0 Introduction
Soit X une variété lisse et quasi-projective de dimension m, définie sur le corps
${\mathbb {C}}$
. Soit E un faisceau localement libre de rang r au dessus de X. Pour un entier fixé
$d>0$
et un d-uplet
$\boldsymbol {n} = (0\leq n_1 \leq \cdots \leq n_d)$
d’entiers non-décroissant, on considère le schéma Quot ponctuel emboîté
$$ \begin{align*} \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}) = \bigl\{\bigl[E \twoheadrightarrow T_d \twoheadrightarrow \cdots \twoheadrightarrow T_1\bigr]\big|\dim(T_i) = 0,\,\chi(T_i) = n_i\bigr\}, \end{align*} $$
où la dimension d’un faisceau cohérent T est, par définition, la dimension de son support.
Dans cet article on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour que le schéma
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
soit lisse. Quand
$d=1$
on retrouve le schéma Quot de Grothendieck et par abus on remplace l’écriture
$\boldsymbol {n} = (0\leq n)$
par l’entier
$n \in {\mathbb {N}}$
correspondant. Sans que cela impacte la généralité de notre propos, on suppose au cours du théorème suivant que
$\boldsymbol {n}$
est de la forme
$\boldsymbol {n} = (0<n_1<\cdots <n_d)$
.
Théorème A Soit
$(X,E,\boldsymbol {n})$
comme ci-dessus. Alors
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
est lisse dans les cas suivants:
-
(1) Si
$m=1$
, pour tout choix de
$(E,d,\boldsymbol {n})$
, -
(2) si
$d=1$
et
$n=1$
, -
(3) si
$r=1$
, dans les cas suivants:-
(a)
$m=2,d=1$
, pour tout choix de n, -
(b)
$m=d=2$
et
$\boldsymbol {n}=(n,n+1)$
, -
(c)
$m\geq 3,d=1$
et
$n\leq 3$
, -
(d)
$m\geq 3,d=2$
et
$\boldsymbol {n}=(1,2),(2,3)$
.
-
Dans tous les autres cas,
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
est singulier.
On va démontrer le Théorème A de la façon suivante: on se ramène d’abord au cas
$(X,E) = ({\mathbb {A}}^m,{\mathscr O}^{\oplus r})$
, on généralise ensuite la classification de Cheah [Reference Cheah3] pour
$r=1$
(listant tous les schémas de Hilbert ponctuels emboîtés lisses) au rang r arbitraire; enfin on exclut toutes les exceptions à priori possibles, en produisant explicitement des points singuliers.
On remarque ici que dans le cas
$d=r=1$
, correspondant au schéma de Hilbert de n points
$\operatorname {\mathrm {Hilb}}^n(X)$
, il est connu que la lissité s’obtient si et seulement si
$m\leq 2$
ou bien
$n\leq 3$
. Si
$r>1$
, le schéma Quot de Grothendieck
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X({\mathscr O}^{\oplus r},n)$
est lisse si X est une courbe lisse, par contre il est singulier (mais irréductible, de dimension
$n(r+1)$
, voir [Reference Ellingsrud and Lehn4] et [Reference Cazzaniga and Ricolfi2, Example 3.3]) si X est une surface.
La cohomologie de
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
a été étudiée en détail par Mochizuki [Reference Mochizuki5] lorsque X est une courbe lisse; dans ce cas-là, le motif
$[\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})] \in K_0(\operatorname {\mathrm {Var}}_{{\mathbb {C}}})$
de ce schéma a été calculé explicitement dans notre article [Reference Monavari and Ricolfi6].
1 Propriétés de l’espace de modules
On fixe, avec les notations précédentes, un triplet
$(X,E,\boldsymbol {n})$
formé d’un faisceau localement libre E au dessus d’une variété lisse X, et un d-uplet d’entiers
$\boldsymbol {n} = (0\leq n_1\leq \cdots \leq n_d)$
pour un entier
$d>0$
. On rappelle que l’on utilise la notation
$m=\dim X$
et
$r=\operatorname {\mathrm {rg}} E$
. On remarque aussi que, si
$n_d=1$
, le schéma
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
est isomorphe à
${\mathbb {P}}(E)$
, et notamment est lisse de dimension
$m+r-1$
. Ce fait sera exploité dans la Section 1.3.
1.1 Espace tangent
Comme démontré en [Reference Monavari and Ricolfi6, Proposition 2.1], on peut décrire l’espace tangent du schéma
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
en un point
$z = [E \twoheadrightarrow T_d \twoheadrightarrow \cdots \twoheadrightarrow T_1]$
comme le noyau d’une application
${\mathbb {C}}$
-linéaire appropriée,
$$ \begin{align*} T_z\operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E, \boldsymbol{n})=\ker\left(\bigoplus_{i=1}^d\operatorname{Hom}(K_i, T_i)\xrightarrow{\Delta_z} \bigoplus_{i=1}^{d-1}\operatorname{Hom}(K_{i+1}, T_{i})\right), \end{align*} $$
où l’on pose
$K_i = \ker (E \twoheadrightarrow T_i)$
. On omet la définition précise de
$\Delta _z$
. On n’en fera pas usage dans nos preuves (le lecteur pourra en trouver une définition dans [Reference Monavari and Ricolfi6, Section 2] ou encore, sous une forme équivalente, dans [Reference Mochizuki5]).
1.2 Le morphisme somme directe
Supposons que l’on ait une décomposition
$\boldsymbol {n} = \boldsymbol {n}_1+\cdots +\boldsymbol {n}_s$
, où tous les
$\boldsymbol {n}_k = (n_{k1}\leq \cdots \leq n_{kd})$
sont des suites non-décroissantes d’entiers non-négatifs «plus petites» que
$\boldsymbol {n}$
. La notation «somme» ci-dessus signifie bien-sûr que
$n_i = \sum _{1\leq k\leq s} n_{ki}$
pour tout
$i=1,\ldots ,d$
. Considérons l’ouvert
$$ \begin{align*} U \hookrightarrow \prod_{1\leq k\leq s} \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}_k), \end{align*} $$
paramétrant les s-uplets de quotients emboîtés
$$ \begin{align*} z_k = \bigl[ E \twoheadrightarrow T_{kd} \twoheadrightarrow \cdots \twoheadrightarrow T_{k1} \bigr] \in \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}_k),\qquad k=1,\ldots,s, \end{align*} $$
tels que le support de
$T_{kd}$
soit disjoint du support de
$T_{ld}$
pour tout
$1\leq k\neq l\leq s$
. Alors on a un morphisme de schémas
qui associe à un s-uplet
$(z_1,\ldots ,z_s)$
le point
$$ \begin{align*} \bigl[E \twoheadrightarrow T_{1d}\oplus \cdots \oplus T_{sd} \twoheadrightarrow \cdots \twoheadrightarrow T_{11}\oplus \cdots \oplus T_{s1} \bigr] \in \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}). \end{align*} $$
Une application immédiate du critère infinitésimal montre que ce morphisme est étale.
1.3 Dimension attendue
Fixons
$\boldsymbol {n}=(n_1\leq \dots \leq n_d)$
et une décomposition
$\boldsymbol {n} = \sum _{k=1}^{n_d} \boldsymbol {n}_k,$
où tout
$\boldsymbol {n}_k = (n_{k1}\leq \cdots \leq n_{kd})$
satisfait à la condition
$n_{kd} = 1$
. Dans le produit
$$ \begin{align*} \prod_{k=1}^{n_d} \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}_k) \cong {\mathbb{P}}(E)^{n_d}, \end{align*} $$
on considère le sous-schéma ouvert
$U_{\boldsymbol {n}}$
paramétrant les
$n_d$
-uplets de quotients dont les supports sont deux à deux disjoints. L’ouvert
$U_{\boldsymbol {n}}$
est lisse de dimension
$n_d(m+r-1)$
. Comme
$U_{\boldsymbol {n}}$
est étale au dessus de
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
, à travers le morphisme somme directe, on peut définir la dimension attendue
$$ \begin{align*} \mathrm{expdim} \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}) = n_d(m+r-1). \end{align*} $$
En effet,
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
contient un ouvert lisse (l’image de
$U_{\boldsymbol {n}}$
) de cette dimension. Dans le cas du schéma de Hilbert de n points
$\operatorname {\mathrm {Hilb}}^n(X)$
, l’image de
$U_n$
paramètre les n-uplets de points distincts (à permutation près). Sa dimension est bien
$n\cdot \dim (X)$
. Ce nombre est la dimension de
$\operatorname {\mathrm {Hilb}}^n(X)$
lorsqu’il est irréductible, car la clôture de Zariski de cet ouvert-là, que l’on appelle la smoothable component, est toujours une composante irréductible.
1.4 Connexité
Si X est irréductible, le schéma
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
est connexe [Reference Monavari and Ricolfi6, Theorem. 1.4]. Alors, si l’on trouve un point
$z \in \operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
tel que
$$ \begin{align*} \dim_{{\mathbb{C}}} T_z \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n})> \mathrm{expdim} \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}) = n_d (m+r-1), \end{align*} $$
il en résulte que z est forcément un point singulier de
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
.
2 Démonstration du théorème
Nous allons réduire notre analyse sur l’existence des singularités dans le cas «global»
$(X,E)$
à la même analyse dans le cas «local»
$({\mathbb {A}}^m,{\mathscr O}^{\oplus r})$
.
Lemme 2.1 Soit X une variété lisse et quasi-projective de dimension m sur
${\mathbb {C}}$
, et soit E un faisceau localement libre de rang r au dessus de X. Alors
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
est lisse si et seulement si
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},\boldsymbol {n})$
est lisse.
Démonstration L’énoncé résulte du fait que
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$
est localement une carte étale pour
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},\boldsymbol {n})$
. On détaille ce fait dans la suite.
Considérons d’abord le cas
$d=1$
. Soit
$U\subset X$
une sous-variété ouverte tel que
$E|_U = {\mathscr O}_U^{\oplus r}$
. Supposons que l’on ait un morphisme étale
$\varphi \colon U \to {\mathbb {A}}^m$
. Si l’on écrit
$V^{\varphi }_{r,n}$
pour le sous-schéma ouvert de
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_U({\mathscr O}_U^{\oplus r},n)$
paramétrant les quotients
$[{\mathscr O}_U^{\oplus r} \twoheadrightarrow T]$
tels que
$\varphi |_{\operatorname {Supp}(T)}$
soit injectif, on peut bien définir un morphisme étale [Reference Beentjes and Ricolfi1, Proposition A.3]
$$ \begin{align*} \Phi_{n}\colon V_{r,n}^\varphi \to \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}_{{\mathbb{A}}^m}^{\oplus r},n) \end{align*} $$
en associant
$[{\mathscr O}^{\oplus r} \twoheadrightarrow T] \mapsto [E \to \varphi _\ast \varphi ^\ast E = \varphi _\ast {\mathscr O}^{\oplus r} \twoheadrightarrow \varphi _\ast T]$
. En variant
$(U,\varphi \colon U \to {\mathbb {A}}^m)$
pour couvrir
${\mathbb {A}}^m$
tout entier, on peut facilement confirmer le résultat dans le cas
$d=1$
.
Pour le cas général, fixons
$\boldsymbol {n} = (0<n_1\leq \cdots \leq n_d)$
et
$(U,\varphi )$
comme ci-dessus. Le produit des morphismes étales
$\Phi _{n_i}$
nous donne un morphisme étale
$\Phi _{\boldsymbol {n}}$
qui apparaît dans un diagramme
où les flèches horizontales sont des immersions fermées.
On peut facilement verifier que
$Z_{\boldsymbol {n}}^{\varphi }$
est aussi l’intersection schématique
dans un produit de schémas Quot classiques; comme
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{U}({\mathscr O}_U^{\oplus r},\boldsymbol {n})\subset \operatorname {\mathrm {Quot}}_{X}(E,\boldsymbol {n})$
est ouvert, on a trouvé un sous-schéma ouvert
$Z_{\boldsymbol {n}}^{\varphi } \subset \operatorname {\mathrm {Quot}}_{X}(E,\boldsymbol {n})$
qui admet un morphisme étale vers
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r}_{{\mathbb {A}}^m},\boldsymbol {n})$
. En faisant varier
$(U,\varphi \colon U \to {\mathbb {A}}^m)$
tout comme dans le cas
$d=1$
on obtient le résultat.□
On aborde désormais la démonstration de notre résultat principal.
Démonstration du Théorème A
. Grâce au Lemme 2.1 on peut supposer que
$(X,E)=({\mathbb {A}}^m, {\mathscr O}^{\oplus r}_{{\mathbb {A}}^{m}})$
. La lissité dans le cas
$m=1$
, voir (1), est démontrée dans notre article [Reference Monavari and Ricolfi6, Proposition 2.1] et dans [Reference Mochizuki5, Proposition 2.1]. La lissité dans les cas (3a)–(3d) a été démontrée par Cheah [Reference Cheah3, Theorem, p. 43]. Enfin, (2) découle de l’isomorphisme
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r}, 1)\cong {\mathbb {A}}^{m}\times {\mathbb {P}}^{r-1}$
(voir aussi Remarque 2.2). Il reste à prouver qu’il n’existe pas d’autres schémas Quot ponctuels emboîtés lisses.
On note que si
$\operatorname {\mathrm {Hilb}}^{\boldsymbol {n}}({\mathbb {A}}^m) = \operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O},\boldsymbol {n})$
est singulier, alors il en est de même de
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},\boldsymbol {n})$
pour tout
$r>1$
. En effet, le tore
${\mathbb {G}}_m^r$
opère canoniquement sur
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},\boldsymbol {n})$
, et
$\operatorname {\mathrm {Hilb}}^{\boldsymbol {n}}({\mathbb {A}}^m)$
est une composante connexe du sous-schéma des points fixes [Reference Monavari and Ricolfi6, Proposition 3.1].
Comme Cheah a démontré que
$\operatorname {\mathrm {Hilb}}^{\boldsymbol {n}}({\mathbb {A}}^m)$
est singulier chaque fois qu’il ne tombe pas dans les cas (1),(2),(3a)–(3d), on déduit que, si
$r>1$
, le schéma
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},\boldsymbol {n})$
est singulier dans les cas suivants:
-
(1) si
$d\geq 3$
, pour tout choix de
$\boldsymbol {n}$
, -
(2) si
$m=2$
,
$d=2$
,
$\boldsymbol {n}=(n, n')$
et
$n'-n\geq 2$
, -
(3) si
$m\geq 3$
,
$d=1$
,
$n\geq 4$
, -
(4) si
$m\geq 3$
,
$d=2$
,
$\boldsymbol {n}\neq (1,2),(2,3)$
.
Il ne reste plus qu’à démontrer que
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},\boldsymbol {n})$
est singulier dans les cas suivants:
-
(A) si
$m\geq 2$
,
$r\geq 2$
,
$d=1$
et
$n\geq 2$
, -
(B) si
$m\geq 2$
,
$r\geq 2$
,
$d=2$
et
$\boldsymbol {n}=(n,n+1)$
.
Le cas (A) (resp. (B)) est l’énoncé du Lemme 2.3 (resp. Lemme 2.4). □
Remarque 2.2 Soit E un faisceau cohérent au dessus d’une variété X. L’isomorphisme
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,1) = {\mathbb {P}}(E)$
s’obtient en comparant les foncteurs de modules. En revanche, le cas
$(X,E) = ({\mathbb {A}}^m,{\mathscr O}^{\oplus r})$
, qui entraîne
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},1) = {\mathbb {A}}^m \times {\mathbb {P}}^{r-1}$
, s’obtient également à travers une présentation explicite du schéma
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},n)$
en tant que sous-schéma fermé du schéma Quot non-commutatif
$$ \begin{align*} \operatorname{\mathrm{ncQuot}}_m^{n,r} = \bigg\{ (A_1,\ldots,A_m,v_1,\ldots,v_r) \in \operatorname{End}_{{\mathbb{C}}}({\mathbb{C}}^n)^m \times ({\mathbb{C}}^n)^r \bigg| \begin{array}{c} (v_1,\ldots,v_r)\textrm{ est } \\ (A_1,\ldots,A_m)\textrm{-stable} \end{array}\bigg\}\Bigg{/}\operatorname{\mathrm{GL}}_n, \end{align*} $$
où
$\operatorname {\mathrm {GL}}_n$
opère par conjugaison sur les endomorphismes et par multiplication à gauche sur les vecteurs; enfin, la condition de stabilité se lit de la façon suivante: le sous-espace de
${\mathbb {C}}^n$
engendré par les vecteurs obtenus en appliquant tous les monômes possibles en
$A_1,\ldots ,A_m$
au vecteurs
$v_1,\ldots ,v_r$
coïncide avec
${\mathbb {C}}^n$
tout entier. On voit facilement que la variété
$\operatorname {\mathrm {ncQuot}}_m^{n,r}$
est lisse de dimension
$(m-1)n^2+rn$
. Au cas où
$n=1$
, l’immersion (qui dans le cas général est définie par les relations
$[A_i,A_j] = 0$
) est triviale, et l’action de
$\operatorname {\mathrm {GL}}_1$
est aussi triviale sauf sur les r-uplets de nombres complexes
$(v_1,\ldots ,v_r) \in {\mathbb {C}}^r$
, qui ne peuvent pas être tous
$0$
grâce à la condition de stabilité. Ceci fournit une démonstration directe de la décomposition
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},1) = {\mathbb {A}}^m \times {\mathbb {P}}^{r-1}$
.
Pour compléter la démonstration du Théorème A il nous reste à traiter les cas (A) et (B).
Lemme 2.3 Soit
$m\geq 2, r\geq 2,n\geq 2$
. Alors
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r}, n)$
est singulier.
Démonstration Nous commençons par démontrer l’énoncé dans le cas
$n=2$
.
Considérons un point
$z \in \operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},2)$
représenté par une suite exacte
$$ \begin{align*} 0 \to \mathfrak m_0^{\oplus 2} \oplus {\mathscr O}^{\oplus r - 2} \to {\mathscr O}^{\oplus r} \to {\mathscr O}_0^{\oplus 2} \to 0, \end{align*} $$
où
$\mathfrak m_0 = (x_1,\ldots ,x_m) \subset {\mathscr O} = {\mathbb {C}}[x_1,\ldots ,x_m]$
est l’idéal de l’origine
$0 \in {\mathbb {A}}^m$
et
${\mathscr O}_0 = {\mathscr O}/\mathfrak m_0$
est son faisceau structural. On obtient
$$ \begin{align*} \dim_{{\mathbb{C}}} T_z\operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},2) &= \dim_{{\mathbb{C}}}\operatorname{Hom}_{{\mathscr O}}(\mathfrak m_0^{\oplus 2} \oplus {\mathscr O}^{\oplus r - 2},{\mathscr O}_0^{\oplus 2}) \\ &=\dim_{{\mathbb{C}}}\operatorname{Hom}_{{\mathscr O}}(\mathfrak m_0^{\oplus 2},{\mathscr O}_0^{\oplus 2}) + \dim_{{\mathbb{C}}} \operatorname{Hom}_{{\mathscr O}}({\mathscr O}^{\oplus r - 2},{\mathscr O}_0)^{\oplus 2} \\ &=4 m + 2 (r-2), \end{align*} $$
qui est plus grand que
$\mathrm {expdim\, } \operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},2) = 2(m+r-1)$
comme
$m\geq 2$
. En exploitant la connexité du schéma Quot (voir la Section 1.4), le calcul ci-dessus montre que z est bien un point singulier.
On suppose désormais que
$n\geq 3$
. Considérons le sous-schéma ouvert
$$ \begin{align*} U \hookrightarrow \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},2) \times \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},1)^{n-2}, \end{align*} $$
paramétrant les
$(n-1)$
-uplets de quotients dont les supports sont deux à deux disjoints. Choisissons un point
$u \in U$
de la forme
$u = (\mathfrak m_0^{\oplus 2} \oplus {\mathscr O}^{\oplus r - 2},\mathfrak m_{p_1}\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-1},\ldots ,\mathfrak m_{p_{n-2}}\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-1})$
, où
$0\neq p_i \in {\mathbb {A}}^m$
pour tout
$1\leq i\leq n-2$
et
$p_i\neq p_j$
pour
$1\leq i\neq j\leq n-2$
. Le schéma U est étale au dessus de
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},n)$
par le morphisme somme directe. On note v l’image du point u par ce morphisme. On trouve
$$ \begin{align*} \dim_{{\mathbb{C}}} T_v \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},n) &= \dim_{{\mathbb{C}}} T_u U \\ &= 4 m + 2 (r-2) + (n-2) (m+r-1) \\ &= n(m+r-1) + 2m-2, \end{align*} $$
qui est plus grand que
$\mathrm {expdim\, } \operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},n) = n(m+r-1)$
comme
$m\geq 2$
. Encore une fois grâce à la connexité du schéma Quot, ceci prouve le résultat.
Lemme 2.4 Soit
$m\geq 2, r\geq 2$
et
$\boldsymbol {n}=(n,n+1)$
pour
$n\geq 1$
. Alors
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r}, \boldsymbol {n})$
est singulier.
Démonstration On commence par montrer l’énoncé dans le cas
$n=1$
.
Considérons un point
$z \in \operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(1,2))$
representé par les quotients emboîtés
$$ \begin{align*} \bigl[ {\mathscr O}^{\oplus r}\twoheadrightarrow {\mathscr O}_0^{\oplus 2} \twoheadrightarrow {\mathscr O}_0 \bigr], \end{align*} $$
et écrivons encore une fois
$\mathfrak m_0 = (x_1,\ldots ,x_m) \subset {\mathscr O} = {\mathbb {C}}[x_1,\ldots ,x_m]$
pour l’idéal de l’origine
$0 \in {\mathbb {A}}^m$
. Comme on l’a rappelé à la Section 1.1, l’espace tangent en z est donné par:
$$ \begin{align*} &T_z\operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(1,2))\\ & = \ker\left(\vphantom{\xrightarrow{\Delta_z}}\operatorname{Hom}_{\mathscr O}(\mathfrak{m}_0\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-1}, {\mathscr O}_0)\oplus \operatorname{Hom}_{\mathscr O}(\mathfrak{m}_0^{\oplus 2}\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-2}, {\mathscr O}_0^{\oplus 2})\right.\\ & \qquad \left.\xrightarrow{\Delta_z} \operatorname{Hom}_{\mathscr O}(\mathfrak{m}_0^{\oplus 2}\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-2}, {\mathscr O}_0) \right). \end{align*} $$
D’autre part, les espaces vectoriels apparaissant en
$\Delta _z$
satisfont
$$ \begin{align*} \dim_{{\mathbb{C}}} \operatorname{Hom}_{\mathscr O}(\mathfrak{m}_0\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-1}, {\mathscr O}_0) &= m+r-1,\\ \dim_{{\mathbb{C}}} \operatorname{Hom}_{\mathscr O}(\mathfrak{m}_0^{\oplus 2}\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-2}, {\mathscr O}_0^{\oplus 2}) &=4m+2(r-2), \\ \dim_{{\mathbb{C}}} \operatorname{Hom}_{\mathscr O}(\mathfrak{m}_0^{\oplus 2}\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-2}, {\mathscr O}_0)&= 2m+r-2. \end{align*} $$
On obtient alors
$$ \begin{align*} \dim_{{\mathbb{C}}} T_z\operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(1,2))&\geq (m+r-1)+(4m+2(r-2))- (2m+r-2)\\ &> 2(m+r-1) = \mathrm{expdim\, } \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(1,2)). \end{align*} $$
Ceci entraîne que z est un point singulier par notre remarque à la Section 1.4.
On va maintenant supposer que
$n\geq 2$
. Considérons le sous-schéma ouvert
$$ \begin{align*} U \hookrightarrow \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(1,2)) \times \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(1,1))^{n-1}, \end{align*} $$
paramétrant les n-uplets de quotients dont les supports sont deux à deux disjoints. Choisissons un point
$u = (z,z_1,\ldots ,z_{n-1}) \in U$
, où z est comme ci-dessus et
$z_i$
est representé par des quotients emboîtés
$$ \begin{align*} \bigl[{\mathscr O}^{\oplus r} \twoheadrightarrow {\mathscr O}_{p_i} \,\widetilde{\to}\, {\mathscr O}_{p_i}\bigr],\qquad p_i \in {\mathbb{A}}^m. \end{align*} $$
On va supposer également que
$0\neq p_i \in {\mathbb {A}}^m$
pour tout i et que
$p_i\neq p_j$
pour
$1\leq i\neq j\leq n-1$
. Le schéma U est étale au dessus de
$\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(n,n+1))$
, par le morphisme somme directe. On note v l’image du point u par ce morphisme. On trouve
$$ \begin{align*} \dim_{{\mathbb{C}}} T_v \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(n,n+1)) &= \dim_{{\mathbb{C}}} T_uU \\ &>2(m+r-1) + (n-1)(m+r-1) \\ &=(n+1)(m+r-1) \\ &=\mathrm{expdim} \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(n,n+1)). \end{align*} $$
Le point v est donc un point singulier.
Remerciements
S.M. est financé par NWO grant TOP2.17.004.
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