Soient

n+1 variables assujetties : 1° à vérifier n équations différentielles du premier ordre; 2° à prendre simultanément certaines valeurs initiates, réelles ou imaginaires,

Si, dans les équations différentielles données, on posé

on obtiendra n équations finies qui détermineront les valeurs de X, Z, Y, … en fonction de x, y, z, …, t; et, si des valeurs de X, Y, Z, …, propres à vérifier ces équations finies, sont substituées dans

les formules (I), il suffira d'appliquer à ces formules l'ntégration rectiligne, en considerant t comme variable indépendante, et regardant ζ, η, ξ, …, τ comme les valeurs initiates de x, y, z, …, t, pour obtenir un système déterminé d'intégrales.

Soient maintenant

les n intégrales déduìtes des équations (I) à l'aide d'une intégration rectiligne ou même curviligne relative à une variable quelconque. Supposons d'ailleurs que, les valeurs initiales ζ, η, ξ, …, τ des variables x, y, z … t demeurant les mêmes, on veuille obtenir les intégrales que fournirait une intégration rectiligne relative à la variable x. Si l'on pose, dans les formules (2),

r désignant le module et p l'argument de la différence x – ζ, ces formules détermineront, pour une valeur donnée de l'argument p et pour de très petites valeurs du module r, les valeurs correspondantes des variables réelles ou imaginaires

considérées comme fonctions de r. Concevons maintenant que, l'argument p demeurant invariable, on fasse croître le module r par degrés insensibles.