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Étant donnée une suite $A = (a_n)_{n\geqslant 0}$ d’entiers naturels tous au moins égaux à 2, on pose $q_0 = 1$ et, pour tout entier naturel n, $q_{n+1} = a_n q_n$. Tout nombre entier naturel $n\geqslant 1$ admet une unique représentation dans la base A, dite de Cantor, de la forme

$$ \begin{align*} m = \sum_{j\geqslant 0}\varepsilon_j(m)q_j\quad \text{avec} \quad 0\leqslant \varepsilon_j(m) < a_j = \frac{q_{j+1}}{q_j}. \end{align*} $$

Dans cet article, nous évaluons la somme

$$ \begin{align*} S = \sum_{n \leqslant x}\Lambda(n) f(n) \end{align*} $$

où

$\Lambda $ est la fonction de von Mangoldt et f une fonction fortement multiplicative en base A. L’estimation des sommes de type I et II associées repose sur le bon contrôle de transformées de Fourier discrètes de fonctions construites à partir de f par décalage dans la numération en base A. Cette approche pouvant échouer si la suite

$(a_n)_{n\geqslant 0}$ est trop irrégulière, nous introduisons la notion de base de Cantor tempérée et obtenons dans ce cadre une majoration générale de la somme S.

Nous étudions plusieurs exemples dans la base $A = (j+2)_{j\geqslant 0}$, dite factorielle. En particulier, si $s_A$ désigne la fonction somme de chiffres dans cette base et p parcourt la suite des nombres premiers, nous montrons que la suite $(s_A(p))_{p\in \mathcal {P}}$ est bien répartie dans les progressions arithmétiques, et que la suite $(\alpha s_A(p))_{p\in \mathcal {P}}$ est équirépartie modulo $1$ pour tout nombre irrationnel $\alpha $.

Let $g \geq 2$ be an integer. A natural number is said to be a base-g Niven number if it is divisible by the sum of its base-g digits. Assuming Hooley’s Riemann hypothesis, we prove that the set of base-g Niven numbers is an additive basis, that is, there exists a positive integer $C_g$ such that every natural number is the sum of at most $C_g$ base-g Niven numbers.

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FONCTIONS ADDITIVES EN BASE DE CANTOR LE LONG DES NOMBRES PREMIERS

ADDITIVE BASES AND NIVEN NUMBERS

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