Gonsiderons n+1 variables x, y, z, …, t, et supposons que ces variables doivent, non seulement vérifier n équations différentielles du premier ordre, mais encore prendre simultanément certaines valeurs initiales. En appliquant aux équations différentielles données l'intégration rectiligne ou curviligne, on pourra passer du système de valeurs initiales de x, y, z, …, t à un second système de valeurs nouvelles, très voisines des premières, puis de ce second système à un troisième, …. Si, en continuant de la sorte, on donne aux intégrales oblenues la plus grande extension possible, elles deviendront ce que nous avons appelé les intégrales complètes des équations différentielles données. Ces intégrales complètes varient et se modifient, quand on vient à changer le système des valeurs initiales attribuées aux diverses variables; mais elles restent les mêmes, quel que soit le

mode d'intégration adopté, et quelle que soit la variable que l'on considère comme indépendante. En général, elles ne coïncident qu'entre rortaines limites avec ce que nous avons appele les intégrales relatives à l'une des variables considérée comme indépendante; et, tandis que les intégrales relatives à l, par exemple quand elles sont le produit d'une intégration rectiligne, fournissent, pour une valeur donnée de l, unc valeur unique de chacune des variables x, y, z, …, les

intégrales complétes, au contraire, résolues par rapport à ces dernières variables, en fournissent communément des valeurs multiples.