2.1 Systèmes de Chevalley–Steinberg

Donnons-nous un schéma en groupes de Chevalley H sur $\mathbb {Z}$ muni d’un épinglage, c’est-à-dire de la donnée d’un couple de Killing $T_H \subseteq B_H \subseteq H$ constitué par un tore maximal et un Borel, la base correspondante $\Delta _H$ du système de racines $\Phi _H$ de H suivant $T_H$ et des isomorphismes $y_\alpha :\mathbb {G}_a \rightarrow U_\alpha $ pour toute racine simple $\alpha \in \Delta _H$ . La définition suivante d’une base de Chevalley est tirée directement de [Reference Bruhat and TitsBT84a, 3.2.1, 3.2.2].

Il faut noter qu’il n’est pas possible en général de se débarrasser de ces signes méchants $\epsilon _{\alpha ,\beta }$ . Par conséquent, le choix du prolongement d’épinglage dans un système de Chevalley n’est pas unique, parce qu’on se permet toujours de remplacer $y_\alpha $ et $y_{-\alpha }$ par leurs inverses, pour $\alpha \in \Phi _H \setminus \pm \Delta _H$ . Notre convention pour le signe de la racine opposée $-\alpha $ diffère de celle de [SGA3, exp. XXIII, 1.2] comme le lecteur le verra dans l’exemple ci-dessous :

Exemple 2.1.2. Soit H le groupe de rang un $\operatorname {SL}_2$ épinglé de la manière habituelle : $T_H$ est le tore diagonal, $B_H$ le groupe des matrices triangulaires supérieures et $y_\alpha : \mathbb {G}_a \rightarrow U_\alpha $ est donné par:

(2.1.1) $$ \begin{align} r \mapsto \begin{pmatrix} 1 & r\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\end{align} $$

Alors, le seul système de Chevalley de ce groupe épinglé satisfait à la formule

(2.1.2) $$ \begin{align} y_{-\alpha}(r)= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -r & 1 \end{pmatrix},\end{align} $$

puisque des calculs fournissent $n_\alpha = n_{-\alpha }= \begin {pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end {pmatrix}$ .

Alors, [SGA3, exp. XXIII, prop. 6.2] affirme qu’il existe toujours un système de Chevalley pour un tel groupe épinglé H :

Démonstration. Écrivons une racine arbitraire $\alpha \in \Phi _H$ comme la transformée $w(\beta )$ d’une racine positive simple $\beta \in \Delta _H$ . L’élément w admet une écriture $s_1\dots s_k$ comme produit de réflexions $s_i$ associées aux racines simples. On a ainsi

(2.1.3) $$ \begin{align}y_\alpha(r)=\operatorname{int}(n_{\alpha_1}\dots n_{\alpha_k})(y_\beta( \pm r)),\end{align} $$

ce qui nous permet aussi de définir une famille d’isomorphismes $y_\alpha $ en prenant un signe quelconque. On n’a qu’à vérifier que telle construction, malgré ses choix arbitraires, préserve l’épinglage donné lorsque appliquée à une racine simple. Ceci est le contenu du [SGA3, exp. XXIII, lem. 6.3], lequel repose sur des calculs en rang $2$ .

Considérons maintenant le groupe $\Xi _H$ d’automorphismes de la donnée radicielle épinglée correspondante à $\Delta _H \subseteq \Phi _H \subseteq X^*(T_H)$ et identifions-le au groupe des automorphismes de H fixant l’épinglage donné, d’après le [SGA3, exp. XXIV, th. 1.3]. On peut associer à ces données un nouveau système de racines $\Phi _G $ dans $X^*(T_H)^{\Xi _H}$ formé par les moyennes

(2.1.4) $$ \begin{align} a=\lvert \Xi_H \rvert^{-1}\sum_{\sigma \in \Xi_H} \sigma(\alpha)\end{align} $$

des orbites finies de $\Phi _H$ pour l’action de $\Xi _H$ (ceci conserve son sens même si $\Xi _H$ est infini), cf. [Reference HainesHai15, lem. 4.2]. Ce système de racines vient muni d’une application évidente de restriction $\Phi _H \rightarrow \Phi _G$ . On remarque que la définition suivante d’un système de Chevalley–Steinberg coïncide avec celle de [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.1.3] et de [Reference LandvogtLan96, déf. 4.2], sauf que les auteurs y travaillent avec les formes tordues quasi-déployées qu’on étudiera au §2.2.

En particulier, une condition suffisante pour que le signe $\epsilon _{\alpha ,\sigma }$ soit toujours égal à $1$ est que $\Phi _G$ soit réduit, c’est-à-dire que $H^{\operatorname {sc}}$ ne contienne aucun facteur isomorphe à $\operatorname {SL}_{2n+1}$ . L’exemple suivant montre que cette condition est aussi nécessaire :

Exemple 2.1.5. Soit H le groupe $\operatorname {SL}_3$ épinglé de la façon canonique, c’est-à-dire $T_H$ est le tore diagonal, $B_H$ le sous-groupes des matrices triangulaires unipotentes et les sous-groupes radiciels associés aux racines positives simples $\alpha $ et $\beta $ sont donnés par

(2.1.5) $$ \begin{align}y_\alpha: r\mapsto \begin{pmatrix} 1& r & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, y_\beta: r\mapsto \begin{pmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & r\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\end{align} $$

D’après [Reference ConradCo14, ex. 7.1.5], on sait que le seul automorphisme $\sigma $ du groupe épinglé H est :

(2.1.6) $$ \begin{align} \begin{pmatrix} a& b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} ei-fh & af-cd & bf-ce\\ ah-bg & ai-cg & bi-ch\\ dh-eg & di-fg & ae-bd \end{pmatrix},\end{align} $$

ce qui entraîne $\epsilon _{\alpha +\beta ,\sigma }=-1$ comme voulu. Par alternative, nous pourrions avoir calculé directement l’effet de $\sigma $ sur $\operatorname {Lie}H$ , utilisant le crochet.

Ce sont justement ces signes méchants, qui nous forceront à traiter de façon spéciale les groupes unitaires de dimension impaire, voir l’ex. 2.2.4 et surtout le §2.3. Finissons-en par énoncer l’existence des systèmes de Chevalley–Steinberg, dont la démonstration remonte essentiellement à l’œuvre [Reference SteinbergSt59] de Steinberg.

2.2 Formes tordues et quasi-systèmes de Chevalley

Soient k un corps et G un k-groupe réductif et connexe. Rappelons que G s’appelle quasi-déployé si le centralisateur de tout sous-k-tore déployé maximal S est un tore maximal T. En particulier, on peut toujours choisir un sous-groupe de Borel $B\supset T\supset S$ correspondant à une base $\Delta _G$ du système de racines $\Phi _G$ de G relativement à S. Soit $l/k$ une extension galoisienne à groupe $\Gamma $ déployant G. Le lemme suivant est du folklore :

Il en résulte un certain homomorphisme $\tau : \Gamma \rightarrow \Xi _H$ vers le groupe d’automorphismes épinglés, tel que l’opération de $\Gamma $ sur $G_l$ transportée à $H_l$ devienne égale à $\gamma \mapsto \tau (\gamma )\otimes \gamma $ .

Par conséquent, tous les k-formes G quasi-déployées et l-déployées du k-groupe épinglé H s’obtiennent par une procédure très explicite de tordument comme suit :

La définition classique d’un quasi-épinglage d’un groupe quasi-déployé G consiste de la donnée d’un couple de Killing $B\supset T$ et d’un élément $X \in \operatorname {Lie} B$ , tel que son image dans $\operatorname {Lie}B_H$ coïncide avec la somme des vecteurs générateurs $Y_\alpha =y_\alpha (1) \in \operatorname {Lie}U_\alpha $ pour chaque racine simple $\alpha \in \Delta _H$ , cf. [SGA3, exp. XXIV, 3.9]. Bien que cela est raisonnable, nous aurons besoin de recourir plutôt à d’isomorphismes décrivant les sous-groupes radiciels $U_a$ pour les racines relatives $a \in \Phi _G$ , où ce symbole-ci désigne le système de racines relatifFootnote ¹ de G par rapport à S.

Ensuite, on étudie la structure des sous-groupes radiciels $U_a$ lorsque $a \in \Phi _G^{\operatorname {nd}}$ n’est pas divisible.

Revenons alors au cas général d’une racine relative ni divisible ni multipliable $a \in \Phi _G^{\operatorname {nd,nm}}$ obtenue en moyennant $\alpha \in \Phi _H$ . En termes d’un système de Chevalley–Steinberg de notre groupe épinglé H, on obtient un isomorphisme

(2.2.1) $$ \begin{align}x_a: \operatorname{R}_{l_a/k}\mathbb{G}_a \rightarrow U_a, \end{align} $$

(2.2.2) $$ \begin{align} r\mapsto \prod_{\gamma\alpha} y_{\gamma\alpha}(\gamma(r)), \end{align} $$

où l’on note $l_a$ le corps fixe du stabilisateur de $\alpha $ pour l’action de $\Gamma $ , car $\epsilon _{\alpha ,\gamma }=1$ pour tout $\gamma \in \Gamma $ , comp. aussi avec [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.1.5]. Si l’on avait choisi soit un autre système de Chevalley, soit une racine conjuguée de $\alpha $ , on n’aurait changé $x_a$ qu’au signe et à la conjugaison près, cf. aussi [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.1.7]. On va dire que deux tels isomorphismes sont similaires et donc que $x_a$ ne dépend que de a à similitude près.

Exemple 2.2.4 (multipliable).

Considérons maintenant $H=\operatorname {SL}_3$ muni de l’épinglage usuel et supposons que $l/k$ soit une extension quadratique séparable. Dans l’exemple 2.1.5, nous avons déterminé l’involution de Dynkin $\sigma $ de $\operatorname {SL}_3$ . Le groupe échéant $G=(\operatorname {R}_{l/k}H)^\Gamma $ sera toujours noté $\operatorname {SU}_{3,l/k}$ et regardé en tant que fermé de $\operatorname {R}_{l/k}\operatorname {SL}_3$ ; il s’agit même du groupe unitaire attaché à la forme quadratique $xy+yx-z^2$ . Son système de racines est $\Phi _G=\{\pm a, \pm 2a\}$ et on souhaiterait d’avoir une description explicite du groupe $U_a$ . Grâce à l’exemple sus-mentionné, on tire

(2.2.3) $$ \begin{align} U_a =\Bigg\{ \begin{pmatrix} 1& r & s\\ 0 & 1 & \sigma(r)\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} : s+\sigma(s)=r\sigma(r) \Bigg\}. \end{align} $$

Notant $x_a(r,s)$ la matrice ci-dessus, on peut regarder $x_a$ comme un isomorphisme entre un certain groupe matriciel et le groupe algébrique abstrait $U_a$ . En termes du système de Chevalley–Steinberg de $\operatorname {SL}_3$ , il s’écrit de la façon suivante :

(2.2.4) $$ \begin{align}x_a(r,s)=y_{\alpha}(r)y_{\alpha+\beta}(-\sigma(s))y_\beta(\sigma(r))=y_\beta(\sigma(r))y_{\alpha+\beta}(s)y_\alpha(r).\end{align} $$

Cet exemple nous amène à introduire de la notation pour ce groupe matriciel unipotent, cf. aussi [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.1.9].

Soient $a \in \Phi _G^{\operatorname {m}}$ une racine relative multipliable et $\alpha ,\beta \in \Phi _H$ deux racines conjuguées dont la somme est une racine et dont les moyennes sont égales à a. En termes d’un système de Chevalley–Steinberg commode de notre groupe épinglé H, on obtient un isomorphisme

(2.2.5) $$ \begin{align} x_a: \operatorname{R}_{l_{2a}/k}\mathbb{G}_{p,l_a/l_{2a}} \rightarrow U_a, \end{align} $$

(2.2.6) $$ \begin{align} (r,s)\mapsto \prod_{\{\gamma\alpha,\gamma\beta\}} y_{\gamma\beta}(\gamma\sigma(r))y_{\gamma(\alpha+\beta)}(\gamma(s))y_{\gamma\alpha}(\gamma(r)), \end{align} $$

où l’on note $l_a$ le corps fixe du stabilisateur de $\alpha $ pour l’action de $\Gamma $ et $l_{2a}$ celui de $\alpha +\beta $ , et $\sigma $ l’involution de $l_a/l_{2a}$ , voir [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.1.9]. Notons que les ensembles $\{\gamma \alpha ,\gamma \beta \}$ doivent être regardés comme étant ordonnés et $\gamma $ doit préserver cet ordre, pour que cette écriture ait du sens, donc on dira que $\gamma \alpha $ resp. $\gamma \beta $ est un relèvement de premier type resp. second type de a. Finalement, l’isomorphisme $x_a$ ne dépend que de a à similitude près, cf. [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.1.13] et voir [Reference Bruhat and TitsBT84a, A.4] pour les opérations permises dans ce cas.

L’ensemble des isomorphismes $x_a$ pour $a \in \Delta _G$ resp. $a \in \Phi _G$ ainsi obtenus est exactement ce que nous aurions envie d’appeler un quasi-épinglage resp. quasi-système de Chevalley. La seule nuisance est qu’une telle notion nous semble à l’instant extrinsèque et dépendante de la réalisation de G comme $\Gamma $ -invariants d’une restriction des scalaires de H. L’approche idéale pour s’y référer intrinsèquement est celle de [Reference LourençoLou21, 2.4], dont le truc principal est de considérer plutôt les homomorphismes naturels

(2.2.7) $$ \begin{align}\zeta_a:\operatorname{R}_{l_a/k} \operatorname{SL}_2 \rightarrow G, \end{align} $$

(2.2.8) $$ \begin{align} \zeta_a:\operatorname{R}_{l_{2a}/k} \operatorname{SU}_{3,l_a/l_{2a}} \rightarrow G ,\end{align} $$

prolongeant les isomorphismes $x_a$ , selon a appartienne à $\Phi _G^{\operatorname {nd,nm}}$ ou à $\Phi _G^{\operatorname {m}}$ . En effet, leur existence découle de la description des groupes quasi-déployés de rang $1$ conformément aux ex. 2.2.3 et 2.2.4. Voici la [Reference LourençoLou21, déf. 2.4] :

Les $m_a$ s’écrivent comme $\prod _{\gamma \alpha } n_{\gamma \alpha }$ dans le cas non multipliable (resp. $\prod _{\gamma (\alpha +\beta )} n_{\gamma (\alpha +\beta )}$ dans le cas multipliable), voir la déf. 2.1.1 pour le cas déployé. Ceux-ci se généralisentFootnote ² en des éléments

(2.2.9) $$ \begin{align} m_a(r)=x_{a}(r^{-1})x_{-a}(r)x_{a}(r^{-1}) \end{align} $$

pour toute racine $a\in \Phi _G^{\operatorname {nd},\operatorname {nm}}$ ni divisible ni multipliable, et

(2.2.10) $$ \begin{align}m_a(r,s)= x_a(rs^{-1},\sigma(s)^{-1})x_{-a}(r,s)x_a(r\sigma(s)^{-1},\sigma(s)^{-1})\end{align} $$

pour toute racine multipliable $a \in \Phi _G^{\operatorname {m}}$ , voir [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.1.5, 4.1.11].

2.3 La modification de Tits

Malheureusement, le prolongement naturel du groupe $\mathbb {G}_{p,l/k}$ , voir la déf. 2.2.5, au cas où les coefficients sont entiers (ceci doit être pris au sens du §3) n’est plus lisse en caractéristique résiduelle égale à $2$ . Par conséquent, on va introduire un certain k-groupe unipotent $\mathbb {G}^{\operatorname {T}}_{p,l/k}$ explicite à la suite de [Reference TitsTi84, annexe 2], qui s’identifie encore, lorsque $2$ est inversible dans k, au groupe unipotent pluriel de la déf. 2.2.5 noté $\mathbb {G}^{\operatorname {CS}}_{p,l/k}$ pendant tout ce numéro. L’avantage de la variante $\mathbb {G}^{\operatorname {T}}_{p,l/k}$ de Tits est qu’elle admet une description plus commode en termes du sous-espace vectoriel $l^0 \subset l$ des éléments de trace nulle, qui s’étendra sans peine de manière lisse au cas où les coefficients sont entiers, voir la déf. 3.3.3.

Définition 2.3.1. Soit k un corps de caractéristique différente de $2$ et $l/k$ une extension quadratique. Alors, $\mathbb {G}^{\operatorname {T}}_{p,l/k}$ est la variété $\operatorname {R}_{l/k}\mathbb {A}^1_l \times \mathbb {A}^1_{l_0}$ munie de la loi de groupe

(2.3.1) $$ \begin{align} (u,v)\cdot (u',v')=(u+u',v+v'+\sigma(u)u'-u\sigma(u')) .\end{align} $$

Ici, l’on regarde $\mathbb {A}^1_{l_0}$ comme la droite affine sur k au moyen d’un isomorphisme quelconque de k-espaces vectoriels $k \simeq l_0$ .

Notons que cette définition se ressemble à celle de [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.1.15], sauf en ce qui concerne le choix d’un élément $\lambda $ de trace $1$ , bien que nous avons choisi $\lambda =1$ . Nous en tirons l’isomorphisme

(2.3.2) $$ \begin{align} \mathbb{G}_{p,l/k}^{\operatorname{T}} \rightarrow \mathbb{G}_{p,l/k}^{\operatorname{CS}}, \end{align} $$

(2.3.3) $$ \begin{align} (u,v)\mapsto (u,2v-u\sigma(u)),\end{align} $$

(2.3.4)

lequel profite du fait que $2$ est inversible dans k. Avant de continuer, étudions la situation limite en caractéristique $2$ , qui est implicitement liée avec toutes les modification que nous sommes en train d’introduire :

Moyennant l’isomorphisme donné $\mathbb {G}^{\operatorname {T}}_{p,l/k} \simeq \mathbb {G}^{\operatorname {CS}}_{p,l/k}$ , on peut donc considérer les isomorphismes du quasi-système de Chevalley de G introduit précédemment, voir la déf. 2.2.6, comme partant du membre de gauche. On obtient alors l’écriture

(2.3.5) $$ \begin{align}x_a(u,v)=y_\beta(\sigma(u))y_{\alpha+\beta}(v/2+N(u)/2)y_\alpha(u) \end{align} $$

dans le cas où $\Phi _H$ est irréductible (en général, il faut considérer un produit à plusieurs termes). Cet état de choses est indésirable en vertu du §3, puisque le morphisme vers H, pour qu’il soit prolongeable aux coefficients entiers, cf. prop. 3.3.9, ne devrait pas impliquer des divisions par $2$ . On souhaiterait donc modifier les isomorphismes du système de Chevalley–Steinberg de H, de manière que $x_a$ s’exprime en fonction de u, v et de leurs conjugués à coefficients entiers. Ceci sera achevé au lem. 2.3.5.

Exemple 2.3.3. Reprenons les exemples 2.1.5 et 2.2.4, alors $H=\operatorname {SL}_3$ et $G=\operatorname {SU}_{3,l/k}$ . D’après la prop. 2.2.7, on se permet de conjuguer le système de Chevalley de H par un élément de $T_H^{\operatorname {ad}}(k)$ . Choisissons d’abord $\varpi _{\alpha }^\vee (2)$ . En notant le quasi-système de Chevalley et le système de Chevalley–Steinberg par $x_{\bullet }^{\operatorname {CS}}$ et $y_{\bullet }^{\operatorname {CS}}$ , posons alors $y_{\bullet }^{\operatorname {T}}=\operatorname {int}(\varpi _{\alpha }^\vee (2)) \circ y_{\bullet }^{\operatorname {CS}}$ . On en tire les relations suivantes :

(2.3.6) $$ \begin{align}x_a^{\operatorname{CS}}(u,v)=y_{\alpha}^{\operatorname{T}}(u/2)y_{\alpha+\beta}^{\operatorname{T}}(-\sigma(v)/4-N(u)/4)y_\beta^{\operatorname{T}}(\sigma(u)) \end{align} $$

(2.3.7) $$ \begin{align} x_{-a}^{\operatorname{CS}}(u,v)=y_{-\alpha}^{\operatorname{T}}(2u)y_{-\alpha-\beta}^{\operatorname{T}}(-\sigma(v)-N(u))y_{-\beta}^{\operatorname{T}}(\sigma(u)). \end{align} $$

En particulier, il suffit de prendre $x_a^{\operatorname {T}}(u,v)=x_a^{\operatorname {CS}}(2u,4v)$ et $x_{-a}^{\operatorname {T}}(u,v)=x_{-a}^{\operatorname {CS}}(u,v)$ , pour que la contrainte d’intégralité soit satisfaite.

Cependant, il faut typiquement modifier aussi les isomorphismes associés aux racines ni divisibles ni multipliables. La définition suivante généralise de façon naturelle la modification de Tits dans le cas où H est simplement connexe et simple, voir [Reference TitsTi84, pp. 216-217] :

Définition 2.3.4 (Tits).

Soient c la somme des racines simples multipliables de G et $\gamma $ la somme de leurs relèvements de premier type. Alors, on pose

(2.3.8) $$ \begin{align} y_\alpha^{\text{T}}(r)=y_a^{\text{CS}}(2^{\langle \varpi_{\gamma}^{\vee}, \alpha\rangle}r), \end{align} $$

(2.3.9) $$ \begin{align} x_a^{\text{T}}(r)=x_a^{\text{CS}}(2^{\langle \varpi_{2c}^{\vee}, a\rangle}r),\end{align} $$

(2.3.10) $$ \begin{align} x_a^{\text{T}}(u,v)=x_a^{\text{CS}}(2^{\chi_{+}(a)}u,4^{\chi_{+}(a)}v), \end{align} $$

et l’on dit que les quasi-systèmes correspondants sont de Tits. Ici, $\chi _{+}$ désigne la fonction caractéristique de $\Phi _G^+$ dans $\Phi _G$ .

Nous sommes amené à définir les

(2.3.11) $$ \begin{align}m_a^{\operatorname{T}}(r)=x^{\operatorname{T}}_{a}(r^{-1})x^{\operatorname{T}}_{-a}(r)x^{\operatorname{T}}_{a}(r^{-1})\end{align} $$

pour toute racine $a\in \Phi _G^{\operatorname {nd},\operatorname {nm}}$ ni divisible ni multipliable, et

(2.3.12) $$ \begin{align} m_a^{\operatorname{T}}(u,v)= x^{\operatorname{T}}_{a}\Big(\frac{u}{s(u,v)},\frac{1}{s(u,\sigma(v))}\Big)x^{\operatorname{T}}_{-a}(u,v)x^{\operatorname{T}}_{a}\Big(\frac{u}{s(u,\sigma(v))},\frac{1}{s(u,\sigma(v))}\Big) \end{align} $$

pour toute racine multipliable $a \in \Phi _G^{\operatorname {m}}$ , où l’on pose $s(u,v)=v+u\sigma (u)$ . Nous posons aussi $m_a^{\operatorname {T}}=m_a^{\operatorname {T}}(1)$ si a n’est ni divisible ni multipliable, et $m_a^{\operatorname {T}}=m_a^{\operatorname {T}}(1,0)$ si a est multipliable.

Considérons l’action de $\Gamma $ par automorphismes de Dynkin sur le groupe épinglé $(H,y_\alpha ^{\operatorname {CS}})$ selon le système de Chevalley-Steinberg originel et transportons-la au groupe épinglé $(H,y_\alpha ^{\operatorname {T}})$ . Il est important de remarquer que ces automorphismes ne préservent pas le système de Tits non plus, car ils introduisent des facteurs de $2$ supplémentaires. Plus tard, il faudra en faire usage et ces automorphismes seront dénommés désormais de Dynkin–Tits.

Enregistrons la propriété la plus significative de cette modification.

Sauf mention contraire, on travaillera toujours dans la suite avec de quasi-systèmes de Tits et pas de Chevalley–Steinberg, donc on se permettra d’omettre l’exposant $\operatorname {T}$ , lorsqu’aucune confusion n’est à craindre, cf. §3.3 en particulier.

2.4 Des extensions centrales

Dans cet article, on travaillera souvent en même temps avec une classe de groupes tordus à groupe adjoint donné et l’une des tâches les plus courantes consistera à ramener le cas général au simplement connexe dès que possible, voir les preuves de la prop. 3.3.7 et du th. 4.1.5. Pour cette raison, nous décrivons maintenant une manière très sympathique, à la suite de [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, §1.4], de modifier un $\mathbb {Z}$ -groupe déployé et épinglé H en son tore maximal $T_H$ .

Soit $\widetilde {T}_H$ un $\mathbb {Z}$ -tore déployé muni des morphismes $T_H \rightarrow \widetilde {T}_H \rightarrow T_H^{\operatorname {ad}}$ , dont le composé est l’application naturelle. Comme $T_H^{\operatorname {ad}}$ s’identifie canoniquement au groupe des automorphismes de H laissant $T_H$ stable point par point, voir par exemple [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, th. 1.3.9, th. A.4.6], ceci équivaut à se donner une opération de $\widetilde {T}_H$ sur H ainsi qu’un morphisme équivariant $T_H \rightarrow \widetilde {T}_H$ . En particulier, l’application anti-diagonale

(2.4.1) $$ \begin{align}T_H \rightarrow H \rtimes \widetilde{T}_H, \end{align} $$

donnée par $t \mapsto (t^{-1}, t)$ , identifie $T_H$ à un sous-groupe fermé central de $H \rtimes \widetilde {T}_H$ .

En particulier, on en tire une suite exacte courte

(2.4.2) $$ \begin{align}1 \rightarrow T_H^{\operatorname{sc}} \rightarrow H^{\operatorname{sc}}\rtimes T_H \rightarrow H \rightarrow 1, \end{align} $$

car le tore maximal $T_H$ opère sur H en préservant le groupe dérivé, d’où le relèvement de l’opération au revêtement simplement connexe $H^{\operatorname {sc}}$ . Vu que $T_H^{\operatorname {sc}}$ est induit et que le groupe dérivé de $H^{\operatorname {sc}}\rtimes T_H$ est simplement connexe, cette extension centrale de H est habituellement appelée une z-extension, cf. [Reference Milne and ShihMS82, prop. 3.1]. Puisque sa formation ne dépend que du choix du tore maximal $T_H$ , nous parlerons souvent de la z-extension canonique du groupe épinglé H.

Traitons enfin le cas des formes tordues quasi-déployées comme dans §2.2. Soient alors $l/k$ une extension galoisienne à groupe de Galois $\Gamma $ , H un k-groupe épinglé muni d’une action de $\Gamma $ par automorphismes de Dynkin (ou bien de Dynkin–Tits en dehors de la caractéristique $2$ , cf. §2.3) et G le groupe obtenu par torsion comme dans la constr. 2.2.2. En se donnant de nouveau un k-tore déployé $\widetilde {T}_H$ opéré par $\Gamma $ et des k-morphismes $T_H \rightarrow \widetilde {T}_H\rightarrow T_H^{\operatorname {ad}}$ invariants par $\Gamma $ , on arrive aux applications de tores tordus $T \rightarrow \widetilde {T} \rightarrow T^{\operatorname {ad}}$ , ce qu’on utilise pour définir le modifié central

(2.4.3) $$ \begin{align} \widetilde{G}=(G\rtimes \widetilde{T})/T\end{align} $$

de G, lequel est réductif connexe à tore maximal égal à T, cf. prop. 2.4.1. D’autre part, l’action de $\Gamma $ sur H se prolonge naturellement en une action sur la modification centrale $\widetilde {H}$ .

Il résulte de même la z-extension canonique, comp. avec (2.4.2) :

(2.4.4) $$ \begin{align} 1\rightarrow T^{\operatorname{sc}}\rightarrow G^{\operatorname{sc}}\rtimes T \rightarrow G \rightarrow 1,\end{align} $$

dont l’avantage principal n’est pas seulement sa naturalité, mais aussi que plusieurs propriétés convenables de G soient préservées, comme nous verrons plus tard, cf. par exemple l’hyp. 3.3.1.

3.1 Théorie de Bruhat–Tits pour les groupes pseudo-réductifs

Comme il a été expliqué dans l’introduction, le but principal de cet article nous amène à travailler avec des groupes pseudo-réductifs en tant que spécialisations en caractéristiques petites et/ou mauvaises de certains groupes réductifs, voir la prop. 3.3.7.

Commençons par rappeler cette notion pour ceux qui ne la connaissent pas bien :

Cette classe des groupes pseudo-réductifs contient nettement celle des groupes réductifs connexes et est stable par extensions des scalaires séparables, voir [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, prop. 1.1.9]. Voici l’exemple prototypique, cf. [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, prop. 1.1.10], d’un groupe pseudo-réductif qui n’est pas réductif :

Malgré cet exemple, on pourrait craindre qu’il ne soit typiquement pas possible d’apprivoiser ces groupes pseudo-réductifs et qu’ils n’admettent aucun théorème raisonnable, soit de structure, soit de classification. Au contraire, Borel–Tits avaient déjà découvert dans [Reference Borel and TitsBoT78] que leur structure générale ressemble beaucoup à celle des groupes réductifs et connexes :

Théorème 3.1.3 (Borel–Tits).

Tous les tores déployés maximaux de G sont conjugués par $G(k)$ . Étant donné un tore déployé maximal S de G, alors l’ensemble des poids $\Phi _G$ de l’action de S sur l’algèbre de Lie $\mathfrak {g}$ de G se prolonge naturellement en une donnée radicielle $(X_*(S),X^*(S),\Phi _G^\vee ,\Phi _G)$ . Les espaces de poids $\mathfrak {g}_a\oplus \mathfrak {g}_{2a}$ sont sous-jacents à l’un et un seul sous-k-groupe lisse, unipotent et connexe $U_a$ de G, tel que l’application produit

(3.1.1) $$ \begin{align}\prod_{a \in \Phi_G^-} U_{-a} \times Z_G(S) \times \prod_{a \in \Phi_G^+} U_a \rightarrow G,\end{align} $$

soit une immersion ouverte, quel que soit le choix de racines positives et quel que soit l’ordre en lequel le produit est mis. Ces données ne dépendent de S qu’à $G(k)$ -conjugaison près.

L’autre question qu’on s’est naturellement posée était de savoir s’il est loisible de classifier tous les groupes pseudo-réductifs. Tits avait déjà remarqué dans l’importance de l’application canonique

(3.1.2) $$ \begin{align} i_G: G \rightarrow \operatorname{R}_{k'/k} G', \end{align} $$

où $k'$ est le corps de définition du radical unipotent géométrique $R_u G_{k^{\operatorname {alg}}}$ et $G'$ le $k^{\operatorname {alg}}$ -quotient réductif de $G_{k^{\operatorname {alg}}}$ . On ne peut pas s’attendre typiquement à ce que $i_G$ soit injectif, soit surjectif, parce que G peut être modifié centralement par la procédure de modification centrale de (2.4.3), et vu que les groupes pseudo-réductifs commutatifs sont habituellement n’importe quoi, cf. [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, ex. 1.6.3, ex. 1.6.4, §11.3]. À ces phénomènes de Cartan près, une classification exhaustive a été trouvée par Conrad–Gabber–Prasad, cf. [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, th. 5.1.1, th. 10.2.1].

Les groupes exotiques, voir [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, déf. 7.2.6], et les barcelonais, cf. [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, déf. 10.1.2], n’existent qu’en caractéristiques petites $p=2$ ou $3$ et sont reliés à certains phénomènes de p-divisibilité du système de racines $\Phi _G$ . Dans la suite, nous allons éclaircir leur aspect dans le cas quasi-déployé.

Penchons-nous d’abord sur le cas exotique :

Exemple 3.1.6 (exotique).

Soient k un corps imparfait de caractéristique p satisfaisant à $[k:k^p]= p$ et G un groupe exotique basique et quasi-déployé, voir [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, déf. 7.2.6]. Alors, on a $p=2,3$ , $\Phi _G$ est irréductible et possède une p-arête, donc on peut appliquer [Reference Conrad and PrasadCP16, lem. C.2.2] pour déduire que G est pseudo-déployé. D’après [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, th. 7.2.3], le $k^{1/p}$ -quotient réductif $G'$ de G est déployé et simplement connexe à système de racines $\Phi _G$ , tandis que l’application canonique $ i_G :G \rightarrow \operatorname {R}_{k^{1/p}/k} G'$ de (3.1.2) est une immersion fermée. Soit

(3.1.3) $$ \begin{align}\pi': G' \rightarrow \overline{G}'\end{align} $$

l’isogénie très spéciale, voir [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, déf. 7.1.3], définie sur $k^{1/p}$ , où $\overline {G}'$ est un groupe déployé et simplement connexe de type dual. Alors, l’image de G par la restriction des scalaires

(3.1.4) $$ \begin{align} \pi : \operatorname{R}_{k^{1/p}/k} G' \rightarrow\operatorname{R}_{k^{1/p}/k} \overline{G}'\end{align} $$

de l’isogénie très spéciale $\pi '$ est un k-Levi $\overline {G} $ du membre de droite, c’est-à-dire un k-descendu de $\overline {G}'$ , et G s’identifie à l’image réciproque par $\pi $ de ce Levi $\overline {G}$ dans $\operatorname {R}_{k^{1/p}/k} G'$ , voir [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, déf. 7.2.6].

On peut trouver un $k^{1/p}$ -système de Chevalley, cf. déf. 2.1.1, de $G'$ (resp. k-système de Chevalley de $\overline {G}$ ) tels que l’isogénie très spéciale s’identifie à

(3.1.5) $$ \begin{align}\pi: x^{\prime}_a(r) \mapsto \begin{cases} \overline{x}_{\overline{a}}(r^p), a \in \Phi_{G}^<\\ \overline{x}_{\overline{a}}(r), a \in \Phi_G^> \end{cases}\end{align} $$

restreinte aux groupes radiciels relativement à $S'$ (resp. $\overline {S}$ ) et à

(3.1.6) $$ \begin{align}\pi:a^\vee(r) \mapsto \begin{cases} \overline{a}^\vee(r^p), a \in \Phi_G^<\\ \overline{a}^\vee(r), a \in \Phi_G^> \end{cases}\end{align} $$

restreinte aux facteurs multiplicatifs associés aux coracines, comp. avec [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, prop. 7.1.5], où les exposantes $<,>$ notent les racines courtes, resp. longues de $\Phi _G$ .

Ainsi, on obtient des isomorphismes

(3.1.7) $$ \begin{align} x_a:\operatorname{R}_{k_a/k}\mathbb{G}_a \rightarrow U_a \end{align} $$

(3.1.8) $$ \begin{align} a^\vee: \operatorname{R}_{k_a/k}\mathbb{G}_a \rightarrow Z^a, \end{align} $$

où $k_a=k^{1/p}$ si $a \in \Phi _G^<$ , $k_a=k$ si $a \in \Phi _G^>$ et $Z^a$ désigne l’intersection $Z \cap \langle U_a, U_{-a}\rangle $ , cf. [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, rem. 7.2.8].

Le groupe pseudo-réductif suivant est aussi pseudo-déployé, mais son système de racines absolu n’est pas réduit, c’est-à-dire de type $BC_n$ .Footnote ³

Exemple 3.1.7 (barcelonais).

Soient k un corps imparfait de caractéristique $2$ tel que $[k:k^2]= 2$ et G un groupe pseudo-réductif barcelonais basique, cf. [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, déf. 10.1.2]. Alors, on sait déjà que G est pseudo-déployé et que son $k^{1/2}$ -quotient réductif $G'$ est déployé et simplement connexe à système de racines $\Phi _G^{\operatorname {nm}}$ , cf. [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, th. 2.3.10]. L’application correspondante $i_G: G \rightarrow \operatorname {R}_{k^{1/2}/k}G'$ , voir (3.1.2), induit des isomorphismes

(3.1.9) $$ \begin{align}Z \rightarrow \operatorname{R}_{k^{1/2}/k}Z', \end{align} $$

(3.1.10) $$ \begin{align} U_a \rightarrow \operatorname{R}_{k^{1/2}/k}U^{\prime}_a, a \in \Phi_G^{\operatorname{nd,nm}}\end{align} $$

entre les Cartans et les sous-groupes radiciels associés aux racines ni divisibles ni multipliables, voir [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, th. 9.4.7]. Cependant, d’après [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, prop. 9.5.2, prop. 9.6.8] le morphisme $U_a \rightarrow \operatorname {R}_{k^{1/2}/k} U^{\prime }_{2a}$ pour $a \in \Phi _G^m$ peut être identifié avec

(3.1.11) $$ \begin{align}\mathbb{G}_{p,k^{1/2}/k} \rightarrow \operatorname{R}_{k^{1/2}/k}\mathbb{G}_a\end{align} $$

donné par $(u,v)\mapsto u^2+v$ , où l’on note $\mathbb {G}_{p,k^{1/2}/k}$ le groupe unipotent pluriel modifié selon la définition limite de la rem. 2.3.2 (ceci ne dépend pas à isomorphisme près du choix d’un complément k-linéaire $k_0= k\subset k^{1/2}$ pour $\alpha \in k^{1/2}\setminus k$ ). On signale que la construction de [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, §§9.6-9.7] utilise les lois birationnelles strictes par réduction au cas de $\operatorname {R}_{k^{1/2}/k}G'$ , tandis que Tits a réalisé G explicitement comme une sorte de groupe unitaire de dimension impaire dégénéré en caractéristique $2$ , voir [Reference TitsTi84, pp. 218-219]. Par alternative, voir les props. 3.3.7 et 3.3.9.

Motivés par l’étude des groupes algébriques sur les corps valués, Bruhat–Tits ont crée leur théorie des immeubles et des modèles en groupes immobiliers, cf. [Reference Bruhat and TitsBT72] et [Reference Bruhat and TitsBT84a]. Les exemples précédents montrent que les points rationnels des groupes pseudo-réductifs ne s’éloignent beaucoup de ceux des groupes réductifs. Solleveld s’y est appuyé dans [Reference SolleveldSol18] pour parvenir à construire des immeubles et, dans [Reference LourençoLou21, déf. 3.5, th. 4.9], nous avons construit les schémas en groupes.

Notre construction des immeubles de Bruhat–Tits dans [Reference LourençoLou21] est pareille à celle de [Reference Bruhat and TitsBT84a]. Supposons encore que G soit quasi-déployé. À chaque sous-tore déployé maximal S de G, on associe un appartement $\mathscr {A}(G,S,k)$ , en vérifiant les axiomes de [Reference Bruhat and TitsBT72, déf. 6.1.1, déf. 6.2.1] pour appliquer le [Reference Bruhat and TitsBT72, th. 6.5], cf. aussi [Reference Bruhat and TitsBT72, déf. 7.4.2]. Le seul point compliqué est donc de trouver une valuation $\varphi $ de la donnée radicielle abstraite $(Z(k),U_a(k))$ , pour lequel nous recourons à un quasi-système de Chevalley de G, cf. déf. 2.2.6 et [Reference LourençoLou21, prop. 2.5] pour le cas pseudo-réductif. Alors, on pose

(3.1.12) $$ \begin{align} \varphi_a(x_a^{\operatorname{CS}}(r))=\omega(r) \end{align} $$

(3.1.13) $$ \begin{align} \varphi_a(x_a^{\operatorname{CS}}(r,s))=\omega(s)/2, \end{align} $$

(3.1.14) $$ \begin{align} \varphi_a(x_a^{\operatorname{CS}}(u,v))=\omega(u^2+v)/2 \end{align} $$

selon que $a\in \Phi _G^{\operatorname {nd,nm}}$ est une racine ni divisible ni multipliable, ou que $a \in \Phi _G^{\operatorname {m}}$ est multipliable et $G^a$ réductif, ou que $a \in \Phi _G^{\operatorname {m}}$ est multipliable et $G^a$ non standard. Ici, l’on note $\omega $ la valuation additive de k étendue à sa clôture algébrique et satisfaisant à $\omega (k^\times )=\mathbb {Z}$ .

Disons un mot sur les modèles entiers de G associés aux parties non vides et bornées $\Omega $ de l’appartement $\mathscr {A}(G,S,k)\subset \mathscr {I}(G,k)$ , où G est encore supposé quasi-déployé. D’un côté, il faut construire le modèle de Néron connexe $\mathscr {Z}$ d’un groupe pseudo-réductif commutatif Z, ce qui fut achevé par Bosch–Lütkebohmert–Raynaud dans [Reference Bosch, Lütkebohmert and RaynaudBLR90, th. 10.2.2]. De l’autre côté, on a besoin de trouver les modèles entiers $\mathscr {U}_{a,\Omega }$ stabilisant $\Omega $ pour toute racine non divisible $a \in \Phi _G^{\operatorname {nd}}$ , ne s’agissant que des calculs simples, voir [Reference Bruhat and TitsBT84a, §4.3] et [Reference LourençoLou21, lem. 4.4]. Enfin, on recolle ces données en appliquant la théorie des lois birationnelles, voir [Reference LourençoLou21, §4.1, th. 4.2], ce qu’on reprendra d’ailleurs toute de suite au §3.2, cf. ths. 3.2.4 et 3.2.5.

3.2 Données radicielles schématiques

Dans ce paragraphe, on discute le concept des données radicielles schématiques dû à Bruhat–Tits, cf. [Reference Bruhat and TitsBT84a, déf. 3.1.1]. Leur but, comme le lecteur bientôt comprendra, est de construire des A-modèles en groupes $\mathscr {G}$ de G avec de bonnes propriétés par “recollement fermé” de A-modèles en groupes correspondants pour chaque terme individuel Z et $U_a$ de la grosse cellule, où $a \in \Phi _G^{\operatorname {nd}}$ décrit l’ensemble des racines non divisibles.

Notre démonstration du théorème concernant l’existence du recollé $\mathscr {G}$ fera usage des lois birationnelles de groupes.

On suit la terminologie de [Reference Bosch, Lütkebohmert and RaynaudBLR90] en dénommant un morphisme de présentation finie A-rationnel si son lieu ouvert de définition est à A-fibres denses. Étant donnée une loi birationnelle de groupe sur X, la question qui se pose est de la prolonger birationnellement à un schéma en groupes $\overline {X}$ .

Avant de initier la preuve en tant que telle, résumons son histoire complexe.

Démonstration. Lorsqu’on se donne un ordre grignotant sur $\Phi ^+$ , cf. [Reference Bruhat and TitsBT84a, 3.1.2], alors [Reference Bruhat and TitsBT84a, §3.3] fournit une loi de groupe dans le produit $\mathscr {U}_+=\prod _{a \in \Phi ^{+,\operatorname {nd}}}\mathscr {U}_{a}$ , en argumentant par récurrence sur la longueur des parties positivement closes $\Psi $ de $\Phi ^{+,\operatorname {nd}}$ et en appliquant la règle (DRS 2). Comme les groupes trouvés sont toujours lisses et connexes, le fait que $\mathscr {U}_+$ s’écrit comme produit de ses sous-groupes fermés $\mathscr {U}_{a}$ rangés dans un ordre quelconque résulte du théorème principal de Zariski et de la même indépendance de l’ordre au-dessus des corps, ce qui est déjà classique, voir par exemple [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, prop. C.2.26]. Notons également que $\mathscr {Z}$ opère sur $\mathscr {U}_+$ canoniquement d’après la règle (DRS 1), donnant lieu à un A-groupe noté parfois $\mathscr {Z}\mathscr {U}_+:=\mathscr {Z} \ltimes \mathscr {U}_+$ .

Pour construire $\mathscr {G}$ satisfaisant à la troisième propriété, il suffit de construire une loi birationnelle stricte sur $\mathscr {C}_{+}:=\mathscr {U}_-\times \mathscr {Z} \times \mathscr {U}_+$ pour un choix quelconque $\Phi ^+$ de racines positives, d’après le th. 3.2.5. Il reste à définir une application birationnelle $\mathscr {C}_{+} \dashrightarrow \mathscr {C}_{-}$ prolongeant l’identité de G dans la fibre générique et contenant la section unité, car cela permettrait de définir des applications rationnelles de produit et d’inversion dans $\mathscr {C}_{+}$ , en commutant tous les facteurs et en multipliant ou inversant lorsqu’il le faut.

Montrons plus généralement la même assertion pour chaque paire de systèmes de racines positives $\Phi ^+$ et $\Psi ^+$ par récurrence sur le cardinal des rayons de $ \Phi ^+ \cap \Psi ^- $ . Si cette intersection ne contient que le rayon radiciel $\mathbb {Q}_{>0}a \cap \Phi $ engendré par la racine non divisible $a \in \Phi $ , alors l’axiome (DRS 3) en fournit un morphisme rationnel

(3.2.1) $$ \begin{align}\mathscr{C}_{\Phi^+}=\mathscr{V}_-\times \mathscr{U}_{-a} \times \mathscr{Z} \times \mathscr{U}_a \times \mathscr{V}_+ \dashrightarrow \mathscr{V}_-\times \mathscr{U}_{a} \times \mathscr{Z} \times \mathscr{U}_{-a}\times \mathscr{V}_+=\mathscr{C}_{\Psi^+}\end{align} $$

défini dans un voisinage ouvert de la section unité, où $\mathscr {V}^{\pm }:= \mathscr {U}_{\Phi ^{\pm ,\operatorname {nd}}\setminus \{\pm a\}}$ . La construction montre aussi que la loi birationnelle est indépendante du système de racines positives $\Phi ^+$ choisi, donc il en sera de même du groupe $\mathscr {G}$ obtenu à la fin.

Pour que la loi birationnelle esquissée ci-dessus soit stricte, il faut et il suffit que le morphisme multiplication $\mathscr {C}_+ \times \mathscr {C}_+ \dashrightarrow \mathscr {C}_+$ soit un épimorphisme, vu que la grosse cellule $\mathscr {C}_+$ est géométriquement connexe, cf. [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, rem. 9.6.3]. Or, considérant le fermé $\mathscr {U}_- \times \mathcal {Z}\mathscr {U}_+ \subset \mathscr {C}_+ \times \mathscr {C}_{+}$ dont les points sont de la forme $(a,1,1,b)$ , on déduit aisément que ceux-ci appartiennent au lieu de définition du morphisme multiplication, compte tenu de ce que les morphismes d’échange (3.2.1) soient définis autour de $\mathscr {Z} \mathscr {U}_{\pm }$ .

Maintenant, on dispose d’un A-groupe lisse, séparé et connexe $\mathscr {G}$ qui modèle G et qui contient les différents $\mathscr {C}_{\Phi ^+}$ en tant qu’ouverts, et il faut encore voir que les sous-groupes localement fermés $\mathscr {Z}$ et $\mathscr {U}_+$ sont effectivement fermés. Or l’image réciproque de $\mathscr {Z}\mathscr {U}_+$ par le revêtement fidèlement plat $\mathscr {C}_{\Phi ^-} \times \mathscr {C}_{\Phi ^+} \rightarrow \mathscr {G}$ est déterminée par la condition fermée $b_1b_2=1$ , où $(a_1,b_1, b_2, a_2) \in \mathscr {Z}\mathscr {U}_+ \times (\mathscr {U}_-)^2 \times \mathscr {Z} \mathscr {U}_+$ , ce qui achève la vérification de l’affirmation par descente fidèlement plate.

En principe, on voudrait que le groupe $\mathscr {G}$ soit affine, mais cela ne découle ni de la construction avec des lois birationnelles ni de celle de [Reference Bruhat and TitsBT84a, §3.8, 3.9.4] : en effet, [Reference RaynaudRay70, §VII.3] fournit un exemple d’un groupe quasi-affine, lisse et connexe qui n’est pas affine; remarquons néanmoins que, par contre, celui de [Reference Bruhat and TitsBT84a, 3.2.15] s’avère affine. Toutefois, l’on a :

3.3 Les groupes de Tits sur $\mathbb {G}_{m,\mathbb {Z}}$

Dans le présent paragraphe, nous allons construire les $\mathbb {G}_{m,\mathbb {Z}}$ -groupes de Tits à la suite de [Reference TitsTi84, annexe 2], mission pour laquelle les notations du §2 seront reprises. Néanmoins, il faudra que des hypothèses additionnelles soient faites :

Les notions correspondantes pour la forme déployée H de G seront notées $T_H$ , $B_H$ , $(y_\alpha )_{\alpha \in \Phi _H}$ et $\Gamma $ désignera le groupe de Galois de $\mathbb {Q}(\zeta _e,t^{1/e})/\mathbb {Q}(t)$ opérant sur H par automorphismes de Dynkin–Tits, cf. §§2.2-2.3.

Tout d’abord signalons que le déploiement résiduel de $G_{\mathbb {Q} (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) }$ dans l’hyp. 3.3.1 sert à que les extensions de $\mathbb {Q}(t)$ associées aux racines $a \in \Phi _G$ soient conjuguées de $\mathbb {Q}(t_a)$ , où $t_a=t^{1/e_a}$ et le nombre naturel $e_a$ divise e, c’est-à-dire que l’on ait des quasi-épinglages

(3.3.1) $$ \begin{align} x_a: U_a \xrightarrow{\sim} \operatorname{R}_{\mathbb{Q}(t_a)/\mathbb{Q}(t)}\mathbb{G}_a \end{align} $$

si $a \in \Phi ^{\operatorname {nd,nm}}_G$ n’est ni divisible ni multipliable ou

(3.3.2) $$ \begin{align} x_a: U_a \xrightarrow{\sim} \operatorname{R}_{\mathbb{Q}(t_{2a})/\mathbb{Q}(t)}\mathbb{G}_{p,\mathbb{Q}(t_a)/\mathbb{Q}(t_{2a})} \end{align} $$

si $a \in \Phi _G^{\operatorname {m}}$ est multipliable. D’autre part, le fait que T soit induit entraîne que le tore maximal s’exprime comme produit de facteurs de la forme

(3.3.3) $$ \begin{align} T\simeq\prod_{j\in J}\operatorname{R}_{\mathbb{Q}(t^{1/d_j})/\mathbb{Q}(t)} \mathbb{G}_m \end{align} $$

avec $d_j$ des diviseurs naturels de e.

Pour conclure, notons que, si G remplit l’hyp. 3.3.1, alors il en est de même de son revêtement simplement connexe $G^{\operatorname {sc}}$ , de son groupe adjoint $G^{\operatorname {ad}}$ , voir [Reference Bruhat and TitsBT84a, prop. 4.4.16], et de la z-extension canonique associée $\widetilde {G}$ au sens de (2.4.3), d’où la richesse véritable de la classe d’exemples ici considérés.

Ensuite, on se penche sur la construction d’un certain schéma en groupes $\underline {G}$ sur $\mathbb {G}_{m, \mathbb {Z}}=\operatorname {Spec} \mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ prolongeant G à la suite de Tits, cf. [Reference TitsTi84, p. 217]. Son observation cruciale consiste à remarquer que le tore maximal T et les sous-groupes radiciels $U_a$ pour $a \in \Phi _G^{\operatorname {nd}}$ admettent des $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ -modèles naturels.

Définition 3.3.3 (Tits).

Soit

(3.3.4) $$ \begin{align} \underline{T}:=\prod_{j \in J}\operatorname{R}_{\mathbb{Z}[t^{\pm 1/d_j}]/\mathbb{Z}[t^{\pm 1}]}\mathbb{G}_{m,\mathbb{Z}[t^{\pm 1/d_j}]} \end{align} $$

le $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ -modèle en groupes de T défini par transport de structure le long de l’isomorphisme (3.3.3). Pour les racines $a \in \Phi ^{\operatorname {nd,nm}}$ aux rayons singuliers, soient

(3.3.5) $$ \begin{align} \underline{U_a}:=\operatorname{R}_{\mathbb{Z}[t_a^{\pm 1}]/\mathbb{Z}[t^{\pm 1}]}\mathbb{G}_{a,\mathbb{Z}[t_a^{\pm 1}]} \end{align} $$

les $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ -modèles en groupes de $U_a$ définis par transport de structure le long de $x_a$ , voir (3.3.1). Pour chaque racine multipliable $a \in \Phi _G^{\operatorname {m}}$ , soit

(3.3.6) $$ \begin{align} \underline{U_a}:=\operatorname{R}_{\mathbb{Z}[t_{2a}^{\pm 1}]/\mathbb{Z}[t^{\pm 1}]}\mathbb{G}_{p,\mathbb{Z}[t_a^{\pm 1}]/\mathbb{Z}[t_{2a}^{\pm 1}]} \end{align} $$

le $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ -modèle en groupes de $U_a$ définis par transport de structure le long de $x_a$ , voir (3.3.2), où l’on note $\mathbb {G}_{p,\mathbb {Z}[t_a^{\pm 1}]/\mathbb {Z}[t_{2a}^{\pm 1}]}$ le $\mathbb {Z}[t_{2a}^{\pm 1}]$ -schéma $\operatorname {R}_{\mathbb {Z}[t_a^{\pm 1}]/\mathbb {Z}[t_{2a}^{\pm 1}]}\mathbb {A}^1_{\mathbb {Z}[t_a^{\pm 1}]} \times t_a\mathbb {A}^1_{\mathbb {Z}[t_{2a}^{\pm 1}]}$ muni de la loi de groupe induite par (2.3.1), où l’on note $t_a\mathbb {A}^1_{\mathbb {Z}[t_{2a}^{\pm 1}]} \subset \operatorname {R}_{\mathbb {Z}[t_a^{\pm 1}]/\mathbb {Z}[t_{2a}^{\pm 1}]}\mathbb {A}^1_{\mathbb {Z}[t_a^{\pm 1}]}$ le sous-schéma où la trace s’annule.

Observons que $\underline {T}$ ne dépend pas du choix de l’isomorphisme de (3.3.3), en vertu de son identification au modèle de Néron connexe de T sur $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ , cf. [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.4.8], [Reference Bosch, Lütkebohmert and RaynaudBLR90, prop. 10.1.4] et [Reference Pereira LourençoPL20, prop. 3.8]. Nous montrons ci-dessous que la donnée $(\underline {T},\underline {U_a})_{a \in \Phi _G^{\operatorname {nd}}}$ est radicielle schématique, cf. [Reference TitsTi84, p. 217].

Démonstration. Ceci découle essentiellement du fait que l’application conjugaison

(3.3.7) $$ \begin{align}T \times U_a \rightarrow U_a, \end{align} $$

l’application commutateur

(3.3.8) $$ \begin{align} U_a \times U_b \rightarrow \prod_{c\in ]a,b[} U_c, \end{align} $$

et l’application rationnelle d’échange

(3.3.9) $$ \begin{align} U_a \times U_{-a} \dashrightarrow U_{-a} \times T \times U_a\end{align} $$

préservent leur sens avec $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ -coefficients, c’est-à-dire que se prolongent nettement en des morphismes rationnels entre les produits des modèles $\underline {T}$ et $\underline {U_a}$ pour toute racine $a \in \Phi _G^{\operatorname {nd}}$ non divisible. L’effet de la similitude n’est pas à craindre, restant visible dans la fibre générique.

En effet, pour l’action de $\underline {T}$ sur $\underline {U_a}$ , on peut se ramener, par naturalité des modèles de Néron connexes, au cas où G est adjoint de rang relatif $1$ . Alors, on voit par construction que $\underline {T}$ s’identifie à $\operatorname {R}_{\mathbb {Z}[t_a^{\pm 1}]/\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]}\mathbb {G}_m$ par un certain morphisme a, choisi de telle sorte que les formules

(3.3.10) $$ \begin{align} a(s)\cdot x_a(r)\sim x_a(sr) \end{align} $$

(3.3.11) $$ \begin{align} a(s) \cdot x_a(u,v) \sim x_a(su,s\sigma(s)v)\end{align} $$

décrivent l’opération de $\underline {T}$ sur $\underline {U_a}$ à similitude près, voir aussi [Reference Bruhat and TitsBT84a, prop. 4.4.19].

La règle (DRS 2) concerne les applications commutateur

(3.3.12) $$ \begin{align}\underline{U_a} \times \underline{U_b} \rightarrow \prod_{c\in ]a,b[} \underline{U_c}\end{align} $$

pour des racines non divisibles $a,b$ engendrant des $\mathbb {Q}$ -droites différentes. Leurs fibres génériques s’écrivent à similitude près comme dans [Reference Bruhat and TitsBT84a, A.6] et on voit aisément que les applications y décrites se prolongent aux coefficients entiers. Pour être exhaustif, nous allons écrire les applications commutateur lorsque l’une des racines a, b ou c est multipliable, vu qu’elles ont été affectées par la modification de Tits, voir la déf. 2.3.4 :

(3.3.13) $$ \begin{align} [x_a(r), x_b(r')] \sim x_{a/2+b/2}(0,\sigma(rr')-rr'); \end{align} $$

(3.3.14) $$ \begin{align} [x_a(u,v), x_b(u',v')] \sim x_{a+b}(2uu'); \end{align} $$

(3.3.15) $$ \begin{align} [x_a(u,v), x_b(r)] \sim x_{a+b}(ru,N(r)\sigma(v))x_{2a+b}(s(u,v)r), \end{align} $$

où $s(u,v)$ désigne la somme quadratique $N(u)+v$ . En particulier, les sous-groupes radiciels multipliables commutent les uns avec les autres en caractéristique $2$ , ce qui pourrait surprendre le lecteur, mais qui répondre à nos attentes, compte tenu de la classification des groupes pseudo-réductifs, voir l’ex. 3.1.7 et le th. 3.3.7.

Enfin, pour que l’axiome (DRS 3) soit rempli, il faut se donner une certaine section globale

(3.3.16) $$ \begin{align}d_a:\underline{U_a}\times \underline{U_{-a}} \rightarrow \mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}[t^{\pm 1}]}.\end{align} $$

Posant $\underline {W_a}$ l’ouvert distingué de $\underline {U_a}\times \underline {U_{-a}}$ où $d_a$ ne s’annule pas, qui doit contenir les fermés $\underline {U_{\pm a}}$ , on a besoin encore d’une application

(3.3.17) $$ \begin{align}\beta_a: \underline{W_a} \rightarrow \underline{U_{-a}}\times \underline{T} \times \underline{U_{a}}.\end{align} $$

Dans la fibre générique, on trouve l’écriture de ces applications à similitude près dans [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.1.6, 4.1.12].

Enregistrons toutefois leurs prolongements entiers pour référence future. Si $a \in \Phi _G^{\operatorname {nd,nm}}$ n’est ni divisible ni multipliable, alors

(3.3.18) $$ \begin{align} d_a(x_a(r),x_{-a}(r'))=\operatorname{Norme}_{\mathbb{Z}[t_a^{\pm 1}]/\mathbb{Z}[t^{\pm 1}]}(1-rr')\end{align} $$

et, en posant $t(r,r')=1-rr'$ et $\underline {W_a}$ l’ouvert spécial déterminé par $d_a$ , on en tire

(3.3.19) $$ \begin{align} \beta_a(x_a(r),x_{-a}(r'))=(x_{-a}(r'/t(r,r')),a^{\vee}(t(r,r')),x_a(r/t(r,r'))),\end{align} $$

où $a^{\vee }$ désigne l’application composée d’un certain isomorphisme $\operatorname {R}_{\mathbb {Z}[t_a^{\pm 1}]/\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]}\mathbb {G}_m \simeq \underline {T}^{\operatorname {sc},a} $ unique à conjugaison près avec le morphisme naturel $\underline {T}^{\operatorname {sc},a} \rightarrow \underline {T}$ . Si $a \in \Phi _G^{\operatorname {m}}$ est multipliable, il s’avère par des calculs impliquant la modification de Tits que l’on a

(3.3.20) $$ \begin{align} d_a(x_a(u,v),x_{-a}(u',v'))=\operatorname{Norme}_{\mathbb{Z}[t_{a}^{\pm 1}]/\mathbb{Z}[t^{\pm 1}]}t(u,v,u',v'),\end{align} $$

où l’on note $t(u,v,u',v'):=1-2\sigma (u)u'+s(u,v)s(u',v')$ , et on en déduit aussi que la première coordonnée de $\beta _a(x_a(u,v),x_{-a}(u',v'))$ s’écrit comme le monstre suivant

(3.3.21) $$ \begin{align} x_{-a}\Big(\frac{u'-us(u',v')}{t(u,v,u',v')},\frac{s(u',v')}{t(u,v,u',v')}-N\Big(\frac{u'-us(u',v')}{t(u,v,u',v')}\Big)\Big), \end{align} $$

mais sans aucun facteur de $2$ non souhaitable. On voit de même que sa dernière coordonnée est pareille à la première, quitte à échanger quelques primes et à conjuguer, et que la deuxième est égale à $(2a)^{\vee }(t(u,v,u',v'))$ , où l’on note $(2a)^\vee $ l’applicationFootnote ⁴ composée $\operatorname {R}_{\mathbb {Z}[t_a^{\pm 1}]/\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]}\mathbb {G}_m \simeq \underline {T}^{\operatorname {sc},a}\rightarrow \underline {T}$ .

Grâce à cette proposition, nous pouvons appliquer le th. 3.2.5 pour obtenir un $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ -groupe lisse, connexe et séparé $\underline {G}$ .

Remarquons tout d’abord quelques propriétés importantes :

Notons $G_{\eta _p}$ la fibre générique $\underline {G}\otimes \mathbb {F}_p(t)$ de la réduction $G_p:=\underline {G}\otimes \mathbb {F}_p[t^{\pm 1}]$ modulo p de $\underline {G}$ .

La notion de quasi-système de Tits n’a été pas définie pour les groupes pseudo-réductifs exotiques ou barcelonais, la raison étant que pour ces groupes il n’a aucun sens a priori de distinguer entre quasi-systèmes de Tits et de Chevalley, voir [Reference LourençoLou21, déf. 2.4]. On pourrait alors prendre l’énoncé en petites caractéristiques comme définition même.

Démonstration. Par construction avec les lois birationnelles, l’on a une suite de sous-groupes fermés $\underline {S} \subset \underline {T} \subset \underline {B} \subset \underline {G}$ lisses et connexes. On voit que les fibrés vectoriels $\operatorname {Lie}\underline {T}$ resp. $\operatorname {Lie}\underline {U_a}$ ne sont que les espaces propres à poids nul resp. non nul pour l’action de $\underline {S}$ sur $\operatorname {Lie}\,\underline {G}$ . En particulier, cela caractérise uniquement leurs fibres $S_{\eta _p} \subset T_{\eta _p} \subset B_{\eta _p} \subset G_{\eta _p}$ comme sous-groupes fermés de $G_{\eta _p}$ par le th. 3.1.3 - l’assertion cruciale reste valable plus généralement pour les groupes lisses, affines et connexes.

Il suffit donc de montrer, en vertu de [Reference Bruhat and TitsBT84a, 1.1.11] et de [Reference Conrad, Gabber and PrasadCGP15, th. C.2.29], que $T_{\eta _p}$ est pseudo-réductif (ce qui est manifestement le cas) et que les sous-groupes $G_{a,\eta _p}$ engendrés par $C_{a,\eta _p}$ sont pseudo-réductifs. Autrement dit, on peut supposer G de rang relatif $1$ , et même simplement connexe, en faisant usage des z-extensions. En effet, comme G résulte de $G^{\operatorname {sc}}$ par modification centrale, cf. (2.4.4), alors les lois birationnelles fournissent un isomorphisme de $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ -groupes :

(3.3.22) $$ \begin{align}\underline{G}:=(\underline{T}\ltimes \underline{G}^{\operatorname{sc}})/\underline{T}^{\operatorname{sc}},\end{align} $$

d’où le fait que $G_{\eta _p}$ soit un modifié central de $G^{\operatorname {sc}}_{\eta _p}$ par le groupe commutatif pseudo-réductif $T_{\eta _p}$ , ramenant l’assertion au cas où G est simplement connexe.

Supposons que $G=\operatorname {R}_{\mathbb {Q}(t_a)/\mathbb {Q}(t)}\operatorname {SL}_2$ ou que $p \neq 2$ et $G=\operatorname {R}_{\mathbb {Q}(t_{2a})/\mathbb {Q}(t)}\operatorname {SU}_{3,\mathbb {Q}(t_a)/\mathbb {Q}(t_{2a})}$ . Alors, on sait déjà que $G_{\eta _p}=\operatorname {R}_{\mathbb {F}_p(t_a)/\mathbb {F}_p(t)}\operatorname {SL}_2$ ou que $G_{\eta _p}=\operatorname {R}_{\mathbb {F}_p(t_{2a})/\mathbb {F}_p(t)}\operatorname {SU}_{3,\mathbb {F}_p(t_{2a})/\mathbb {F}_p(t_a)}$ sont pseudo-réductifs, voir la rem. 3.3.6. Si $p=2$ et $G=\operatorname {R}_{\mathbb {Q}(t_{2a})/\mathbb {Q}(t)}\operatorname {SU}_{3,\mathbb {Q}(t_a)/\mathbb {Q}(t_{2a})}$ , alors (3.3.20) et (3.3.21) se simplifient en caractéristique $2$ comme suit :

(3.3.23) $$ \begin{align}1+s(u,v)s(u',v')\end{align} $$

et

(3.3.24) $$ \begin{align}\frac{s(u',v')}{1+s(u,v)s(u',v')},\end{align} $$

ce qui coïncide avec (3.3.18) et (3.3.19) pour le couple $(s(u,v),s(u',v'))$ . Par suite, notre loi birationnelle dans la grosse cellule $C_{\eta _2} \subset G_{\eta _2}$ coïncide avec celle du groupe barcelonais de rang relatif $1$ et de dimension $\dim G$ , voir ex. 3.1.7.

Enfin, pour que les isomorphismes donnés $x_a$ constituent un quasi-système de Tits, il faut essentiellement remarquer que les $m_b$ permutent les classes de similitude des $x_a$ pour toutes racines non divisibles $a,b \in \Phi _G^{\operatorname {nd}}$ . Cela résulte par densité de l’assertion correspondante dans la fibre générique, c’est-à-dire pour G, donc remplie grâce au lem. 2.3.5.

Parfois il sera plus commode d’avoir une description plus concise et explicite du groupe de Tits $\underline {G}$ en fonction de $\operatorname {R}_{\mathbb {Z}[\zeta _e,t^{\pm 1/e}]/\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]} H$ , où H est vu comme $\mathbb {Z}$ -groupe épinglé au moyen des épinglages $y_\alpha $ du système de Tits associé.

Commentons également un truc qui s’avère très utile dans certaines situations. Si on se contente de construire le schéma en groupes $\underline {G}$ au-dessus de $\mathbb {Z}[\zeta _e,t^{\pm 1}]$ , alors l’extension de déploiement (générique) $\mathbb {Z}[\zeta _e,t^{\pm 1}] \rightarrow \mathbb {Z}[\zeta _e,t^{\pm 1/e}]$ devient cyclique, et on peut substituer le groupe cyclique $\Gamma _0$ à son sur-groupe $\Gamma $ . Par la même argumentation ci-dessous, on arrive à réaliser $\underline {G}\otimes \mathbb {Z}[\zeta _e]$ comme sous-groupe fermé de $\operatorname {R}_{\mathbb {Z}[\zeta _e, t^{\pm 1/e}]/\mathbb {Z}[\zeta _e,t^{\pm 1}]} H$ contenu dans les $\Gamma _0$ -invariants.

Démonstration. Montrons tout d’abord que les applications restreintes aux tores

(3.3.25) $$ \begin{align}\underline{T} \rightarrow \operatorname{R}_{\mathbb{Z}[\zeta_e,t^{\pm 1/e}]/\mathbb{Z}[t^{\pm 1}]} T_H,\end{align} $$

resp. aux sous-groupes radiciels

(3.3.26) $$ \begin{align}\underline{U_a} \rightarrow \prod_{\gamma\alpha}\operatorname{R}_{\mathbb{Z}[\zeta_e,t^{\pm 1/e}]/\mathbb{Z}[t^{\pm 1}]} U_{H,\gamma\alpha}\end{align} $$

si $a\in \Phi _G$ n’est ni divisible ni multipliable, et

(3.3.27) $$ \begin{align}\underline{U_a} \rightarrow \prod_{\{\gamma\alpha,\gamma\beta\}} \operatorname{R}_{\mathbb{Z}[\zeta_e,t^{\pm 1/e}]/\mathbb{Z}[t^{\pm 1}]}U_{H,\gamma\alpha} U_{H,\gamma(\alpha+\beta)}U_{H,\gamma\beta}\end{align} $$

si $a \in \Phi _G^{\operatorname {m}}$ est multipliable, sont des immersions fermées. Le cas du centralisateur résulte de ce que les modèles de Néron connexes des tores induits sont leurs modèles canoniques, cf. [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.4.6, 4.4.8]. À son tour, le cas des sous-groupes radiciels est une conséquence des calculs supprimés du lem. 2.3.5.

Par suite, la [Reference Bruhat and TitsBT84a, prop. 2.2.10] entraîne que l’application naturelle

(3.3.28) $$ \begin{align}\underline{G}\rightarrow \operatorname{R}_{\mathbb{Z}[\zeta_e,t^{1/e}]/\mathbb{Z}[t]} H\end{align} $$

est une immersion localement fermée. Soit $\widehat {\mathbb {Z}[t]}_{(p)}$ le séparé complété du localisé de $\mathbb {Z}[t]$ dans l’idéal premier $(p)$ : il s’agit d’un anneau de valuation discrète à uniformisante p et à corps résiduel $\mathbb {F}_p(t)$ . L’image schématique du groupe parahorique spécial $\underline {G} \otimes \widehat {\mathbb {Z}[t]}_{(p)}$ dans la restriction des scalaires correspondante de $ H$ est un sous-groupe fermé, affine et lisse, dont la composante neutre reste égale, d’où l’égalité par [Reference Bruhat and TitsBT84a, prop. 4.6.21].

En particulier, la propriété d’être une immersion fermée se propage à un ouvert cofini U de $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ . Pour conclure, il ne reste qu’à appliquer le lemme ci-dessous concernant l’existence d’une opération tordue fonctorielle de $\mathbb {G}_{m,\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]}$ sur $\underline {G}$ et sur $\operatorname {R}_{\mathbb {Z}[\zeta _et^{1/e}]/\mathbb {Z}[t]} H$ . En effet, cette action relève celle de la e-ième puissance sur $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ , dont les translatés de U recouvrent tout le spectre.

Ce lemme a joué un rôle important dans la fin de la démonstration précédente.

Dans la version précédente de l’article, nous avons démontré par un calcul presque direct que, au cas où G est absolument simple et simplement connexe à système de racines $\Phi _G$ réduit, la fibre générique $G_{\eta _e}$ était pseudo-réductive exotique basique. Voici le raisonnement :

Exemple 3.3.11. Supposons que G est absolument simple, simplement connexe et non déployé à système de racines $\Phi _G$ réduit et que $e\leq 3$ . Grâce à la prop. 3.3.9, on a une immersion fermée

(3.3.29) $$ \begin{align} G_{\eta_e}\hookrightarrow(\operatorname{R}_{\mathbb{F}_e(t^{1/e})/\mathbb{F}_e(t)} H)^{\Gamma_0}. \end{align} $$

Vu que la partie galoisienne de l’opération de $\Gamma _0$ sur cette restriction des scalaires s’évapore tout simplement en caractéristique e, le membre de droite s’écrit comme $\operatorname {R}_{\mathbb {F}_e(t^{1/e})/\mathbb {F}_e(t)} H^{\Gamma _0}$ , où $\Gamma _0$ opère par $\mathbb {F}_e$ -automorphismes de Dynkin sur le $\mathbb {F}_e$ -groupe épinglé H.

D’après Steinberg, cf. [Reference SteinbergSt68, th. 8.2] et [Reference HainesHai18, prop. 5.1], le groupe algébrique $H^{\Gamma _0}$ est lisse, connexe, semi-simple, absolument presque simple et simplement connexe déployé à système de racines $\Phi _G$ ayant $T^{\Gamma _0}$ comme $\mathbb {F}_e$ -tore maximal. Ce tore se décompose en produit de groupes multiplicatifs $\mathbb {G}_m$ numérotés par les racines simples $a \in \Delta _G$ et donnés par les formules

(3.3.30) $$ \begin{align}a^{\vee}:\mathbb{G}_m \rightarrow T^{\Gamma_0}, \end{align} $$

(3.3.31) $$ \begin{align}r \mapsto \prod_{\gamma\alpha} (\gamma\alpha)^{\vee}(r).\end{align} $$

Ses groupes radiciels numérotés par $a \in \Phi _G$ sont égaux à $(\prod _{\gamma \alpha } U_{\gamma \alpha })^{\Gamma _0}$ et donnés par les épinglages

(3.3.32) $$ \begin{align}z_a: \mathbb{G}_a \rightarrow H^{\Gamma_0},\end{align} $$

(3.3.33) $$ \begin{align}r \mapsto \prod_{\gamma\alpha} y_{\gamma\alpha}(r),\end{align} $$

qui forment un $\mathbb {F}_e$ -système de Chevalley, comme on vérifie aisément. Alors, il suffit de remarquer que ces applications sont naturellement compatibles avec celles du quasi-système de Tits de G, donc le $\mathbb {F}_e(t)$ -groupe $G_{\eta _e}$ s’identifie au seul $\mathbb {F}_e(t)$ -groupe pseudo-réductif exotique basique à système de racines $\Phi _G$ de l’ex. 3.1.6, compte tenu de l’unicité des solutions aux lois birationnelles, cf. th. 3.2.4.

3.4 Modèles en groupes immobiliers sur $\mathbb {A}_{\mathbb {Z}}^1$

Dans ce numéro, nous allons introduire les $\mathbb {A}_{\mathbb {Z}}^1$ -modèles en groupes immobiliers $\underline {\mathscr {G}_{ \Omega }}$ , voir la déf. 3.4.6, des groupes de Tits $\underline {G}$ , voir la déf. 3.3.5. Au-dessus de $\mathbb {Z}[1/e]$ , ces groupes avaient été découverts par Pappas–Rapoport dans le cas simplement connexe, voir [Reference Pappas and RapoportPR08, 7.a, (7.2)], puis définis plus généralement par Pappas–Zhu, voir [Reference Pappas and ZhuPZ13, th. 4.1]. Notre gros résultat est celui de l’affinité du modèle immobilier $\underline {\mathscr {G}_{ \Omega }}$ , voir le th. 3.4.10, lequel résulte d’une approche radicalement différente de celle de Pappas–Rapoport–Zhu, en faisant justement usage des propriétés combinatoires élémentaires, cf. prop. 3.4.1, et de la lissité de l’enveloppe affine, cf. prop. 3.2.7.

Avant de définir les données radicielles schématiques, on a besoin du lemme suivant sur la combinatoire des $\mathbb {F}_p (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) $ -groupes déduits de $\underline {G}$ par changement de base, en variant la caractéristique p.

Démonstration. Identifions d’abord les groupes d’Iwahori–Weyl $\widetilde {W}_p$ de $G_{\eta _p}$ par rapport à $S_{\eta _p}$ en caractéristiques différentes. Soit $\underline {N}$ le normalisateur de $\underline {S}$ dans $\underline {G}$ , qui en est un $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ -sous-groupe fermé affine et lisse, comme l’affirme [SGA3, exp. XI, cor. 5.3 bis]. Posons

(3.4.1) $$ \begin{align}\underline{\mathscr{T}}:=\prod_{j\in J}\operatorname{R}_{\mathbb{Z}[t^{1/d_j}]/\mathbb{Z}[t]}\mathbb{G}_{m} \end{align} $$

le modèle de Néron connexe de T sur $\mathbb {Z}[t]$ . On montre que l’homomorphisme de groupes naturel

(3.4.2) $$ \begin{align}\underline{N}(\mathbb{Z}[t^{\pm 1}])/\underline{\mathscr{T}}(\mathbb{Z}[t]) \rightarrow \widetilde{W}_p:=N_{\eta_p}(\mathbb{F}_p (\hspace{-0,7mm}( {t} )\hspace{-0,7mm}) )/\mathscr{T}_p(\mathbb{F}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] )\end{align} $$

est toujours bijectif, ce qui fournira par zig-zag l’isomorphisme cherché. Le lemme de la serpente nous permet de traiter distinctement les sous-groupes des translations

(3.4.3) $$ \begin{align}\underline{T}(\mathbb{Z}[t^{\pm 1}])/\underline{\mathscr{T}}(\mathbb{Z}[t]) \rightarrow T_{\eta_p}(\mathbb{F}_p (\hspace{-0,7mm}( {t} )\hspace{-0,7mm}) )/\mathscr{T}_p(\mathbb{F}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] )\end{align} $$

et les quotients des transformations vectorielles

(3.4.4) $$ \begin{align}\underline{N}(\mathbb{Z}[t^{\pm 1}])/\underline{T}(\mathbb{Z}[t^{\pm 1}])\rightarrow W(G_{\eta_p},S_{\eta_p}).\end{align} $$

On voit que le cas des translations est trivial, en calculant explicitement avec la décomposition (3.4.1), ce qui revient au même de dire que la valuation t-adique est indépendante des coefficients.

Maintenant, on se penche sur la partie des transformations vectorielles. Vu que $\underline {T} \rightarrow \underline {N}$ est une immersion fermée, l’application (3.4.4) est injective en caractéristique nulle $p=0$ . D’autre part, les éléments $m_a$ du normalisateur qu’on avait évoqués à (2.3.11) et (2.3.12) sont définis sur $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ , voir la preuve de la prop. 3.3.4, et y induisent les réflexions $s_a$ du groupe de Weyl de $\Phi _G$ . Par suite, les applications de (3.4.4) sont même bijectives pour tout premier p, comme il suit d’une comparaison d’ordres.

Maintenant, on peut définir une valuation $\varphi _p \in \mathscr {A}(G_{\eta _p}, S_{\eta _p}, \mathbb {F}_p (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ , pour chaque caractéristique $p \in \mathbb {P} \cup \{0\}$ , en termes du quasi-système de Tits naturel de $G_{\eta _p}$ , cf. prop. 3.3.7, de la manière suivante :

(3.4.5) $$ \begin{align} \varphi_{p,a}(x_a(r))=\omega_p(r), \end{align} $$

(3.4.6) $$ \begin{align} \varphi_{p,a}(x_a(u,v))=\omega_p(u^2+v)/2, \end{align} $$

où la valuation additive t-adique $\omega _p: \mathbb {F}_p (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) ^{\operatorname {alg}}\rightarrow \mathbb {R}$ est déterminée uniquement par la contrainte $\omega _p(t)=1$ , comp. avec la valuation de [Reference LourençoLou21, déf. 3.1] donnée par (3.1.12), (3.1.13) et (3.1.14).

La prochaine étape consiste à identifier les appartements $\mathscr {A}(G_{\eta _p},S_{\eta _p},\mathbb {F}_p (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ de façon équivariante. En choisissant $\varphi _p$ pour origine de cet appartement, il ne devient autre que le sous- $\mathbb {R}$ -espace vectoriel de $X_*(S_{\eta _p}) \otimes _{\mathbb {Z}}{\mathbb {R}}$ engendré par les coracines $\Phi _G^\vee $ , d’où en particulier des isomorphismes

(3.4.7) $$ \begin{align}\mathscr{A}(G_{\eta_p},S_{\eta_p},\mathbb{F}_p (\hspace{-0,7mm}( {t} )\hspace{-0,7mm}) ) \simeq \mathscr{A}(G_{\eta_q},S_{\eta_q},\mathbb{F}_q (\hspace{-0,7mm}( {t} )\hspace{-0,7mm}) )\end{align} $$

pour toute paire de caractéristiques $p,q \in \mathbb {P} \cup \{0\}$ . Il est aisé de voir que cette identification fait correspondre les racines affines de chaque appartement ainsi que leurs échelonnages, voir [Reference LourençoLou21, déf. 3.3].

Démontrons enfin l’équivariance de l’isomorphisme donné par (3.4.7), qu’il suffit de la vérifier pour une partie génératrice. Pour les translations l’assertion devient évidente, vu que $z \in T_{\eta _p}(\mathbb {F}_p (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ opère par la translation par le vecteur $\nu (z)$ tel que $a(\nu (z))=-\omega _p(a(z)) $ , voir [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.2.7], et que la valuation t-adique est indépendante de la caractéristique, voir (3.4.3). Les classes des $m_a \in \underline {N}(\mathbb {Z}[t^{\pm 1}])$ à leur tour opèrent par des réflexions correspondantes $s_a$ du groupe de Weyl fixant l’origine.

Dorénavant, on fera plusieurs fois l’abus de langage d’écrire $\mathscr {A}(\underline {G},\underline {S},\mathbb {Z} (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ lorsqu’on parle de tous les appartements $\mathscr {A}(G_{\eta _p},S_{\eta _p},\mathbb {F}_p (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ pour $p \in \mathbb {P}\cup \{0\}$ en même temps, identifiés selon (3.4.7). L’information combinatoire qu’on vient de rassembler dans la prop. 3.4.1 nous permettra ainsi d’introduire les $\mathbb {A}^1_{\mathbb {Z}}$ -modèles immobiliers $\underline {\mathscr {G}_{ \Omega }}$ , voir la déf. 3.4.6, des $\mathbb {G}_{m,\mathbb {Z}}$ -groupes de Tits $\underline {G}$ , où $\Omega $ désigne une partie bornée et non vide de $\mathscr {A}(\underline {G},\underline {S},\mathbb {Z} (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ .

On commence par rappeler la structure de certains modèles entiers lisses et connexes du groupe additif, à la suite de [Reference Bruhat and TitsBT84a, 1.4.1].

L’étape suivante consiste à définir les données radicielles schématiques, pour lequel il faut introduire un outil combinatoire additionnel. Soient $\Omega \subset \mathscr {A}(\underline {G},\underline {S},\mathbb {Z} (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ une partie non vide et bornée et

(3.4.10) $$ \begin{align} f_{\Omega}: \Phi_G \rightarrow \mathbb{R},\end{align} $$

(3.4.11) $$ \begin{align} a \mapsto \operatorname{min} \{ k \in \Gamma_a': a(\Omega)+k\geq 0\} \end{align} $$

la fonction quasi-concave et optimale attachée à $\Omega $ , voir [Reference Bruhat and TitsBT84a, 4.6.26]. Notons que $f_\Omega $ dépend aussi du choix de l’origine $\varphi $ de l’appartement $\mathscr {A}(\underline {G},\underline {S},\mathbb {Z} (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ que nous avons introduite à la prop. 3.4.1, cf. (3.4.7).

Définition 3.4.4. Soient G un $\mathbb {Q}(t)$ -groupe remplissant l’hyp. 3.3.1, $\Omega $ une partie non vide et bornée de l’appartement $\mathscr {A}(\underline {G},\underline {S},\mathbb {Z} (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ et $f_\Omega $ la fonction (3.4.10) définie par (3.4.11). Définissons le modèle $\underline {\mathscr {T}}$ de $\underline {T}$ par (3.4.1). Quant aux sous-groupes radiciels, définissons-le par transport de structure le long des quasi-épinglage comme suit :

(3.4.12) $$ \begin{align} \underline{\mathscr{U}_{a, \Omega}}:=\operatorname{R}_{\mathbb{Z}[t_a]/\mathbb{Z}[t]} t^{f_\Omega(a)} \mathbb{G}_{a,\mathbb{Z}[t_a]}, \end{align} $$

lorsque $a\in \Phi _G^{\operatorname {nd,nm}}$ n’est ni divisible ni multipliable, ou

(3.4.13) $$ \begin{align} \underline{\mathscr{U}_{a, \Omega}}:=\operatorname{R}_{\mathbb{Z}[t_{2a}]/\mathbb{Z}[t]} t^{f_{\Omega}(a),f_{\Omega}(2a)} \mathbb{G}_{p,\mathbb{Z}[t_a]/\mathbb{Z}[t_{2a}]}, \end{align} $$

où $t^{f_{\Omega }(a),f_{\Omega }(2a)} \mathbb {G}_{p,\mathbb {Z}[t_a]/\mathbb {Z}[t_{2a}]}$ signifie le produit $t^{f_\Omega (a)} \mathbb {G}_{a,\mathbb {Z}[t_{a}]} \times t^{f_\Omega (2a)}\mathbb {G}_{a,\mathbb {Z}[t_{2a}]}$ .

Signalons que le $\mathbb {Z}[t]$ -modèle en groupes $\underline {\mathscr {U}_{a, \Omega }}$ est bien défini, car $t^{f_\Omega (a)}$ est une puissance entière de $t_a$ . On a fait un abus de langage pareil dans l’écriture de $\underline {\mathscr {U}_{a, \Omega }}$ , lorsque $a\in \Phi _G^{\operatorname {m}}$ est multipliable, vu que $t^{f_\Omega (2a)}$ n’appartient jamais à $\mathbb {Z}[t_{2a}]$ , mais bien à son complément $t_a\mathbb {Z}[t_{2a}]$ dans $\mathbb {Z}[t_a]$ . Il faudrait d’ailleurs montrer que la loi de groupe de $\mathbb {G}_{p,\mathbb {Q}(t_{a})/\mathbb {Q}(t_{2a})}$ se prolonge à son modèle entier, ce qui sera vérifié implicitement pendant la preuve de la proposition suivante.

Démonstration. On peut certes démontrer que nos modèles entiers satisfont aux règles de la déf. 3.2.1 par la même procédure de la prop. 3.3.4. Toutefois, il est plus vite d’observer le truc suivant à la Beauville–Laszlo [Reference Beauville and LaszloBL95, th.] : on a l’égalité

(3.4.14) $$ \begin{align}A=A[t^{-1}] \cap A\otimes \mathbb{Q} [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] \subset A\otimes \mathbb{Q} (\hspace{-0,7mm}( {t} )\hspace{-0,7mm}) \end{align} $$

pour toute $\mathbb {Z}[t]$ -algèbre plate A. Cela implique qu’on peut toujours construire des homomorphismes entre de tels anneaux par recollement au-dessus de $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ et puis $\mathbb {Q} [\hspace {-0,5mm}[ {t} ]\hspace {-0,5mm}] $ . Par conséquent, on s’est ramené, d’un côté, au cas où t est inversible, ce qui a été déjà réalisé dans la prop. 3.3.4, et d’autre côté, au cas des modèles immobiliers du $\mathbb {Q} (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) $ -groupe réductif et connexe $G_{\mathbb {Q} (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) }$ , grâce au cor. 3.4.7. Mais ce dernier cas est dû à Bruhat–Tits, cf. [Reference Bruhat and TitsBT84a, th. 4.5.4].

On peut finalement définir les $\mathbb {Z}[t]$ -modèles immobiliers $\underline {\mathscr {G}_{ \Omega }}$ du groupe de Tits $\underline {G}$ .

Particularisant les schémas en groupes ci-dessus, on obtient à l’évidence ceux de la théorie de Bruhat–Tits pseudo-réductive qu’on avait mentionnée au th. 3.1.8.

Enfin, on va relier les $\mathbb {A}^1_{\mathbb {Z}}$ -modèles immobiliers $\underline {\mathscr {G}_{ \Omega }}$ de G avec ceux de H, tel que l’on avait fait pour leurs groupes de Tits, cf. prop. 3.3.9. On remarque que l’isomorphisme $G_{\mathbb {Q}(\zeta _e,t^{1/e})} \simeq H$ induit un plongement

(3.4.15) $$ \begin{align}\mathscr{A}(G,S,\mathbb{Q} (\hspace{-0,7mm}( {t} )\hspace{-0,7mm}) ) \hookrightarrow \mathscr{A}(H,T_H,\mathbb{Q}(\zeta_e) (\hspace{-0,7mm}( {t^{1/e}} )\hspace{-0,7mm}) )\end{align} $$

d’appartements, donc $\Omega $ peut être regardé comme partie du membre de droite. Le résultat ci-dessous ne sera jamais appliqué dans le reste de l’article.

Enfin, on mettre un terme à nos enquêtes sur la théorie des groupes, en démontrant que les $\mathbb {Z}[t]$ -groupes lisses, séparés et connexes $\underline {\mathscr {G}_\Omega }$ sont même affines, duquel on profitera plus tard pour faire la géométrie des grassmanniennes affines, voir les §§4-5 et en particulier les props. 4.1.2 et 5.1.2.

On va démontrer ce résultat fondamental de manière complètement différente à celle de [Reference Pappas and ZhuPZ13, th. 4.1] dans le cas modérément ramifié. En effet, ce dernier article procède par deux étapes : dans le cas déployé, des techniques de dilatation sont appliquées, voir [Reference Waterhouse and WeisfeilerWW80, §1] et [Reference Bosch, Lütkebohmert and RaynaudBLR90, §3.2] pour le cas de la dimension $1$ et [Reference MayeuxMRR20, §3] en dimension supérieure; dans le cas tordu, un calcul cohomologique en termes de $\Gamma $ -invariants est évoqué.

Dans notre cadre généralisé, même si l’on sait déjà que $\underline {G}$ est affine sur $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ d’après la prop. 3.3.9, nous ne disposons pas d’une interprétation galoisienne pure, pour qu’on puisse calculer des groupes de cohomologie. Nos arguments sont donc beaucoup plus abstraits, mais aussi élémentaires en ce qui concerne les outils techniques.

Démonstration. On doit prouver que l’enveloppe affine $\underline {\mathscr {G}_{\Omega }^{\operatorname {af}}}$ est connexe, voir la prop. 3.2.7, et on s’est ramené à traiter les fibres géométriques en les idéaux maximaux $(p,t)$ de $\mathbb {Z}[t]$ , pour $p>0$ un nombre premier. Soient $\underline {\mathscr {N}_{\Omega }}$ (resp. $\underline {\mathscr {N}_{\Omega }^{\operatorname {af}}}$ ) le normalisateur de $\underline {\mathscr {S}}$ dans $\underline {\mathscr {G}_{\Omega }}$ (resp. dans l’enveloppe affine $\underline {\mathscr {G}_{\Omega }^{\operatorname {af}}}$ ), qui sont sous- $\mathbb {Z}[t]$ -groupes fermés et lisses, cf. [SGA3, exp. XI, cor. 2.4 bis, cor. 6.11]. Chaque composante connexe de cette fibre géométrique peut être représentée par un point de $\underline {\mathscr {N}_{\Omega }^{\operatorname {af}}}$ à valeurs dans $\breve {\mathbb {Z}}_p [\hspace {-0,5mm}[ {t} ]\hspace {-0,5mm}] $ , grâce au lemme d’Hensel joint au cor. 3.4.7 et au fait correspondant en théorie de Bruhat–Tits, voir [Reference LourençoLou21, prop. 2.12] et [Reference Bruhat and TitsBT84a, cor. 4.6.21]. Alors, la non connexité de $\underline {\mathscr {G}_{\Omega }^{\operatorname {af}}}$ au-dessus de $\breve {\mathbb {Z}}_p [\hspace {-0,5mm}[ {t} ]\hspace {-0,5mm}] $ contredit à l’évidence l’affirmation selon laquelle les flèches

(3.4.16) $$ \begin{align}\underline{N}(\breve{\mathbb{Z}}_p (\hspace{-0,7mm}( {t} )\hspace{-0,7mm}) )/\underline{\mathscr{N}_{\Omega}}(\breve{\mathbb{Z}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] ) \rightarrow \underline{N}(\overline{\mathbb{F}}_p (\hspace{-0,7mm}( {t} )\hspace{-0,7mm}) )/\underline{\mathscr{N}_{\Omega}}(\overline{\mathbb{F}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] ) \end{align} $$

(3.4.17) $$ \begin{align} \underline{N}(\breve{\mathbb{Z}}_p (\hspace{-0,7mm}( {t} )\hspace{-0,7mm}) )/\underline{\mathscr{N}_{\Omega}}(\breve{\mathbb{Z}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] ) \rightarrow \underline{N}(\breve{\mathbb{Q}}_p (\hspace{-0,7mm}( {t} )\hspace{-0,7mm}) )/\underline{\mathscr{N}_{\Omega}}(\breve{\mathbb{Q}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] ) \end{align} $$

sont bijectives, puisque la descente de Beauville–Laszlo, voir [Reference Beauville and LaszloBL95, th.], en fournit l’égalité

(3.4.18) $$ \begin{align}\underline{\mathscr{N}_{\Omega}^{\operatorname{af}}}(\breve{\mathbb{Z}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] )=\underline{N}(\breve{\mathbb{Z}}_p (\hspace{-0,7mm}( {t} )\hspace{-0,7mm}) ) \cap \underline{\mathscr{N}_{\Omega}}(\breve{\mathbb{Q}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] ) \end{align} $$

comme sous-groupes de $\underline {N}(\breve {\mathbb {Q}}_p (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ .

Maintenant, nous montrons cette assertion, c’est-à-dire que les applications (3.4.16) et (3.4.17) sont bijectives. En effet, nous avons déjà vu pendant la preuve de la prop. 3.4.1 que les diverses variantes des groupes d’Iwahori-Weyl sont toutes canoniquement isomorphes, quels que soient les coefficients utilisés, cf. (3.4.2). Par suite, il reste à avérer que les applications d’ensembles finis

(3.4.19) $$ \begin{align}\underline{\mathscr{N}_{\Omega}}(\breve{\mathbb{Z}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] )/\underline{\mathscr{T}}(\breve{\mathbb{Z}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] ) \rightarrow \underline{\mathscr{N}_\Omega}(\overline{\mathbb{F}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] )/\underline{\mathscr{T}}(\overline{\mathbb{F}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] ), \end{align} $$

(3.4.20) $$ \begin{align} \underline{\mathscr{N}_\Omega}(\breve{\mathbb{Z}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] )/\underline{\mathscr{T}}(\breve{\mathbb{Z}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] ) \rightarrow \underline{\mathscr{N}_\Omega}(\breve{\mathbb{Q}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] )/\underline{\mathscr{T}}(\breve{\mathbb{Q}}_p [\hspace{-0,5mm}[ {t} ]\hspace{-0,5mm}] ) \end{align} $$

sont bijectives. D’une part, le cardinal du membre de droite de ces applications ne dépend pas de la caractéristique des coefficients, puisqu’il s’identifie en tout cas au groupe de Weyl résiduel $W(\Phi _{\Omega })$ du sous-système de racines $\Omega $ -résiduel

(3.4.21) $$ \begin{align} \Phi_\Omega:= \{ a \in \Phi_G : f_\Omega(a)+f_\Omega(-a)=0\}, \end{align} $$

voir [Reference Bruhat and TitsBT84a, cor. 4.6.12] et [Reference LourençoLou21, lem. 4.6] pour une preuve de cette affirmation. D’autre part, la première flèche (3.4.19) est surjective par le lemme d’Hensel et la deuxième (3.4.20) est injective, parce que $\underline {\mathscr {T}}$ est fermé dans $\underline {\mathscr {N}_{\Omega }}$ .

4.1 Rappels et préparatifs

Nous allons rappeler au lecteur les notions et résultats principales concernant les grassmanniennes affines, lesquelles seront les objets géométriques centraux de nos investigations. Voici la définition :

Il s’agit d’un faisceau en ensembles pour la topologie plate. Le groupe de lacets $L\mathrm {G}:R \mapsto \mathrm {G}(R (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ de G, qui est représentable par un ind-schéma affine de type fini, cf. [Reference Pappas and RapoportPR08, 1.a], y opère par changement de trivialisation. Notant $L^+\mathrm {G}:R \mapsto \mathrm {G}(R [\hspace {-0,5mm}[ {t} ]\hspace {-0,5mm}] )$ le groupe d’arcs de $\mathrm {G}$ , qui est naturellement contenu dans $L\mathrm {G}$ et représentable par un schéma pro-lisse, cf. [Reference ZhuZh17, prop. 1.3.2], on peut réaliser la grassmannienne affine comme le faisceau quotient $L\mathrm {G}/L^+\mathrm {G}$ pour la topologie étale, cf. [Reference ZhuZh17, prop. 1.3.6], de manière compatible à l’action à la gauche de $L\mathrm {G}$ .

La question de savoir quand la grassmannienne affine d’un groupe est représentable est encore subtile, mais nous avons le résultat suivant :

L’autre question qui se pose concerne la projectivité de $\operatorname {Gr}_{\mathrm {G}}$ . Pour obtenir une classification complète, on se borne au cas où A est un corps parfait.

Esquisse de la preuve. On reprend les arguments de [Reference LourençoLou21, th. 5.2]. Pour la suffisance, on peut supposer sans perte de généralité que $\mathrm {G}=\mathrm {I}$ est d’Iwahori et que $\operatorname {Gr}_{\mathrm {I}}$ est connexe. En particulier, les $\mathrm {I}$ -orbites fermées de $\operatorname {Gr}_{\mathrm {I}}$ sont numérotées par $w \in W^{\operatorname {af}}$ , où ce dernier symbole désigne le groupe de Weyl affine, d’après la décomposition de Bruhat de [Reference LourençoLou21, prop. 3.7]. Cela veut dire que w peut s’exprimer dans la forme d’un produit de réflexions fondamentales; soit $\mathfrak {w}=[s_1: \dots :s_n]$ le mot réduit correspondant. Considérons la variété de Demazure

(4.1.1) $$ \begin{align}\operatorname{Dem}_{\mathfrak{w}} =L^+\mathrm{P}_{s_1} \times^{L^+\mathrm{I}}\dots \times^{L^+\mathrm{I}} L^+\mathrm{P}_{s_n}/L^+\mathrm{I},\end{align} $$

où l’on note $\mathrm {P}_s$ le groupe parahorique minimal associé à s. On peut montrer que ceci est une fibration en droites projectives localement triviale pour la topologie ouverte, donc représentable par une variété projective lisse, voir [Reference Pappas and RapoportPR08, prop. 8.7, prop. 8.8] et aussi cor. 4.2.5. Son image dans $\operatorname {Gr}_{\mathrm {I}}$ par le morphisme multiplication est la variété de Schubert $\operatorname {Gr}_{\mathrm {I},\leq w}$ , qui est donc projective.

Quant à la nécessité, on voit facilement que la fibre générique de $\mathrm {G}$ est sans $\mathbb {G}_a$ central, en appliquant ce que $\operatorname {Gr}_{\mathbb {G}_a}$ est l’ind-droite affine $\mathbb {A}_k^\infty $ infinie, cf. [Reference LourençoLou21, th. 5.2]. Enfin, le fait que $\mathrm {G}$ soit parahorique résulte d’après la preuve de [Reference RicharzRi16, th. 1.19] d’un théorème sur les sous-groupes bornés maximaux de $\mathrm {G}(k (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ , cf. [Reference Bruhat and TitsBT72, th. 3.3.1], et du lien avec les sous-groupes paraboliques de la fibre spéciale, cf. [Reference Bruhat and TitsBT84a, th. 4.6.33] et [Reference LourençoLou21, th. 4.7], couplés au fait que les sous-groupes de congruence de $L^+\mathrm {G}$ sont toujours pro-unipotents, voir le début de §4.2, particulièrement (4.2.1).

Reprenons maintenant les notations des §§3.3-3.4, c’est-à-dire : G est un $\mathbb {Q}(t)$ -groupe quasi-déployé, $\mathbb {Q}(\zeta _e,t^{1/e})$ -déployé, $\mathbb {Q} (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) $ -résiduellement déployé et à tore maximal induit, muni d’un couple de Killing relatif $S \subset T \subset B \subset G$ et d’un quasi-système de Tits, voir l’hyp. 3.3.1; $\underline {G}$ est le $\mathbb {G}_{m,\mathbb {Z}}$ -groupe de Tits sur $\mathbb {Z}[t^{\pm 1}]$ qui lui est associé par la déf. 3.3.5; et les $\underline {\mathscr {G}_{\mathbf {f}}}$ , où $\mathbf {f}\subset \mathscr {A}(\underline {G},\underline {S},\mathbb {Z} (\hspace {-0,7mm}( {t} )\hspace {-0,7mm}) )$ est une facette, sont les $\mathbb {A}^1_{\mathbb {Z}}$ -modèles parahoriques que nous avons construits à la déf. 3.4.6 et qui sont lisses, affines et connexes sur $\mathbb {Z}[t]$ , grâce au th. 3.4.10.