1.1.1 Modules lisses de torsion

Soit H un groupe de Lie p-adique (dans les applications, H sera G ou $G'$ ). Un ${\cal O}_L[H]$ -module $\pi $ est dit:

• • de torsion si tout vecteur $v\in \pi $ est tué par $p^N$ , pour N assez grand;

• • lisse si $\pi $ est de torsion et si le stabilisateur dans H de tout $v\in \pi $ est ouvert.

On note ${\mathrm{Rep}}^{\mathrm{lisse}}\,H$ la catégorie des ${\cal O}_L[H]$ -modules lisses. On remarquera que les objets irréductibles de ${\mathrm{Rep}}^{\mathrm{lisse}}\,H$ sont tués par et donc sont des $k_L[H]$ -modules. Il n’est pas clair si une extension (dans la catégorie des ${\cal O}_L[H]$ -modules abstraits) de ${\cal O}_L[H]$ -modules lisses est encore un ${\cal O}_L[H]$ -module lisse. Le résultat beaucoup plus faible suivant nous sera cependant très utile par la suite.

Soit K un sous-groupe ouvert compact de H. Le ${\cal O}_L[H]$ -module

$$ \begin{align*}{\cal O}_L\langle H\rangle:={\cal O}_L[H]\otimes_{{\cal O}_L[K]} {\cal O}_L[[K]]\end{align*} $$

est muni [Reference Shotton67, prop. 3.2] de l’unique structure de ${\cal O}_L$ -algèbre telle que les morphismes naturels ${\cal O}_L[H]\to {\cal O}_L\langle H\rangle $ et ${\cal O}_L[[K]]\to {\cal O}_L\langle H\rangle $ soient des morphismes de ${\cal O}_L$ -algèbres, et cette structure est indépendante (à isomorphisme canonique près) du choix du sous-groupe ouvert compact K de H utilisé pour la définir. De plus, par [Reference Shotton67, lemme 3.5] la structure de ${\cal O}_L[H]$ -module de tout objet de ${\mathrm{Rep}}^{\mathrm{lisse}}\,H$ s’étend de manière unique en une structure de ${\cal O}_L\langle H\rangle $ -module.

1.1.2 Admissibilité, finitude

On dit que $\pi \in {\mathrm{Rep}}^{\mathrm{lisse}}\,H$ est:

• • admissible si est de longueur finie sur ${\cal O}_L$ , pour tout sous-groupe ouvert compact K de H et tout $j\geq 1$ .

• • localement admissible si ${\cal O}_L[H]\cdot v\subset \pi $ est admissible pour tout $v\in \pi $ , ou, de manière équivalente, si $\pi $ peut s’écrire comme une limite inductive de représentations lisses admissibles.

• • de longueur finie si $\pi $ est de longueur finie comme ${\cal O}_L[H]$ -module.

• • de type fini si $\pi $ est de type fini comme ${\cal O}_L[H]$ -module. Les conditions suivantes sont équivalentes [Reference Shotton67, lemmas 2.4, 3.6]:

  1. (i) $\pi $ est de type fini;

  2. (ii) $\pi $ est quotient d’une induite compacte c- ${\mathrm{Ind}}_K^H(\sigma )$ pour une ${\cal O}_L$ -représentation lisse $\sigma $ , de longueur finie, d’un sous-groupe ouvert compact K de H;

  3. (iii) $\pi $ est un ${\cal O}_L\langle H\rangle $ -module de type fini.

• • de présentation finie s’il existe une suite exacte de ${\cal O}_L[H]$ -modules

  $$ \begin{align*}\text{c-}{\mathrm{Ind}}_{K_1}^H(\sigma_1)\to \text{c-}{\mathrm{Ind}}_{K_2}^H (\sigma_2)\to \pi\to 0\end{align*} $$
  où $K_1$ , $K_2$ sont des sous-groupes ouverts compacts de H et $\sigma _i$ est une ${\cal O}_L$ -représentation lisse de $K_i$ , de longueur finie sur ${\cal O}_L$ . Cela n’est pas équivalent à ce que $\pi $ soit un ${\cal O}_L[H]$ -module de présentation finie, mais plutôt [Reference Shotton67, prop. 3.8] à ce que $\pi $ soit un ${\cal O}_L\langle H\rangle $ -module de présentation finie.

On note

$$ \begin{align*}{\mathrm{Rep}}^{\mathrm{adm}}\,H,\quad {\mathrm{Rep}}^{\mathrm{ladm}}\,H,\quad {\mathrm{Rep}}^{\mathrm{\ell f}}\,H,\quad {\mathrm{Rep}}^{\mathrm{tf}}\,H,\quad {\mathrm{Rep}}^{\mathrm{pf}}\,H\end{align*} $$

les sous-catégories pleines de ${\mathrm{Rep}}^{\mathrm{lisse}}\,H$ des représentations admissibles, localement admissibles, de longueur finie, de type fini et de présentation finie, respectivement. Si $\delta : H\to {\cal O}_L^{{\boldsymbol *}}$ est un caractère lisse, on rajoute $\delta $ en exposant pour indiquer la sous-catégorie pleine des représentations de caractère central $\delta $ .

Le résultat suivant découle directement de la discussion ci-dessus et des propriétés usuelles des modules de type fini et de présentation finie sur un anneau, mais il peut aussi être démontré directement (et pour des groupes plus généraux que les groupes de Lie p-adiques), voir [Reference Shotton67, lemmes 2.6, 2.7]:

Un des résultats principaux de l’article [Reference Shotton67] de Shotton est le suivant:

(C’est immédiat pour le conoyau, mais pas du tout clair pour le noyau!)

Nous allons utiliser cette remarque pour le groupe $H=\{g\in {\mathrm{GL}}_2(F),\ \det g\in {\cal O}_F^{\boldsymbol *}\}$ vu comme sous-groupe ouvert d’indice fini de .

1.2.1 Représentations absolument irréductibles

Appelons poids de Serre un $KZ$ -module lisse irréductible sur $\overline {\mathbf {F}}_p$ , le centre Z agissant par un caractère (la restriction à K se factorise alors par le quotient $ {\mathrm{GL}}_2(k_F)$ ).

Si $\sigma $ est un poids de Serre, on note

$$ \begin{align*}I(\sigma)=\text{c-}{\mathrm{Ind}}_{KZ}^G(\sigma)\end{align*} $$

l’induite compacte de $\sigma $ . On dispose d’un isomorphisme [Reference Barthel and Livné3, prop. 8] de $\overline {\mathbf {F}}_p$ -algèbres

(1.5) $$ \begin{align} {\mathrm{End}}_G (I(\sigma))\simeq \overline{\mathbf{F}}_p[T], \end{align} $$

pour un certain opérateur de Hecke T. De plus, $I(\sigma )$ est un module libre sur $\overline {\mathbf {F}}_p[T]$ d’après [Reference Barthel and Livné3, th. 19].

Le théorème de classification de Barthel-Livné [Reference Barthel and Livné2, Reference Barthel and Livné3] montre que les représentations lisses irréductibles de G sur $\overline {\mathbf {F}}_p$ , avec un caractère central, sont les suivantes:

• • les $\chi \circ \det $ (notées simplement $\chi $ ), avec $\chi : G\to \overline {\mathbf {F}}_p^{\boldsymbol *}$ un caractère lisse.

• • les ${\mathrm{Ind}}_B^G(\chi _1\otimes \chi _2)$ , où $\chi _1,\chi _2$ sont des caractères lisses distincts de $F^{\boldsymbol *}$ .

• • les ${\mathrm{St}}\otimes \chi $ , où ${\mathrm{St}}$ est la steinberg, quotient de ${\mathrm{Ind}}_B^G(1\otimes 1)$ par la représentation triviale.

• • les supersingulières, i.e. les quotients irréductibles des $I(\sigma )/(T)$ , avec $\sigma $ un poids de Serre.

Les représentations irréductibles non supersingulières sont dites ordinaires; les représentations ordinaires sont donc les composantes de Jordan-Hölder des représentations de la série principale.

1.2.2 Questions de rationalité

Le lemme suivant de Paškūnas ([Reference Paškūnas53, lemma 5.1]) nous sera très utile.

Lemme 1.6. Soit H un groupe, $L/K$ une extension de corps et soient $V,W$ de $K[H]$ -modules, V étant de type fini. Alors

$$ \begin{align*}{\mathrm{Hom}}_{K[H]}(V, W)\otimes_K L\simeq {\mathrm{Hom}}_{L[H]}(V\otimes_K L, W\otimes_K L).\end{align*} $$

Démonstration. k est une algèbre à division, de dimension finie sur le corps fini $k_L$ (car $\pi $ est irréductible et admissible, donc si l’on fixe $v\in \pi ^{K_1}$ non nul, la flèche $f\mapsto f(v)$ induit une injection de k dans le $k_L$ -espace de dimension finie $\pi ^{K_1}$ ). Il s’ensuit que k est une extension finie de $k_L$ , ce qui prouve le (i).

Si $k'$ est une extension de k et si $\pi ':=k'\otimes _k\pi $ , alors d’après le lemme 1.6,

$$ \begin{align*}{\mathrm{End}}_{k'[G]}(\pi')= k'\otimes_k{\mathrm{End}}_{k[G]}(\pi)=k'\end{align*} $$

Si $\pi $ n’est pas absolument irréductible vue comme $k[G]$ -module, on peut trouver une extension finie $k'$ de k et un sous $k'[G]$ -module propre $\tau \subset \pi '$ . Comme $\pi '$ est admissible, on peut supposer que $\tau $ est irréductibleFootnote ¹⁵ . Le groupe $\Gamma ={\mathrm{Gal}}(k'/k)$ agit sur $\pi '$ et $X:=\sum _{h\in \Gamma } h\cdot \tau $ est $G\times \Gamma $ -stable dans $\pi '$ . Par descente galoisienne $X^{\Gamma }$ est non nul et G-stable dans $\pi $ , donc $X^{\Gamma }=\pi $ (car $\pi $ est irréductible comme $k_L[G]$ -module et donc, a fortiori, comme $k[G]$ -module), ce qui exhibe $\pi '$ comme un quotient d’une somme directe finie $\oplus _{h\in \Gamma } h\cdot \tau $ de représentations irréductibles. Donc $\pi '$ est semi-simple et comme ses endomorphismes sont $k'$ , elle est irréductible contrairement à l’hypothèse. Ceci prouve le (ii).

Enfin la décomposition $k\otimes _{k_L}k=\prod _{\sigma \in {\mathrm{Hom}}(k,k)} k$ fournit celle du (iii); le fait que les $k\otimes _{k,\sigma }\pi $ sont deux à deux non isomorphes comme $k[G]$ -modules résulte de ce que ${\mathrm{End}}_{k[G]}(k\otimes _{k_L}\pi )=k\otimes _{k_L}k$ (d’après le lemme 1.6) est un produit de corps; qu’elles soient toutes isomorphes comme $k_L[G]$ -modules est évident.

1.2.3 Le cas $F=\mathbf {Q}_p$

La classification des représentations irréductibles est nettement mieux comprise dans le cas $F=\mathbf {Q}_p$ :

• • Breuil [Reference Breuil11] a montré que les $I(\sigma )/(T)$ sont irréductibles et donc les supersingulières sont les $I(\sigma )/(T)$ (il a aussi déterminé dans quels cas $I(\sigma _1)/(T)\simeq I(\sigma _2)/(T)$ ).

• • Berger [Reference Berger4] a montré que l’existence d’un caractère central est en fait une conséquence de l’irréductibilité.

• • Il est facile de vérifier que les représentations ordinaires sont admissibles et de présentation finie (cela est vrai même pour $F\ne \mathbf {Q}_p$ ). La preuve de Breuil permet de vérifier que les supersingulières le sont aussi (on obtient des résultats plus fins en combinant les th. IV.2.1 et IV.4.7 de [Reference Colmez14]). Il en résulte que tout $\pi \in {\mathrm{Rep}}^{\mathrm{lisse}}\,G$ irréductible est admissible et de présentation finie, et donc (en utilisant la stabilité de ces deux propriétés par extensions) que

  $$ \begin{align*}{\mathrm{Rep}}^{\mathrm\ell f}\,G\subset {\mathrm{Rep}}^{\mathrm{adm}}\,G\cap {\mathrm{Rep}}^{\mathrm{pf}} \, G\end{align*} $$
  (Voir le th. 1.26 pour une inclusion dans l’autre sens.)

• • Il résulte de la classification de Barthel-Livné et Breuil des $\overline {\mathbf {F}}_p$ -représentations irréductibles de G que, si $\pi $ est une telle représentation, il existe un corps fini k tel que $\pi $ soit obtenue par extension des scalaires d’une représentation définie sur k. Il s’ensuit que l’orbite de $\pi $ sous l’action de ${\mathrm{Gal}}(\overline {\mathbf {F}}_p/k_L)$ est finieFootnote ¹⁶ . Si H est le fixateur de $\pi $ dans ${\mathrm{Gal}}(\overline {\mathbf {F}}_p/k_L)$ , et si $k=\overline {\mathbf {F}}_p^H$ , alors $\pi $ est l’extension des scalaires d’une représentation $\pi _k$ définie sur k, telle que ${\mathrm{End}}_G\pi _k=k$ . Les $\pi _k^{\sigma }$ , vues comme $k_L$ -représentations de G, sont alors toutes isomorphes, et on note $\pi _L$ la classe d’isomorphisme de $K_L$ -représentations ainsi définie.

L’application $\pi \mapsto \pi _L$ induit une bijection naturelle entre les orbites sous ${\mathrm{Gal}}(\overline {\mathbf {F}}_p/k_L)$ de l’ensemble des $\overline {\mathbf {F}}_p$ -représentations irréductibles de G et les $k_L$ -représentations irréductibles de G, la bijection réciproque envoyant $\pi $ sur l’ensemble des composantes de Jordan-Hölder de $\overline {\mathbf {F}}_p\otimes _{k_L}\pi $ (que celles-ci forment une orbite sous ${\mathrm{Gal}}(\overline {\mathbf {F}}_p/k_L)$ se déduit du (iii) du lemme 1.7).

1.3.1 La correspondance de Langlands locale p-adique

Rappelons que l’on dispose d’un foncteur covariant exact $\Pi \mapsto \mathbf {V}(\Pi )$ de ${\mathrm{Rep}}^{\mathrm{\ell f}}\,G$ (plus précisément de la sous-catégorie des objets à caractère central) dans la catégorie des ${\cal O}_L$ -représentations continues de ${\cal G}_{\mathbf {Q}_p}$ , de longueur finie sur ${\cal O}_L$ .

On étend ce foncteur par limite projective et tensorisation par L aux L-représentations de Banach unitaires de G, résiduellement de longueur finie (i.e. dont la réduction modulo est de longueur finie; une telle représentation est automatiquement admissible et tout L-banach admissible, de longueur finie est résiduellement de longueur finie – un des résultats principaux de [Reference Colmez, Dospinescu and Paškūnas20]) et avec un caractère central. Si $\Pi $ est une telle L-représentation, $\mathbf {V}(\Pi )$ est une L-représentation de ${\cal G}_{\mathbf {Q}_p}$ , de dimension finie.

Réciproquement, si V est une L-représentation de ${\cal G}_{\mathbf {Q}_p}$ , de dimension $2$ , il existe [Reference Colmez14, Reference Colmez, Dospinescu and Paškūnas20] une plus grande représentation ${\boldsymbol \Pi }(V)$ de G, unitaire, résiduellement de longueur finie telle que $\mathbf {V}({\boldsymbol \Pi }(V))=V$ et ${\boldsymbol \Pi }(V)^{{\mathrm{SL}}_2(\mathbf {Q}_p)}=0$ (cette dernière condition est nécessaire pour assurer l’unicité car $\mathbf {V}$ tue $\Pi ^{{\mathrm{SL}}_2(\mathbf {Q}_p)}$ ). La correspondance $V\mapsto {\boldsymbol \Pi }(V)$ est la correspondance de Langlands locale p-adique.

La représentation $\mathbf {V}(\Pi )$ n’est pas toujours de dimension $2$ , mais est toujours «de type ${\mathrm{GL}}_2$ » (cf. th. 1.16 pour un énoncé précis: l’expression $g+\delta \varepsilon (g)g^{-1}$ qui apparaît dans l’énoncé de ce théorème est la trace de g si g agit sur un module de rang $2$ et le déterminant de g est $\delta \varepsilon (g)$ ).

1.3.2 Les représentations $I(\chi _1,\chi _2)$

On voit les caractères continus de $\mathbf {Q}_p^{\boldsymbol *}$ comme des caractères de $\mathcal {G}_{\mathbf {Q}_p}$ par la théorie locale du corps de classesFootnote ¹⁷ et aussi comme des caractères de G en composant avec le déterminant.

Soit $\varepsilon $ la réduction modulo p du caractère $x\to x|x|$ de $\mathbf {Q}_p^{{\boldsymbol *}}$ ; vu comme caractère de ${\mathcal {G}}_{\mathbf {Q}_p}$ , c’est la réduction du caractère cyclotomique. On dit qu’un couple de caractères $\chi _1, \chi _2: \mathbf {Q}_p^{{\boldsymbol *}}\to \overline {\mathbf {F}}_p^{{\boldsymbol *}}$ continus (et donc lisses) est générique si $\chi _1\chi _2^{-1}\ne 1,\varepsilon ^{\pm 1}$ .

Soit $(\chi _1,\chi _2)$ générique, et soient $I(\chi _1, \chi _2)$ et $I(\chi _2,\chi _1)$ les représentations absolument irréductibles de G

$$ \begin{align*}I(\chi_1, \chi_2):={\mathrm{Ind}}_B^G(\chi_2\otimes \chi_1\varepsilon^{-1}), \quad I(\chi_2,\chi_1)={\mathrm{Ind}}_B^G(\chi_1\otimes \chi_2\varepsilon^{-1}).\end{align*} $$

Leur caractère central est $\chi _1\chi _2\varepsilon ^{-1}$ , et il existe une unique extension non triviale

$$ \begin{align*}0\to I(\chi_1,\chi_2)\to\Pi_{\chi_1,\chi_2}\to I(\chi_2,\chi_1)\to 0\end{align*} $$

Les représentations $I(\chi _1,\chi _2)$ , $I(\chi _2,\chi _1)$ et $\Pi _{\chi _1,\chi _2}$ ont des modèles sur $k_L(\chi _1,\chi _2)$ qui, comme dans le $\mathrm{n}^{\mathrm{o}}$ 1.2.3, peuvent être considérées comme des représentations sur $k_L$ . On a alors

$$ \begin{align*}\mathbf{V}(I(\chi_1,\chi_2))=\chi_1,\quad \mathbf{V}(I(\chi_2,\chi_1))=\chi_2, \quad \mathbf{V}(\Pi_{\chi_1,\chi_2})=\bar{r}_{\chi_1,\chi_2}\end{align*} $$

où $\chi _1$ et $\chi _2$ sont les $k_L(\chi _1,\chi _2)$ -représentations de ${\cal G}_{\mathbf {Q}_p}$ de dimension $1$ associées à $\chi _1$ et $\chi _2$ , vues comme des $k_L$ -représentations (de dimension $[k_L(\chi _1,\chi _2):k_L]$ ) et $\bar {r}_{\chi _1,\chi _2}$ l’unique $k_L(\chi _1,\chi _2)$ -représentation de $\mathcal {G}_{\mathbf {Q}_p}$ extension nontriviale de $\chi _2$ par $\chi _1$ (vue comme une $k_L$ -représentation)

$$ \begin{align*}0\to \chi_1\to \bar{r}_{\chi_1,\chi_2}\to \chi_2\to 0\end{align*} $$

1.3.3 Généralités sur les blocs

On met une relation d’équivalence sur les représentations irréductibles définie par $\pi \sim \pi '$ si et seulement si il existe une suite $\pi =\pi _0,\pi _1,\dots ,\pi _r=\pi '$ telle que $\pi _{i+1}=\pi _i$ ou ${\mathrm{Ext}}^1(\pi _i,\pi _{i+1})\neq 0$ ou ${\mathrm{Ext}}^1(\pi _{i+1},\pi _i)\neq 0$ (ces conditions ne sont pas exclusives). Une classe d’équivalence est un bloc. Si ${\cal B}$ est un bloc, on note ${\mathrm{Rep}}_{\cal B}\,G$ la sous-catégorie de ${\mathrm{Rep}}^{\mathrm{\ell f}}\, G$ des objets dont toutes les composantes de Jordan-Hölder appartiennent à ${\cal B}$ .

Si $\pi \in {\mathrm{Rep}}^{\mathrm{\ell f}}\,G$ est irréductible, on note $P_{\pi }$ le dual de Pontryagin d’une enveloppe injective de $\pi $ dans ${\mathrm{Rep}}^{\mathrm{ladm}} G$ . Alors $P_{\pi }$ est un ${\cal O}_L[G]$ -module compact sans p-torsion, limite projective de ${\cal O}_L[G]$ -modules compacts et de longueur finie. Si ${\cal B}$ est un bloc, on pose

$$ \begin{align*}P_{\cal B}:=\oplus_{\pi\in {\cal B}} P_{\pi}\quad E_{\cal B}:={\mathrm{End}}_G(P_{\cal B}),\quad Z_{\cal B}:= \text{centre de } E_{\cal B}.\end{align*} $$

La théorie générale de Gabriel [Reference Gabriel35] fournit le résultat suivant:

Remarque 1.14. Si ${\cal B}$ est un bloc de ${\mathrm{Rep}}^{\mathrm{\ell f}}\,G$ et si $\pi \in {\cal B}$ , alors ${\mathrm{End}}_{k_L[G]}\pi $ ne dépend pas de $\pi $ ; notons le $k({\cal B})$ et notons $L({\cal B})$ l’extension non ramifiée de L de corps résiduel $k({\cal B})$ . Les composantes irréductibles des $k({\cal B})\otimes _k\pi $ , pour $\pi \in {\cal B}$ , se répartissent dans des types ${\cal B}^{\sigma }$ de ${\mathrm{Rep}}^{\mathrm{\ell f}}_{{\cal O}_{L({\cal B})}}\,G$ formant une orbite sous l’action de ${\mathrm{Gal}}(k({\cal B})/k_L)$ et les ${\cal B}^{\sigma }$ sont formés de représentations absolument irréductibles. L’oubli de l’action de ${\cal O}_{L({\cal B})}$ induit une équivalence entre ${\mathrm{Rep}}_{{\cal O}_{L({\cal B})},{\cal B}^{\sigma }}\,G$ et ${\mathrm{Rep}}_{\cal B}\,G$ . On en déduit, pour tout $\sigma $ , des isomorphismes:

$$ \begin{align*}E_{\cal B}\simeq E_{{\cal O}_{L({\cal B})},{\cal B}^{\sigma}},\quad Z_{\cal B}\simeq Z_{{\cal O}_{L({\cal B})},{\cal B}^{\sigma}}\end{align*} $$

et de même pour $E_{\cal B}^{\delta },Z_{\cal B}^{\delta }$ .

1.3.4 Blocs et représentations galoisiennes modulo p

Soit ${\cal B}$ un bloc de ${\mathrm{Rep}}^{\delta }\,G$ . Notons $R_{\cal B}^{{\mathrm{ps}},\delta }$ l’anneau des déformations universelles du pseudo-caractère ${\mathrm{Tr}}\circ \rho _{\cal B}$ (vu comme pseudo-caractère de dimension $2$ à valeurs dans $k({\cal B})$ , cf. (ii) de la rem. 1.15), de déterminant $\delta \varepsilon $ , et

$$ \begin{align*}T_{\cal B}^{\delta}:{\cal G}_{\mathbf{Q}_p}\to R_{\cal B}^{{\mathrm{ps}},\delta}\end{align*} $$

le pseudo-caractère universel. On a alors le «théorème» $R=T$ local suivantFootnote ¹⁸ (cf. (ii) de la rem. 1.13 pour l’action de $Z_{\cal B}^{\delta }$ ).

Théorème 1.16 (Paškūnas [Reference Paškūnas53], Paškūnas-Tung [Reference Paškūnas and Tung56]).

Il existe un unique morphisme

$$ \begin{align*}\iota_{\cal B}^{\delta}:R_{\cal B}^{{\mathrm{ps}},\delta}\to Z_{\cal B}^{\delta}\end{align*} $$

tel que, pour tout $\pi \in {\mathrm{Rep}}^{\delta }_{\cal B} G$ et tout $g\in {\mathrm{Gal}}_{\mathbf {Q}_p}$ , on ait

$$ \begin{align*}\iota_{\cal B}^{\delta}(T_{\cal B}^{\delta}(g))=g+\delta\varepsilon(g)g^{-1} \quad \text{dans End} (\mathbf{V}(\pi)).\end{align*} $$

De plus:

• • Si $p\geq 5$ , $\iota _{\cal B}^{\delta }$ est un isomorphisme.

• • Dans le cas général $L\otimes _{{\cal O}_L}\iota _{\cal B}^{\delta }$ est un isomorphisme, $Z_{\cal B}^{\delta }=R_{\cal B}^{{\mathrm{ps}},\delta }/{\cal O}_L\mathrm{-torsion}$ si $p=3$ et le conoyau de $R_{\cal B}^{{\mathrm{ps}},\delta }/{\cal O}_L\mathrm {-torsion}\to Z_{\cal B}^{\delta }$ est tué par $2$ si $p=2$ .

1.4.1 Quotients de $I(\sigma )$

Si $\sigma $ est un poids de Serre, la représentation $I(\sigma )$ n’est pas de longueur finie mais on dispose du résultat de rigidité suivant, spécifique à notre groupe G et découlant des résultats de Barthel-Livné et Breuil.

1.4.2 Finitude et finitude du cosocle

Soit $G':=G/p^{\mathbf {Z}}$ , p étant vu comme l’élément ${\big (\begin {smallmatrix}p&0\\ 0&p\end {smallmatrix}\big )}$ de Z. On identifie K à un sous-groupe de $G'$ . Si $\sigma $ est un poids de Serre, on pose

$$ \begin{align*}I_{G'}(\sigma):={\mathrm{c}\mbox{-}\mathrm{Ind}}_{K}^{G'}(\sigma).\end{align*} $$

Si l’on munit $\sigma $ de sa structure de $KZ$ -module obtenue en faisant agir p trivialement, alors $I_{G'}(\sigma )$ s’identifie à $I(\sigma )$ .

Proposition 1.19. Les $k_L[G']$ -modules lisses de type fini sont précisément les $k_L[G']$ -modules lisses $\pi $ tels qu’il existe une filtration

$$ \begin{align*}0=\pi_0\subset...\subset \pi_r=\pi\end{align*} $$

et des surjections $G'$ -équivariantes $I(\sigma _i)\to \pi _i/\pi _{i-1}$ pour $1\leq i\leq r$ et pour certains poids de Serre $\sigma _i$ .

Le résultat ci-dessus reste valable, avec la même preuve, pour $F\ne \mathbf {Q}_p$ , mais la proposition ci-dessous est très spécifique au cas $F=\mathbf {Q}_p$ .

Démonstration. Soit $0=\pi _n\subset \pi _{n-1}\subset ...\subset \pi _0=\pi $ une filtration de $\pi $ telle qu’il existe des poids de Serre $\sigma _i$ et des surjections $I_{G'}(\sigma _i)\to \pi _{i-1}/\pi _i$ . Nous allons montrer que $\pi _{i-1}/\pi _i$ est de longueur finie pour tout i, ce qui permettra de conclure.

Puisque le cosocle de $I_{G'}(\sigma _1)$ est de longueur infinie (conséquence de [Reference Barthel and Livné3]) et celui de $\pi $ est de longueur finie, la surjection $I_{G'}(\sigma _1)\to \pi _0/\pi _1$ n’est pas un isomorphisme, et la prop. 1.17 montre que $\pi _0/\pi _1$ est de longueur finie. Il suffit de montrer que le cosocle de $\pi _1$ est de longueur finie, car on peut alors conclure par récurrence sur la longueur de la filtration.

On veut donc montrer que ${\mathrm{Hom}}_{G'}(\pi _1, \pi ')={\mathrm{Hom}}_{G}(\pi _1, \pi ')$ est de dimension finie sur $k_L$ pour tout $k_L[G']$ -module lisse irréductible $\pi '$ , et nul pour presque tout $\pi '$ (i.e. tous sauf un nombre fini). La suite exacte

$$ \begin{align*}0\to \pi_1\to \pi_0\to \pi_0/\pi_1\to 0\end{align*} $$

en induit une autre

$$ \begin{align*}0\to {\mathrm{Hom}}_G(\pi_0/\pi_1, \pi')\to {\mathrm{Hom}}_G(\pi_0, \pi')\to {\mathrm{Hom}}_G(\pi_1, \pi')\to {\mathrm{Ext}}^1_G(\pi_0/\pi_1, \pi').\end{align*} $$

Puisque $\pi _0/\pi _1$ est de longueur finie, les lemmes 1.23 et 1.22 ci-dessous montrent que les termes extrêmes de la suite exacte ci-dessus sont de dimension finie, et nuls pour presque tout $\pi '$ . Comme il en est de même du terme ${\mathrm{Hom}}_G(\pi _0, \pi ')$ (puisque le cosocle de $\pi _0=\pi $ est de longueur finie), cela permet de conclure.

Le résultat suivant est une adaptation directe d’un résultat analogue dans [Reference Berger4]:

Démonstration. Soit $\delta $ (resp. $\delta '$ ) le caractère central de $\pi $ (resp. $\pi '$ ). On peut supposer que $\pi $ est irréductible. Soit $\overline {\pi }=\overline {\mathbf {F}}_p\otimes _{k_L} \pi $ et $\overline {\pi '}=\overline {\mathbf {F}}_p\otimes _{k_L} \pi '$ . Écrivons $\overline {\pi }=\oplus _{i=1}^n \pi _i$ et $\overline {\pi '}=\oplus _{j=1}^m \pi ^{\prime }_j$ , les représentations $\pi _i$ et $\pi ^{\prime }_j$ étant irréductibles (cf. (ii) et (iii) du lemme 1.7).

Le lemme 1.6 montre que la flèche

$$ \begin{align*}{\mathrm{Ext}}^1_G(\pi,\pi')\otimes_{k_L} \overline{\mathbf{F}}_p\to {\mathrm{Ext}}^1_G(\overline{\pi}, \overline{\pi'})\simeq \bigoplus_{1\leq i\leq n, 1\leq j\leq m} {\mathrm{Ext}}^1_G(\pi_i, \pi^{\prime}_j)\end{align*} $$

est injective, il suffit donc de s’assurer que ce dernier espace est de dimension finie, et nul pour presque tout $\pi '$ .

La prop. 8.1 de [Reference Paškūnas52] montre que ${\mathrm{Ext}}^1_G(\pi _i, \pi ^{\prime }_j)=0$ pour tout $i,j$ si $\delta \neq \delta '$ , et si $\delta =\delta '$ , on a une suite exacte

$$ \begin{align*}0\to {\mathrm{Ext}}^1_{G,\delta}(\pi_i, \pi^{\prime}_j)\to {\mathrm{Ext}}^1_G(\pi_i, \pi^{\prime}_j)\to X_{ij}\to 0,\end{align*} $$

avec $X_{ij}=0$ si $\pi _i$ n’est pas isomorphe à $\pi ^{\prime }_j$ et $X_{ij}={\mathrm{Hom}}(Z, \overline {\mathbf {F}}_p)$ dans le cas contraire. Notons que si $\pi _i\simeq \pi ^{\prime }_j$ , alors ${\mathrm{Hom}}_G(\overline {\pi }, \overline {\pi '})\ne 0$ et le lemme 1.6 montre que ${\mathrm{Hom}}_G(\pi ,\pi ')\ne 0$ , donc $\pi '\simeq \pi $ . Comme ${\mathrm{Hom}}(Z, \overline {\mathbf {F}}_p)$ est de dimension finie, il suffit donc de montrer que les ${\mathrm{Ext}}^1_{G,\delta }(\pi _i, \pi ^{\prime }_j)$ sont de dimension finie, et nuls pour presque tout $\pi '$ . Cela est classique (cf. [Reference Paškūnas52, Reference Paškūnas54]).

1.4.3 Finitude des vecteurs lisses de $\pi ^{\vee }$

Pour les applications à la cohomologie de la tour de Lubin-Tate nous aurons aussi besoin du résultat suivant:

Démonstration. Supposons que $\pi $ est de longueur finie et montrons que $\dim (\pi ^{\vee })^{\mathrm{lisse}}<\infty $ . Par dévissage on peut supposer que $\pi $ est irréductible, auquel cas le résultat est bien connu (on a même $(\pi ^{\vee })^{\mathrm{lisse}}=0$ sauf si $\pi $ est de dimension finie, cf. [Reference Kohlhaase47, prop. 3.9]).

L’autre implication est plus délicate. Nous allons commencer par montrer:

Lemme 1.25. Si $\pi $ est un $k_L[G']$ -module lisse de type fini et de longueur infinie, alors il existe un poids de Serre $\sigma $ tel que ${\mathrm{Hom}}_{G}(\pi , I_{G'}(\sigma ))\ne 0$ .

Démonstration. Soit $0=\pi _n\subset \pi _{n-1}\subset ...\subset \pi _0=\pi $ une filtration de $\pi $ telle qu’il existe des poids de Serre $\sigma _i$ et des surjections $I_{G'}(\sigma _i)\to \pi _{i-1}/\pi _i$ . Si la surjection $I_{G'}(\sigma _1)\to \pi /\pi _1$ est un isomorphisme, on peut conclure, supposons donc que ce n’est pas le cas, donc (prop. 1.17) $\pi /\pi _1$ est de longueur finie. Alors $\pi _1$ est de type fini et de longueur infinie, donc par récurrence sur la longueur de la filtration on dispose d’un poids de Serre $\sigma $ tel que ${\mathrm{Hom}}_G(\pi _1, I_{G'}(\sigma ))\ne 0$ . En appliquant le foncteur ${\mathrm{Hom}}_{G}(-, I_{G'}(\sigma ))$ à la suite exacte $0\to \pi _1\to \pi \to \pi /\pi _1\to 0$ on obtient une suite exacte

$$ \begin{align*}{\mathrm{Hom}}_G(\pi, I_{G'}(\sigma))\to {\mathrm{Hom}}_G(\pi_1, I_{G'}(\sigma))\to {\mathrm{Ext}}^1(\pi/\pi_1, I_{G'}(\sigma)).\end{align*} $$

Comme $\pi /\pi _1$ est de longueur finie, un résultat de Dotto-Emerton-Gee [Reference Dotto, Emerton and Gee26] montre que ${\mathrm{Ext}}^1(\pi /\pi _1, I_{G'}(\sigma ))$ est de dimension finie.Footnote ¹⁹ Supposons que ${\mathrm{Hom}}_G(\pi , I_{G'}(\sigma ))$ , donc ${\mathrm{Hom}}_G(\pi _1, I_{G'}(\sigma ))$ est de dimension finie sur $k_L$ . D’autre part ${\mathrm{Hom}}_G(\pi _1, I_{G'}(\sigma ))$ est un $k_L[T]={\mathrm{End}}_{G}(I_{G'}(\sigma ))$ -module, donc il existe $P\in k_L[T]$ non nul tel qui tue ${\mathrm{Hom}}_G(\pi _1, I_{G'}(\sigma ))$ mais, comme $I_{G'}(\sigma )$ est libre sur $k_L[T]$ , la multiplication par $P(T)$ est injective sur ${\mathrm{Hom}}_G(\pi _1, I_{G'}(\sigma ))$ , une contradiction.

Revenons à la preuve du th. 1.24. Supposons que $(\pi ^{\vee })^{\mathrm{lisse}}$ est de dimension finie sur $k_L$ et montrons que $\pi $ est de longueur finie. Si ce n’est pas le cas, le lemme fournit un poids de Serre $\sigma $ et un morphisme G-équivariant continu non nul $f: I_{G'}(\sigma )^{\vee }\to \pi ^{\vee }$ . Comme $(\pi ^{\vee })^{\mathrm{lisse}}$ est de dimension finie sur $k_L$ , il est fermé dans $\pi ^{\vee }$ , donc $f^{-1}((\pi ^{\vee })^{\mathrm{lisse}})$ est fermé dans $I_{G'}(\sigma )^{\vee }$ . D’autre part, $f^{-1}((\pi ^{\vee })^{\mathrm{lisse}})$ contient $(I_{G'}(\sigma )^{\vee })^{\mathrm{lisse}}$ , qui est dense dans $I_{G'}(\sigma )^{\vee }$ , donc $f^{-1}((\pi ^{\vee })^{\mathrm{lisse}})= I_{G'}(\sigma )^{\vee }$ ; ainsi l’image de f est incluse dans $(\pi ^{\vee })^{\mathrm{lisse}}$ et donc est de dimension finie, ce qui fournit une sous-représentation $({\mathrm{Im}}(f))^{\vee }$ de dimension finie de $I_{G'}(\sigma )$ , non nulle puisque $f\neq 0$ . Cela est impossible.

1.5.1 Composantes de Jordan-Hölder

Si k est une extension finie de $k_L$ , on note $\mathcal {C}_k^{\mathrm{ord}}$ la catégorie des $k[G]$ -modules lisses, de longueur finie, dont tous les sous-quotients irréductibles sont de la forme $\chi \circ \det , {\mathrm{St}}\otimes \chi \circ \det $ ou ${\mathrm{Ind}}_B^G (\chi _1\otimes \chi _2)$ , avec $\chi , \chi _1,\chi _2: F^{{\boldsymbol *}}\to k^{{\boldsymbol *}}$ des caractères lisses. Ainsi $\mathcal {C}_{k_L}^{\mathrm{ord}}$ est une sous-catégorie de $\mathcal {C}$ .

1.5.2 Le foncteur «partie ordinaire»

Soit $\bar {B}$ le Borel inférieur de G et soit A le tore diagonal de G. Le foncteur $U\mapsto {\mathrm{Ind}}_{\bar {B}}^G(U)$ de ${\mathrm{Rep}}(A)$ dans ${\mathrm{Rep}}(G)$ est exact et préserve l’admissibilité [Reference Emerton29, prop. 4.1.5, 4.1.7], donc induit un foncteur

$$ \begin{align*}{\mathrm{Ind}}_{\bar{B}}^G: {\mathrm{Rep}}(A)^{\mathrm{adm}}\to {\mathrm{Rep}}(G)^{\mathrm{adm}}\end{align*} $$

Emerton a montré [Reference Emerton29, th. 4.4.6] que ce dernier foncteur possède un adjoint à droite, le foncteur partie ordinaire

$$ \begin{align*}{\mathrm{Ord}}={\mathrm{Ord}}_B: {\mathrm{Rep}}(G)^{\mathrm{adm}}\to {\mathrm{Rep}}(A)^{\mathrm{adm}}\end{align*} $$

Ainsi le passage à la partie ordinaire induit une identification

$$ \begin{align*}{\mathrm{Hom}}_G({\mathrm{Ind}}_{\bar{B}}^G(U), V)\simeq {\mathrm{Hom}}_{A}(U, {\mathrm{Ord}}(V))\end{align*} $$

pour des représentations lisses admissibles U et V de A, respectivement G. En particulier l’identité de ${\mathrm{Ord}}(V)$ induit un morphisme canonique

$$ \begin{align*}\iota_V: {\mathrm{Ind}}_{\bar{B}}^G( {\mathrm{Ord}}(V))\to V,\end{align*} $$

tel que ${\mathrm{Ord}}(\ker \iota _V)=0$ et ${\mathrm{Ord}}(V^{\mathrm{ord}})={\mathrm{Ord}}(V)$ si l’on note $V^{\mathrm{ord}}$ l’image de $\iota _V$ . On se propose de montrer (prop. 1.33) que, si $V\in \mathcal {C}$ , alors $\iota _V$ est presqu’un isomorphisme, i.e. son noyau et son conoyau sont de type fini sur $\mathcal {O}_L$ . L’argument qui suit est inspiré des lemme 5.4 et 5.11 de [Reference Hu and Wang41], et demande quelques préliminaires.

1.5.3 Description de ${\cal C}$

2.1.1 La filtration de Bloch–Kato-Hyodo sur les cycles proches

Nous allons étendre aux schémas formels la filtration de Bloch-Kato-Hyodo sur les faisceaux de cycles proches pour les schémas et l’identification du gradué; que ce soit possible est «bien connu» des experts mais nous n’avons pas trouvé de référence où ceci est fait.

Soient K une extension finie de $\mathbf {Q}_p$ , $\varpi $ une uniformisante, et k le corps résiduel de ${\cal O}_K$ . Soit X un schéma formel semistable sur ${\cal O}_K$ ou le changement de base d’un tel schéma sur l’anneau des entiers d’un sous-corps de K. On munit X de la log-structure induite par la fibre spéciale. Soit M le faisceau en monoïdes sur X définissant la log-structure, $M^{\operatorname {gp} }$ le faisceau en groupes associé. Cette log-structure est canonique, dans la terminologie de Berkovich [Reference Berkovich8, 2.3], i.e., $M(U)=\{x\in {\cal O}_X(U)| x_K\in {\cal O}^{{\boldsymbol *}}_{X_K}(U_K)\}$ , cf. [Reference Berkovich8, Theorem 2.3.1]. Il s’ensuit que $M^{\operatorname {gp} }(U)={\cal O}(U_K)^{\boldsymbol *}$ .

Soit i l’inclusion de la fibre spéciale $X_0$ dans X. Soit $\mathrm {R} ^i\Psi \mathbf {Z}/p^n(j)$ le faisceau sur $X_{0,\operatorname {\acute {e}t} }$ associé au préfaisceau ${U}_0\to H^i_{\operatorname {\acute {e}t} }({U}_K,\mathbf {Z}/p^n(j))$ , où U décrit les schémas formels, étales au-dessus de X. C’est le i-ième foncteur dérivé du foncteur $\Psi $ des cycles proches de [Reference Berkovich7, Prop. 4.1] (où il est noté $\Theta $ ) mais nous n’utiliserons pas $\Psi $ lui-même.

Pour U comme ci-dessus, la suite exacte de Kummer fournit une flèche

$$ \begin{align*}i^{\boldsymbol *} M^{\mathrm{gp}}(U_0)=M^{\mathrm{gp}}(U)={\cal O}(U_K)^{\boldsymbol *}\stackrel{\partial}{\to} \mathbf{Z}/p^n(1)(U_K)[1], \end{align*} $$

qui se faisceautise en une application “symbole”

$$ \begin{align*}i^{\boldsymbol *} M^{\mathrm{gp}}\to \mathrm {R} ^1\Psi\mathbf{Z}/p^n(1). \end{align*} $$

En utilisant le cup-produit, cela induit une flèche symbole

$$ \begin{align*}i^{\boldsymbol *}(M^{\mathrm{gp}})^{\otimes q}\to \mathrm {R} ^q\Psi\mathbf{Z}/p^n(q).\end{align*} $$

Soit $(X_2, M_2)$ la réduction modulo $p^2$ de $(X,M)$ . On munit $(M_2^{\mathrm{gp}})^{\otimes q}$ d’une filtration

$$ \begin{align*}...\subset U^2\subset V^1\subset U^1\subset V^0\subset U^0=(M_2^{\mathrm{gp}})^{\otimes q},\end{align*} $$

définie comme suit. Si $q=0$ on pose

$$ \begin{align*}U^{m+1}=V^m=0 \,\, \text{si}\,\, m\geq 0;\end{align*} $$

si $q=1$ on pose

$$ \begin{align*}V^0=(1+\varpi \mathcal{O}_{X_2}) \varpi^{\mathbf{Z}}, U^m=1+\varpi^m \mathcal{O}_{X_2}, V^m=U^{m+1}, \, m\geq 1;\end{align*} $$

et, enfin, si $q\geq 2$ on note $U^m$ l’image de $U^m(M_2^{\mathrm{gp}})\otimes (M_2^{\mathrm{gp}})^{\otimes (q-1)}$ et $V^m$ l’image de

$$ \begin{align*}U^m(M_2^{\mathrm{gp}})\otimes (M_2^{\mathrm{gp}})^{\otimes (q-2)}\otimes \varpi^{\mathbf{Z}}+ U^{m+1}.\end{align*} $$

En utilisant la flèche symbole, cela permet de définir une filtration sur $ \mathrm {R} ^q\Psi \mathbf {Z}/p(q)$ . Si $a_i\in i^{\boldsymbol *}(M^{\mathrm{gp}}_2)$ , on note $\{a_1,...,a_q\}$ l’image de $a_1\otimes ...\otimes a_q\in (i^{\boldsymbol *}(M^{\mathrm{gp}}_2))^{\otimes q}$ dans $\mathrm {R} ^q\Psi \mathbf {Z}/p(q)$ par l’application symbole.

Soit $Y:=X_0$ avec la log-structure induite, et soit $\Omega ^{q}_{Y/k}$ le faisceau des q-différentielles logarithmiques sur Y relativement à la log-structure sur k induite par $1\mapsto 0$ . Posons

$$ \begin{align*}B^q_{Y/k}=d \Omega^{q-1}_{Y/k}\subset \Omega^q_{Y/k},\,\, Z^{q}_{Y/k}=\ker(d: \Omega^q_{Y/k}\to \Omega^{q+1}_{Y/k}).\end{align*} $$

Enfin, notons $\Omega ^q_{Y/k,{\mathrm{log}}}$ le sous-faisceau abélien de $\Omega ^q_{Y/k}$ engendré par les $\wedge _{i=1}^q d\log a_i$ pour $a_i\in M_Y$ .

Le théorème suivant est un simple corollaire de l’analogue algébrique prouvé par Bloch–Kato-Hyodo dans [Reference Bloch and Kato9], [Reference Hyodo44] (voir aussi [Reference Tsuji69, Th. 3.3.1])

Démonstration. Commençons par l’isomorphisme $U^0/V^0\simeq \Omega ^q_{Y/k,\log }$ . Considérons les flèches:

où nous avons ajouté des indices pour indiquer où se trouvent les filtrations. Il s’agit de prouver que $f_X$ est un isomorphisme.

Le problème est local et nous pouvons supposer que X est algébrisable, i.e., que X est la complétion $X=\widehat {T}$ d’un schéma semistable T over ${\cal O}_K$ . Par [Reference Berkovich7, Th. 5.1], la complétion induit un isomorphisme naturel:

(2.5) $$ \begin{align} i^{\boldsymbol *}\mathrm {R} ^qj_* \mathbf{Z}/p(q) \stackrel{\sim}{\to }\mathrm {R} ^q\Psi \mathbf{Z}/p(q), \quad j: T_K\hookrightarrow T. \end{align} $$

Le faisceau des cycles proches algébrique $ i^{\boldsymbol *}\mathrm {R} ^qj_* \mathbf {Z}/p(q) $ possède une filtration $U^{\bullet }_T,V^{\bullet }_T$ analogue à celle de son analogue formel et on a un diagramme commutatif:

La flèche $f_T$ est un isomorphisme d’après le théorème de Bloch–Kato–Hyodo. Une chasse au diagramme prouve que $f_X$ est un isomorphisme. Cela signifie aussi que la flèche verticale est un isomorphisme qui, combiné avec l’isomorphisme $U^0_T\stackrel {\sim }{\to } U^0_X$ de la formule (2.5), montre que la flèche naturelle $V^0_T\to V^0_X$ est aussi un isomorphisme. En résumé, nous avons établi les isomorphismes

$$ \begin{align*}U^0_X/V^0_X\simeq \Omega^q_{Y/k,\log}, \quad V^0_T\stackrel{\sim}{\to} V^0_X. \end{align*} $$

Maintenant, partant du dernier isomorphisme, on prouve de manière analogue les isomorphismes

$$ \begin{align*} & V^0_X/U^1_X\simeq \Omega^{q-1}_{Y/k,\log}, \quad U^1_T\stackrel{\sim}{\to }U^1_X, \\ & U^1_X/V^1_X\simeq \Omega^{q-1}_{Y/k}/B^{q-1}_{Y/k},\quad V^1_T\stackrel{\sim}{\to }V^1_X, \end{align*} $$

etc. Puisque, pour $m\geq pe/(p-1)$ , on a $U_T^m=0$ , cela suffit à prouver le théorème.

2.1.2 Modèles semistables

Si K est une extension finie de $\mathbf {Q}_p$ , un schéma formel sur ${\cal O}_K$ est dit semistable si, localement pour la topologie de Zariski, il admet une flèche étale vers le spectre formel

$$ \begin{align*}\operatorname{Spf} ({\cal O}_K\{X_1,\ldots,X_n\}/(X_1\cdots X_r-\varpi_K)), \quad 1\leq r\leq n, \end{align*} $$

où $\varpi _K$ est une uniformisante de K.

Les courbes $\mathcal {M}_n^{\varpi }$ ne sont pas quasi-compactes, donc l’existence d’un modèle semi-stable défini sur une extension finie de $\mathbf {Q}_p$ n’est pas automatique. Cependant, on dispose du résultat suivant, essentiellement prouvé dans l’appendice de [Reference Colmez, Dospinescu and Nizioł16]. Il est valable pour ${\mathrm{GL}}_2(F)$ , mais pas pour ${\mathrm{GL}}_n(F)$ .

Démonstration. Le premier point est établi dans la prop. A.1 de [Reference Colmez, Dospinescu and Nizioł16].

Pour le second point, considérons les diagrammes commutatifs G-équivariants suivants de morphismes de courbes E-analytiques et de schémas formels, respectivement, qui apparaissent dans la preuve de [Reference Colmez, Dospinescu and Nizioł16, prop. A.1].

• – $\Omega _{\mathrm{Dr}}$ est le demi-plan de Drinfeld sur F, $\Omega _{\mathrm{Dr}}^{+}$ est son modèle semistable standard;

• – $\Gamma \subset G/\varpi ^{\mathbf {Z}}$ est un sous-groupe cocompact assez petit pour que l’action de $\Gamma $ sur l’arbre de Bruhat-Tits soit libre;

• – $X:=\Gamma \backslash \Omega _{\mathrm{Dr}}$ est une courbe propre et lisse; $X^+:=\Gamma \backslash \Omega ^+_{\mathrm{Dr}}$ – le modèle stable (et aussi le modèle semistable minimal) de X;

• – $X_n:=\Gamma \backslash \mathcal {M}_n^{\varpi }$ ; E est une extension finie de F telle que $X_n$ possède un modèle stable $X_{n,E}^+$ ;

• – $X_{n,E}^{\circ }$ est le modèle minimal semistable de $X_{n,E}$ obtenu à partir de $X_{n,E}^+$ en commençant par éclater les points singuliers puis en éclatant les points d’auto-intersection.

Les diagrammes ci-dessus sont cartésiens et $({\cal M}^{\varpi }_{n,E})^{\circ }$ est un modèle semistable de ${\cal M}^{\varpi }_{n,E}$ . De plus, la triangulation $S(X_{n,E}^{+})$ associée est le quotient de la triangulation $S(({\cal M}^{\varpi }_{n,E})^{+} )$ par $\Gamma $ . Comme $S(X_{n,E}^{+})$ et $S(({\cal M}^{\varpi }_{n,E})^{+} )$ sont toutes les deux les ensembles des préimages (par spécialisation), dans $X_{n,E}$ et ${\cal M}^{\varpi }_{n,E}$ respectivement, des points génériques des composantes irréductibles de leurs fibres spéciales respectives, la fibre spéciale de $({\cal M}^{\varpi }_{n,E})^{+} $ a un nombre fini de $\Gamma $ -orbites (et donc de G-orbites) de composantes irreductibles. Il en est donc de même, pour le modèle semistable $({\cal M}^{\varpi }_{n,E})^{\circ } $ (essentiellement par sa définition).

De plus, la fibre spéciale est munie de la topologie discrète; il en résulte que l’orbite sous l’action de ${\mathrm{GL}}_2({\cal O}_F)$ d’une composante irréductible est finie (car ${\mathrm{GL}}_2({\cal O}_F)$ est profini) et donc que le stabilisateur d’une composante est d’indice fini et ouvert (car fermé) et agit à travers un quotient fini sur la composante (qui est donc fixée par un sous-groupe ouvert). Ceci permet de conclure.

2.1.3 Faisceaux cohomologiquement profinis de coprésentation finie

Ce numéro contient quelques préliminaires de nature topologique, qui seront utilisés dans la preuve du théorème principal de ce chapitre.

Rappelons quelques sorites sur les pro-objets d’une catégorie, en suivant [Reference Porter58]. Soit $\mathcal {A}$ une catégorie abélienne. La catégorie ${\mathrm{Pro}}(\mathcal {A})$ des systèmes projectifs (ou prosystèmes) d’objets de $\mathcal {A}$ est aussi abélienne. Soit $\mathcal {A}_1$ une sous-catégorie épaisse de $\mathcal {A}$ , i.e. pour toute suite exacte $0\to A\to B\to C\to 0$ dans $\mathcal {A}$ , B est un objet de $\mathcal {A}_1$ si et seulement si A et C sont des objets de $\mathcal {A}_1$ . Notons $E(\mathcal {A}_1)$ la sous-catégorie pleine de ${\mathrm{Pro}}(\mathcal {A})$ formée des prosystèmes isomorphes dans ${\mathrm{Pro}}(\mathcal {A})$ à un prosystème d’objets de $\mathcal {A}_1$ . Alors $E(\mathcal {A}_1)$ est aussi une sous-catégorie épaisse de la catégorie ${\mathrm{Pro}}(\mathcal {A})$ (prop. 2.9 de [Reference Porter58]).