On connait le rôle important que jouent les expressions imaginaires, non seulement dans la résolution des équations algébriques ou transcendantes, mais encore dans un grand nombre d'autres problémes. Ainsi, par exemple, c'est en considérant les valeurs imaginaires d'une variable que I'on parvient à la condition de convergence de la série

qui représente le développement d'une fonction suivant les puissances ascendantes de cette variable; et c'est aussi sur le passage du réel a l'imaginaire que repose, dans le calcul des résidus, l'établissement de formules générales propres à la transformation ou même à la détermination d'un grand nombre d'intégrales définies. Il était done naturel de penser que, dans la théorie de l'intégration des équations différentielles, des résultats nouveaux et inattendus devraient sortir de la considération directe des intégrales imaginaires, non pas restreinle à quelques cas particuliers déjà traités par les géomètres, mais étendue à tous les cas possibles. C'est, en effet, ce qui arrive. Ayant dirigé mes recherchcs de ce côté, je suis parvenu, non seulement à porter la lumière dans des questions délicates qui n'avaient pas été suflisamment éclaircies, mais encore à établir des théorèmes nouveaux qui, en raison de leur généralité, me paraissent dignes d'attention. Avant de les indiquer, il me semble utile, afin d'être parfaitement compris, de bien fixer le sens des expressions dont je me servirai dans la suite, et de dire avec précision ce que j'entends lorsque je parle des intégrales particulières ou générales, réelles ou mêmo imaginaires, d'un systéme donné d'équations différentielles.