}_{\breve {K}})$ fixé par g.

Expliquons comment choisir cette matrice. Observons que la norme $N: {\mathbb {F}}_{q^{d+1}}^{*}\to {\mathbb {F}}^{*}$ est surjectiveFootnote ¹² . On se donne $\lambda \in {\mathbb {F}}_{q^{d+1}}$ un élément dont la norme engendre ${\mathbb {F}}^{*}$ si bien que ${\mathbb {F}}_{q^{d+1}}= {\mathbb {F}}[\lambda ] $ et le polynôme minimal sur ${\mathbb {F}}$ de $\lambda $ est de degré $d+1$ . De plus, n’importe quel relevé unitaire P sur ${\mathcal {O}}_{K}$ est encore irréductible de degré $d+1$ . Donnons-nous une matrice $g\in \operatorname {\mathrm {M}}_{d+1}({\mathcal {O}}_K)$ de polynôme caractéristique P (par exemple la matrice compagnon associée). Ainsi, g est dans $G^{\circ }$ , régulière elliptique et son déterminant engendre ${\mathbb {F}}^{*}$ .

L’élément g admet $d+1$ points fixes distincts dans ${\mathbb {P}}^{d}({\mathcal {O}}_{C})$ qui correspondent aux droites propres de g dans $C^{d+1}$ . Montrons qu’elles sont toutes dans ${\mathbb {H}}^d_{K,s}(C)$ . Pour cela, pour tout vecteur propre $v\in C^{d+1}$ que l’on suppose unimodulaire à normalisation près, nous devons prouver que les coordonnées de v modulo $\varpi $ sont libres sur ${\mathbb {F}}$ . Supposons que ce ne soit pas le cas et prenons $a\in {\mathbb {F}}^{d+1}\backslash \{0\}$ tel que $\langle a, v \rangle =0$ . Ainsi

$$\begin{align*}\langle (g)^t a , v \rangle= \langle a , g v \rangle = \lambda \langle a, v \rangle =0 \end{align*}$$

et $v^{\perp }\cap {\mathbb {F}}^{d+1}$ est stable sous l’action de $g^t$ . Comme le polynôme caractéristique P de $g^t$ est irréductible surFootnote ¹³ ${\mathbb {F}}$ , $v^{\perp } \cap {\mathbb {F}}^{d+1}= {\mathbb {F}}^{d+1}$ ie. $v=0$ , d’où une contradiction.

Prenons $y\in {\mathbb {H}}^d_{{\mathcal {O}}_{\breve {K}},s}({\mathcal {O}}_{C}) $ le point fixe de g correspondant à la valeur propre $\lambda $ et $\overline {y}\in {\mathbb {H}}^d_{\overline {{\mathbb {F}}},s }(\overline {{\mathbb {F}}})$ sa spécialisation. D’après 4.1, un point $x\in \operatorname {\mathrm {DL}}_{\overline {{\mathbb {F}}}}^d (\overline {{\mathbb {F}}})$ corresponds à un vecteur $x=(x_0,\ldots , x_d)$ dans $\overline {{\mathbb {F}}}^{d+1}$ tel que $\tilde {u}_1(x)=1$ . De plus, x est dans la fibre $ \pi ^{-1}(\overline {y})$ , si x engendre la droite $\overline {y}$ . Dans ce cas, $[g]_2\cdot x = \lambda x$ . Mais d’après la description de l’isomorphisme $\operatorname {\mathrm {DL}}^d_{\overline {{\mathbb {F}}}}(\overline {{\mathbb {F}}}) \stackrel {\sim }{\rightarrow } {\mathbb {H}}_{\overline {{\mathbb {F}}},s}^d(u_1^{\frac {1}{N}})$ donnée dans 4.2, on a $T=\frac {1}{x_0}$ et donc $[g]_2\cdot T= \lambda ^{-1}T$ sur $ \pi ^{-1}(\overline {y})$ .

Decrivons maintenant l’action provenant du premier revêtement $\Sigma ^1$ . D’aprèsFootnote ¹⁴ [Reference Junger26, Corollaire 3.10], la restriction ${\mathfrak {X}}[\Pi _D]_s$ des points de torsion du module universel ${\mathfrak {X}}[\Pi _D]$ au dessus du sommet s est affine de sections

$$\begin{align*}{\mathscr{O}}({\mathfrak{X}}[\Pi_D]_s)= {\mathscr{O}}({\mathbb{H}}^d_{{\mathcal{O}}_{\breve{K}},s})[\tilde{T}]/ (\tilde{T}^{N+1}-\varpi u_1 \tilde{T}). \end{align*}$$

Rappelons que ${\mathscr {O}}({\Sigma }_s^1)={\mathscr {O}}({\mathfrak {X}}[\Pi _D]_s)[1/\tilde {T}, 1/\varpi ]$ et $\tilde {T}=\varpi _N T$ dans ${\mathscr {O}}({\Sigma }_s^1)\otimes \breve {K}_N$ . Ainsi, calculer $[g]_1 \cdot \tilde {T}$ dans ${\mathscr {O}}({\mathfrak {X}}[\Pi _D]_s)$ revient à déterminer $[g]_1 \cdot T$ dans ${\mathscr {O}}({\Sigma }_s^1)$ ou dans ${\mathscr {O}}(\overline {\Sigma }_s^1)$ . Plaçons-nous donc sur ${\mathscr {O}}({\mathfrak {X}}[\Pi _D]_s)$ et plus précisément sur l’idéal d’augmentation ${\mathcal {I}}=\bigoplus _{i = 1}^{N} \tilde {T}^i {\mathscr {O}}({\mathbb {H}}^d_{{\mathcal {O}}_{\breve {K}},s})$ de ${\mathscr {O}}({\mathfrak {X}}[\Pi _D]_s)$ . La description précédente de l’idéal d’augmentation est en fait la décomposition en partie isotypique pour l’action de ${\mathcal {O}}_{(d+1)}^{*}(\subset {\mathcal {O}}_{D}^{*})$ . Le cotangent de ${\mathfrak {X}}[\Pi _D]_s$ s'écrit:

$$\begin{align*}\mathcal{I}/\mathcal{I}^2=\tilde{T} \mathscr{O}(\mathfrak{X}[\Pi_D]_s)/\tilde{T}^2 \mathscr{O}(\mathfrak{X}[\Pi_D]_s)\cong\tilde{T}\cdot\mathscr{O}(\mathbb{H}^d_{\mathcal{O}_{\breve{K}},s})/\varpi. \end{align*}$$

Mais, on a aussi

$$\begin{align*}{\mathcal{I}}/{\mathcal{I}}^2 =(\operatorname{\mathrm{Lie}} {\mathfrak{X}}[\Pi_D]_s)^\vee=\ker (\Pi : \operatorname{\mathrm{Lie}} {\mathfrak{X}}_s \to \operatorname{\mathrm{Lie}} {\mathfrak{X}}_s)^\vee=(\operatorname{\mathrm{Lie}} {\mathfrak{X}}_s)^\vee / \Pi_{D,*}(\operatorname{\mathrm{Lie}} {\mathfrak{X}}_s)^\vee,\end{align*}$$

il suffit donc de montrer que de comprendre l'action de la matrice g fixée sur la partie isotypique $(\mathrm{Lie} \mathfrak{X}_s )_d|_{\bar{y}}$ correspondante.

Utilisons la théorie de Cartier pour décrire le plan tangent. D’après 3.3, un point fermé $z\in {\mathbb {H}}^d_{\overline {{\mathbb {F}}}}(\overline {{\mathbb {F}}})$ correspond à un coupleFootnote ¹⁵ $(X,\rho )$ où X est un ${\mathcal {O}}_D$ -module formel spécial sur $\overline {{\mathbb {F}}}$ et $\rho $ une quasi-isogénie $ \Phi \rightarrow X$ de hauteur $0$ . Aux modules X et $\Phi $ correspondent des modules de Cartier $M_X $ et $M_{\Phi } $ surFootnote ¹⁶ ${\mathcal {O}}_{\breve {K}}\langle F, V \rangle $ (ainsi qu’un opérateur $\Pi $ qui commute à F, V) qui sont libres de rang $4$ sur ${\mathcal {O}}_{\breve {K}}$ et la quasi-isogénie $\rho $ induit un isomorphisme $M_{X}[\frac {1}{p}] \stackrel {\sim }{\rightarrow } M_{\Phi } [\frac {1}{p}]$ . Nous allons chercher à déterminer dans la suite les couples $(M_X,\rho )$ qui correspondent aux points de ${\mathbb {H}}^d_{\overline {{\mathbb {F}}},s}(\overline {{\mathbb {F}}})\subset {\mathbb {H}}^d_{\overline {{\mathbb {F}}}}(\overline {{\mathbb {F}}})$ . Pour cela, nous aurons besoin de quelques résultats classiques sur les modules de Cartier spéciaux.

L’action de ${\mathcal {O}}_{(d+1)}$ sur $M_X$ et $M_{\Phi }$ induit des $\mathbb{Z}/(d+1)\mathbb{Z}$ -graduations $M_X= \sum _{i\in {\mathbb {Z}}/(d+1){\mathbb {Z}}} M_{X,i}$ (de même pour $M_{\Phi }$ ) suivant les plongements de ${\mathcal {O}}_{(d+1)}$ dans ${\mathcal {O}}_{\breve {K}}$ . Les opérateurs V, $\Pi $ sont de degré $1$ et F est de degré $-1$ . On a le résultat classique suivant:

Lemme 6.4. Soit $X/\overline {{\mathbb {F}}}$ un ${\mathcal {O}}_D$ -module formel spécial de dimension $(d+1)$ et de hauteur $(d+1)^2$ et $M_X$ le module de Cartier associé. On a les points suivants:

1. 1. On a une identification $\operatorname {\mathrm {Lie}} X \cong M_X/VM_X$ et les parties isotypiques sont de la forme $(\operatorname {\mathrm {Lie}} X)_i=M_{X,i}/VM_{X,i-1}$ .

2. 2. Pour tout $i\in {\mathbb {Z}}/(d+1){\mathbb {Z}}$ , on a $[M_{X,i},VM_{X,i-1}]=[M_{X,i},\Pi M_{X,i-1}]=1$ et $[M_{X,i},FM_{X,i+1}]=d$ .

3. 3. Soit $i\in {\mathbb {Z}}/(d+1){\mathbb {Z}}$ , les points suivants sont équivalents :

   1. (a) $\Pi :(\operatorname {\mathrm {Lie}} X)_i\to (\operatorname {\mathrm {Lie}} X)_{i+1}$ est nulle,

   2. (b) $\Pi M_{X,i}\subset VM_{X,i}$ ,

   3. (c) $\Pi M_{X,i}=VM_{X,i}$ ,

   4. (d) $M_{X,i+1}\neq \Pi M_{X,i} +VM_{X,i}$ ,

   5. (e) $M_{X,i}=M_{X,i}^{V^{-1}\Pi }\otimes _{{\mathcal {O}}_K}{\mathcal {O}}_{\breve {K}}$ où $M_{X,i}^{V^{-1}\Pi }=\{m\in M_{X,i} : V m=\Pi m \}$ .

   Lorsque ces hypothèses sont vérifiées, on dit que i est un indice critique.

4. 4. Il existe au moins un indice critique.

Démonstration. Pour $1.$ , la deuxième assertion découle de la première qui est prouvée dans [Reference Zink36, Th. 4.23]. Le reste a été prouvé dans [Reference Boutot and Carayol4, §II.5] quand $d=1$ . La traduction de ces arguments en dimension quelconque est transparente, mais nous en donnons quelques explications succinctes. Pour $2.$ l’égalité $[M_{X,i},VM_{X,i-1}]=1$ provient du caractère spécial. Le reste se déduit du fait que $\Pi $ , V, F commutent entre eux, et des identités $[M_{X},\varpi M_{X}]=(d+1)^2$ (la hauteur de X) et $FV=\Pi ^{d+1}=\varpi $ . Pour $3.$ , $(a)$ et $(b)$ sont équivalents d’après $1$ . Le point $2.$ fournit le sens non-trivial de l’équivalence de $(c)$ avec $(a)$ , $(b)$ (idem pour $(d)\Leftrightarrow (c)$ ). Pour $(c)\Rightarrow (e)$ , on applique la classification de Dieudonné-Manin à l’isocrystal $(M_{X,i}[1/p],V^{-1}\Pi )$ (l’autre sens est clair). Pour $4.$ , on observe que la flèche $\Pi ^{d+1}=\varpi : M_X/VM_X \to M_X/VM_X$ est nulle.

Pour simplifier, nous supposerons que tous les indices de $M_{\Phi }$ sont critiques. Dans ce cas, un couple $(M_X,\rho )$ est dans ${\mathbb {H}}^d_{\overline {{\mathbb {F}}},s}(\overline {{\mathbb {F}}})$ si et seulement si $\rho M_{X,d}=M_{\Phi ,d}$ et d est le seul indice critique de $M_X$ . Pour un tel couple, on a une suite d’inclusion

$$\begin{align*}\varpi M_{X,d}\subset \Pi^d M_{X,0}\subset M_{X,d}\end{align*}$$

qui définit une droite (d’après le point 4. et 2. de 6.4) $D:=\Pi ^d M_{X,0}/ \varpi M_{X,d}$ dans $M_{X,d}/ \varpi M_{X,d}$ et donc une flèche

$$\begin{align*}\psi :{\mathbb{H}}^d_{\overline{{\mathbb{F}}},s}(\overline{{\mathbb{F}}})\to {\mathbb{P}}(M_{X,d}/\varpi M_{X,d})\cong{\mathbb{P}}^d(\overline{{\mathbb{F}}}).\end{align*}$$

Grâce au point 3. (e) de 6.4, on peut identifier

$$\begin{align*} \mathbb{P}(M_{X,d}^{V^{-1}\Pi}/\varpi )\cong\mathbb{P}(\mathbb{F}), \ \ \ \mathbb{P}(M_{X,d}/\varpi )\backslash \bigcup_{H\in \mathbb{P}(M_{X,d}^{V^{-1}\Pi}/\varpi )}H\cong\mathbb{P}^d(\bar{\mathbb{F}})\backslash \bigcup_{H\in \mathbb{P}^d(\mathbb{F})}H \end{align*}$$

et $\mathrm{GL}_{d+1}(\mathbb{F})\cong \mathrm{GL}((M_{X,d}^{V^{-1}\Pi}/\varpi)$ . On en déduit une action de $G^{\circ}$ par inflation $\mathbb{P}^d(\bar{\mathbb{F}})\backslash \bigcup_{H\in \mathbb{P}^d(\mathbb{F})}H$ . Grâce à ces constructions, on peut décrire explicitement la restriction de l’isomorphisme dans 3.3 sur les points géométriques de ${\mathbb {H}}^d_{\overline {{\mathbb {F}}},s}$ .

Lemme 6.5. L’application $\psi $ définie précédemment induit une bijection $G^{\circ }$ -équivariante:

$$\begin{align*}{\mathbb{H}}^d_{\overline{{\mathbb{F}}},s}(\overline{{\mathbb{F}}}) \stackrel{\sim}{\rightarrow} {\mathbb{P}}^d(\overline{{\mathbb{F}}})\backslash \bigcup_{H\in {\mathbb{P}}^d({\mathbb{F}})}H.\end{align*}$$

Démonstration. Notons qu’un couple $(M_X,\rho )$ dans ${\mathbb {H}}^d_{\overline {{\mathbb {F}}},s}(\overline {{\mathbb {F}}})$ est déterminé par la donnée des inclusions $\rho M_{X,i}\subset M_{\Phi } [\frac {1}{p}]$ . Par hypothèse, il suffit d’étudier les cas $i\neq d$ . Comme aucun de ces indices ne sont critiques, on a les identités (cf 3. (d) dans 6.4)

$$\begin{align*}M_{X,1}=VM_{X,0}+\Pi M_{X,0}, \cdots , \ M_{X,d-1}=VM_{X,d-2} +\Pi M_{X,d-2}\end{align*}$$

et le sous-module $M_{X,0}$ détermine $M_{X,1}, \dots , M_{X,d-1}$ . Revenons à $\psi $ , la droite $\Pi ^d M_{X,0}/ \varpi M_{X,d}\subset M_{X,d}/ \varpi M_{X,d}$ détermine $\rho \Pi ^d M_{X,0}$ (car $\rho M_{X,d}$ et $\rho \varpi M_{X,d}$ sont fixés) et donc le module $\rho M_{X,0}$ par injectivité de la multiplication par $\Pi $ . Dit autrement, l’application $\psi $ est injective.

Il reste à prouver que l’image de cette flèche est l’ouvert décrit dans l’énoncé. Prenons un couple $(M_X,\rho )\in {\mathbb {H}}^d_{\overline {{\mathbb {F}}}}(\overline {{\mathbb {F}}})$ tel que $\rho M_{X, d}=M_{\Phi ,d}$ et on fixe $m_0\in M_{X,0}\backslash V M_{X,d}$ . En particulier, $m_0$ engendre $\operatorname {\mathrm {Lie}} (X)_0$ . Le point crucial est d’observer l’équivalence suivante: d est le seul indice critique si et seulement si $(\Pi ^i V^{d-i} m_0)_i$ est une $\overline {{\mathbb {F}}}$ -base de $M_{X,d}/\varpi M_{X,d}$ . Supposons le deuxième hypothèse, le module suivant est contenue dans $V M_{X,d-1}$ et est d’indice $1$ dans $M_{X,d}$

$$\begin{align*}{\mathcal{O}}_{\breve{K}}\cdot V^d m_0+\cdots +{\mathcal{O}}_{\breve{K}}\cdot V \Pi^{d-1}m_0 +\varpi M_{X,d}.\end{align*}$$

Il est donc confondu avec $VM_{X,d-1}$ d’après le point 2. de 6.4. Ainsi, $\Pi ^d m_0$ engendre $\operatorname {\mathrm {Lie}} (X)_d$ et la flèche $\Pi ^{ d} :\operatorname {\mathrm {Lie}} (X)_0\to \operatorname {\mathrm {Lie}} (X)_d$ est non nulle ce qui montre que d est le seul indice critique. Réciproquement, supposons les indices $0,\dots , d-1$ non critiques et établissons d’abord par récurrence sur $0\le k\le d$ :

$$\begin{align*}M_{X,k}&= {\mathcal{O}}_{\breve{K}}\cdot V^k m_0 +{\mathcal{O}}_{\breve{K}}\cdot V^{k-1}\Pi m_0+\cdots +{\mathcal{O}}_{\breve{K}}\cdot\Pi^k m_0 +V^{k+1} M_{X,d},\\V M_{X,k-1}&={\mathcal{O}}_{\breve{K}}\cdot V^k m_0 + {\mathcal{O}}_{\breve{K}}\cdot V^{k-1}\Pi m_0+\cdots +{\mathcal{O}}_{\breve{K}}\cdot V\Pi^{k-1} m_0 +V^{k+1} M_{X,d} \end{align*}$$

Le cas $k=0$ est une conséquence directe de la définition de $m_0$ . Pour l’hérédité, cela découle de la relation $M_{X,k+1}=\Pi M_{X,k}+V M_{X,k}$ pour $k\neq d$ . Quand k vaut d, on en déduit que la famille $(\Pi ^i V^{d-i} m_0)_i$ engendre

$$\begin{align*}M_{X,d}/V^{d+1} M_{X,d}=M_{X,d}/\Pi^{d+1} M_{X,d}=M_{X,d}/\varpi M_{X,d}\end{align*}$$

et est donc une base par argument de dimension.

Pour terminer la preuve, écrivons $\Pi ^d m_0=\sum _i a_i x_i$ dans une base $(x_i)_i$ de $M_{X,d}$ par des éléments de $M_{X,d}^{V^{-1}\Pi }$ . On obtient alors dans $M_{X,d}/\varpi M_{X,d}$ :

$$\begin{align*}\Pi^{d-i} V^i m_0=(\Pi^{-1}V)^i \Pi^d m_0=\sum_i a_i^{1/p^i} x_i.\end{align*}$$

Le même argument que dans la preuve de 4.1 montre que $(\Pi ^i V^{d-i} m_0)_i$ est une $\overline {{\mathbb {F}}}$ -base de $M_{X,d}/\varpi M_{X,d}$ si et seulement si $\overline {{\mathbb {F}}}\cdot V^d m_0 \in {\mathbb {P}}^d(\overline {{\mathbb {F}}})\backslash \bigcup _{H\in {\mathbb {P}}^d({\mathbb {F}})}H$ si et seulement si $\overline {{\mathbb {F}}} \cdot \Pi ^d m_0 \in {\mathbb {P}}^d(\overline {{\mathbb {F}}})\backslash \bigcup _{H\in {\mathbb {P}}^d({\mathbb {F}})}H$ .

Nous appellerons l’isomorphisme précédent morphisme des périodes. Nous pouvons maintenant terminer la preuve du résultat. Reprenons la matrice g construite précédemment ainsi que la droite propre $\overline {y}\in {\mathbb {H}}^d_{\overline {{\mathbb {F}}},s}(\overline {{\mathbb {F}}})$ associée à la valeur propre $\lambda $ . Via l’application des périodes, cette droite détermine un couple $(M_X,\rho )$ pour lequel g agit par multiplication par $\lambda $ sur $D:=\Pi ^d M_{X,0}/ \varpi M_{X,d}$ . En reprenant les arguments de la preuve du lemme précédent, les générateurs de D engendrent $\operatorname {\mathrm {Lie}} (X)_d$ où g agit donc par multiplication par $\lambda $ sur $\operatorname {\mathrm {Lie}} (X)_d$ . Comme l’indice d est critique, on a $\operatorname {\mathrm {Lie}} (X)_d =\ker (\Pi : \operatorname {\mathrm {Lie}} (X)_d\to \operatorname {\mathrm {Lie}} (X)_0)$ d’où $[g]_1\cdot T=\lambda ^{-1} T$ sur $\pi ^{-1} (\overline {y})$ par dualité. Le résultat s’en déduit.

6.2 Le tube au-dessus d’une intersection de composantes irréductibles

Le but de ce paragraphe est de démontrer le résultat suivant:

En utilisant l’action de G, on peut supposer que $\sigma $ est un simplexe standard (en particulier, on a $\sigma =\{[M_i]\}_i$ avec $M_0={\mathcal {O}}_K^{d+1}$ ), de dimension $k\geq 1$ et de type $(e_0,...,e_k)$ . D’après le théorème 5.1, on dispose d’un isomorphisme naturel